微分几何习题及答案解析

1、第一章 曲线论 2 向量函数5. 向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) X r(t)= 0。分析：一个向量函数 r(t) 一般可以写成 r(t)= (t) e(t) 的形式，其中 e(t) 为单位向 量函数，(t)为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向， 即e(t)为常向量，(因为e(t)的长度固定)。证 对于向量函数r (t)，设e(t)为其单位向量，则r(t)= (t) e(t)，若r (t)具有固定方向，贝U e(t)为常向量，那么r(t) = (t) e ，所以r x r= ( e x e) =0。反之，若 r X r=0 ，对 r(t)= (

2、t) e(t) 求微商得 r = e + e， 于是 r X r = 2( ex e ) =0 ， 则有 = 0 或 ex e =0 。 当 (t)= 0 时， r(t)=0 可与任意 方向平行；当 o 时，有 e x e=0，而(e x e )2 = e2e2-( e e )2 = e2，(因 为e具有固定长，e e= 0)，所以e=0，即e为常向量。所以，r(t)具有固 定方向。6向量函数 r(t) 平行于固定平面的充要条件是( rr r r)=0 。分析：向量函数 r (t) 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量 n(t) ， 使 r (t) n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n

3、及n与r， r的关系。证若r(t)平行于一固定平面n,设n是平面n的一个单位法向量，则n为常向 量，且r (t) n = 0。两次求微商得r n = 0，r n = 0，即向量r， r， r 垂直于同一非零向量n，因而共面，即(r r r) =0。反之,若(r r r) =0，则有r x r=0或r x r0。若r x r=0，由上题知 r (t) 具有固定方向， 自然平行于一固定平面， 若 r x r 0 ，则存在数量函数 (t) 、(t)，使 r= r + r令n=r x r，则n o，且r(t)丄n(t)。对n =r x r求微商并将式代入得n =r x r=(r x r) = n ,于

4、是n x n= 0 ,由上题知n有固定方向，而r (t)丄n，即r (t)平行于固定平面。 3曲线的概念)的切线和z轴作3.证明圆柱螺线r = a cos ,a sin , b (固定角。证明r = -a sin ,a cos , b ,设切线与z轴夹角为,则 cosrk _一a2bb2为常数，故为定角(其中k为Z轴的单位向量)代入原方程得So二2=b2 assin :2 , 2.a by 2bs2 .a2 b210. 将圆柱螺线r =a cost， asint， bt化为自然参数表示。|rdt . a2 b2t，所以 t解 r = - asint, acost, b，s = 4空间曲线1.求

5、圆柱螺线x=acost， y=asint， z = bt在任意点的密切平面的方程。解 r = - asint , acost, b, r=- acost，- asint , 0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为x a cost y asin t z btasi nt a cost b = 0，即(b si nt )X-( bcost )y+ az- abt=0 .a costa si nt02.求曲线r = t sin t, t cost, t et 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解 原点对应 t=0 , r (0)= sint +t cost, cost - t

6、si nt, er +t eft 0=0,1,1,r(0) 2 cost + t cost, cost - t si nt, t 0 = 2,0,2,所以切线方程是xy-，法面方程是y + z - 00彳1xy z密切平面方程是01 1=0，即 x+y-z=0 ,20 2主法线的方程是xyz 0 即 x y z -y z0 2 1 1从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式-1 1 13.证明圆柱螺线x =acost , y =asint , z = bt的主法线和z轴垂直相交。证 r = - as in t , acost, b,r=- a cost，- asin t , 0 ，由 r丄

7、 r知 r为主法线的方向向量，而r k 0所以主法线与z轴垂直；主法线方程是x a cost y a si ntz btcostsint0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。的副法线的正向取单4.在曲线 x = cos cost ,y = cossi nt , z = tsin位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。r rsinsin t，- sin|r r|新曲线的方程为r = coscost + sincos 对于新曲线r =-cossi nt+ sinr= -cos cost,- cos sint0 解 r = -cos sint, cos cost, sin

8、 cost , cos sint , cos sint- sin cost , tsin +cost , cos cost+ sin sintsin = sin( -t), cos( -t), sin ,r= -cos( -t), sin( -t),0,其密切平面的方程是x cos a cost sin(a t) cos(a t) 即 sinsi n(t-) x siny cos a si nt z tsinacos(a t)sin a0sin (a t)0cos(t-) y + z ts in-cos5 证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证方法一：设一曲线为一球面曲线

9、，取球心为坐标原点，则曲线的向径r(t)具有固定长，所以r r = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平 面通过这点的向径，也就通过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r r = 0，r(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。方法二：r r(t)是球面曲线存在定点：0 (是球面中心的径矢)和常数 R (是球面的半径)使( ?0)2 R22(r rro) r 0，即(r仁)：0(*)r rr r r而过曲线r r(t)上任一点的法平面方程为(r) r 0。可知法平面过球面 中心 (*)成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法

10、平面通过一定点。7.求以下曲面的曲率和挠率 r a cosht, asinht,at, r a(3t t3),3at2,a(3t t3)(a0)asinh t, cosht,0，解 r asi nh t, a cosht,a , r a cosh t, as in h t,0，rr r a sinh t, cosht, 1，所以 k|r r|r|32a2 cosht (-2a cosht)312a cosh211(r,r,r) a212422(r r) 2a cosh t 2acosh tr 3a1 t2,2t,1 t2 , r 6ar 6a 1,0,1,r x r=18a2t2 1, 2t,

11、t2|r r|r|39/918a2 . 2(t21)27a22.2(t21)33a (t21)2r ?cost?sint,，555d dtdt ds13- sin t, cost,0，5sin t cost 55sin t, cost，0，(r,r,r)18 6a32122 42222(r r)2182a42(t21)23a(t2 1)28 已知曲线r cos3 t,sin3t,cos2t，求基本向量，：曲率和挠率;验证伏雷内公式。分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本 向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解 r 3cos21 si n t,3si n 21

12、cost, 2 si n 2t si n t cos t 3cost,3si nt, 4， dsdf |r(t)| 5sintcost，(设sintcost0 )，4 cost, si nt,55向相反,所以25 s in tcost 425 s in tcostsint,cost,0，由于与方25sint cost显然以上所得,k ,满足 k ,cost, sint,05 sin t cost也满足伏雷内公式。9. 证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r (t)，则曲线在任意点的切线方程是 r(t) r(t)，由条

13、件切线都过坐标原点，所以r(t) r(t)，可见r H r,所以r具有固定方向，故r = r(t)是直线方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 r = r(t),则曲线在任 意点的切线方程是r (t) r(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t) r(t),于是r = r，从而r x r = 0，所以由曲率的计算公式知曲率 k =0,所以曲线 为直线。方法三：设定点为，曲线的方程为r = r(s)，贝U曲线在任意点的切线方程是r r(s)r(s)，由条件切线都过定点ro，所以債r(s) (s)，两端求导得：r r r r r r r r(s)(s)，即(1) (s)0，而(s),

14、(s)无关，所以 10，可知 0,(s)0，因此曲线是直线。10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr =r(t)， 则曲线在 任 意 点 的 密 切 平 面 的 方 程 是 (r(t) (r(t) r(t) 0 ， 由 条 件r (t) (r(t) r(t) 0，即(r r r) =0,所以 r 平行于一固定平面，即 r = r(t) 是平面曲线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr =r(s)， 则曲线在任意点的密切平面方程是 (r(s)0，由条件 r(s) 0 ，两边微分并用伏雷内?r 公

15、式得 r(s) 0。若r(s) 0,又由r(s) 0可知r(s) / r(s),所以r =r(s)平行于固定方向，这时r = r(s)表示直线,结论成立。否则0 ,从而知曲线是平面曲线。方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为rr =r(t)， 则曲线在任意 点 的 密 切 平 面 方 程 是 (r(t) (r(t) r(t)0， 由 条 件r (t) (r(t) r(t)0，即(r r r) =0,所以 r , r, r共面，若 r / r，则r=r（t）是直线，否则可设r r r , r r r ，所以r，r，r共面，所以0 ,从而知曲线是平面曲线。11. 证明如果一条曲线的所有法

16、平面包含常向量e，那么曲线是直线或平面曲线。?证方法一：根据已知 e 0，若 是常向量，则k=|=0，这时曲线是直?线。否则在 e 0两边微分得e = o,即ke = o ,所以 e=o,又因 e 0，?所以 e，而 为单位向量，所以可知为常向量，于是| | | | 0,即卩 0,此曲线为平面曲线。方法二：曲线的方程设为r = r（t），由条件r e = 0，两边微分得r e = 0, r e = 0，所以r，r，r共面，所以（rrr ）=0。由挠率的计算公式可知 0,故曲线为平面曲线。当r x r = 0时是直线。方法三：曲线的方程设为r = r（t），由条件r e = 0，两边积分得 （p

17、是常 数）。因r e p是平面的方程，说明曲线r = r（t）在平面上，即曲线是平面曲线， 当r有固定方向时为直线。12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明设曲线)kk（C）： r = r（s）的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹（C ）的方程I为常数。， 分别为曲线（C）的单位切向量，副法LIk3_7 ，曲线（C ）的曲率为，（为曲线（C）的主法向量），对于曲线（C ）两边微分得14.设在两条曲线r、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行证 设曲线r： r = r(s)与：r r (s)点s与s 一一对

18、应，且对应点的切线平行,则(s)= 一(s),两端对s求微商得生，即k (s) k (s)-ds ,(这里dsdsk 0，若k=| |=0,则 无定义)，所以/,即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。15.设在两条曲线r、的点之间建立了对应关系，使它们在对应点的主 法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。证 设，分别为曲线r、 的切向量， 分别为曲线r、的主法向量，16.若曲线r的主法线是曲线的副法线，r的 曲率、挠率分别为.求证k= o( 2+ 2),其中为常数证 设r的向量表示为r = r (s)，则 可表示为= r(s) + (s)(s)，的切向量=+(- k +)与垂直，即=0，所

19、以为常数，设为则=(i- k) + .再求微商有 k + (1 k) k + _(1 k) k 0,所以有 k= ( 2+ 2)。17.曲线 r =a(t-sint),a(1-cost),4acos|在哪点的曲率半径最大则由已知 (s)(s).,而-(ds:_)-dsds _k C(s)ds将式代入k _(潸。所以_常数，故dsds两曲线的切线作固定角。22r = as in t,cost,-cos,解 r= a1-cost,si nt,-2sin t|r| 2.2|sin |,2r x r=a2 2si n3，2sin2 丄 cos 丄,4a cos2a2 si n2 丄si nl,coJ,

20、1,2 2 2 2 2 2 2| r x r|= 2a2 sin2t、2, k |r rJ 1, R 8a|sin,2|r| 8a|s in22所以在t=(2k+1), k为整数处曲率半径最大。 5 一般螺线5.证明如果所有密切平面垂直于固定直线，那么它是平面直线.证法一：当曲线的密切平面垂直于某固定直线时，曲线的副法向量是常向量.即=0。曲线的挠率的绝对值等于|为零，所以曲线为平面曲线。证法二：设n是固定直线一向量，则r n =0 ,积分得r n = p ,说明曲线在以n为法向量的一个平面上，因而为平面直线。证法三：设n是固定直线一向量，则r n=0 ,再微分得r n=0 , r n=0。所

21、以r、r、r三向量共面，于是(rrr) = 0 ,由挠率的计算公式知 =0, 因此曲线为平面曲线。7如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证设一曲线为r： r = r (s)，则另一曲线 的表达式为： r (s)(s) (s)，(s)为曲线r在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。=+- 与正交，即=0,于是 =0，为常数。=-，=k (-k +)也与正交，即= -2=0,而 0,所以有 =0,曲线r为平面曲线。同理曲线 为平面曲线。9证明曲线r = r （s）为一般螺线的充要条件为（r, r, r） 032,r 3()(2)(r,r,r)3(2k) 3 33(）5二

22、 5 ，其中 k 0.曲线F = r（s）为一般螺线的充要条件为一为常数，即（）？ =0,也就是（r,r ,r）0。方法二：（r,r,r）0，即（，）0。曲线r = r（s）为一般螺线，则存在常r向量e，使 e=常数，所以e 0, e 0, e 0,所以，共面，从而（,）=0。反之，若（，）=0,贝U平行于固定平面，设固定平面的法矢为e，则有 e 0，从而r e= p （常数），所以r = r（s）为一般螺线。rr r r r rr方法三：曲线r = r（s）为一般螺线存在常向量e使 e，即 e 0平行于固定平面（以e为法向量的平面）&平行于一固定平面方法四：设r = r （s）为一般螺线，存

23、在常向量e使r e=常数，即&e常数，连续三次求微商得做e 0,軽e 0，軽e 0，所以（r,r,r） 0因为（r,r,r）0，所以啟平行于固定平面，设固定平面的法矢为 n （常向rr量），则徐n，而卩畏n，所以曲线为一般螺线。ii 设在两条曲线、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平 行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成 比例，因此如果r为一般螺线，则也为一般螺线。证 设曲线r： r = r(s)与一 ：F r(s)点建立了 对应，使它们对应点的切线平行，则适当选择参数可使(s) = (s),两端对s求微商得k(s)嚨，这里d所以有，即主法线平

24、行，从而(s)= (s)，即两曲线的副法线也平行。且(s)-(s)ds，于是dsdsds一,或二 一。(s) = (s)两边对 dsds-ds,或空，所以，一或一一。ds 一 dss求微商得第二章曲面论。 2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面 r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv的第一基本形式解rua, b,2v, rv a, b,2u, Eru .求正螺面=u cosv ,u sinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线 互相垂直。解ru cos v, sin v,0, rv usinv, ucosv,b，E ru2 1， F ru rv 0，G rv2 u2 b2，

25、I = du2 (u2 b2)dv2，tF=0，.坐标曲线互相垂直。 a2 b24v2,Frurv a2 b2 4uv, G rv2 a2 b2 4u2, I =(a2 b2 4v2 )du22 (a2 b2 4uv)dudv(a2 b2 4u2)dv23 .在第一基本形式为I =du2 sinh 2 udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线 的弧长。解 由条件ds2 du2 sinh2 udv2,沿曲线u = v 有du=dv，将其代入ds2得 ds2 du2 sinh2 udv2 = cosh2 vdv2，ds = coshvdv , 在曲线 u = v 上，从 v1 至U v2 的V2

26、弧长为 | coshvdv| |sinhv2 sinhv1 |。vi4.设曲面的第一基本形式为I = du2 (u2 a2)dv2，求它上面两条曲线u + v =0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变 量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量 E 1, Fv 0 , G u2 a2 , 曲线u + v = 0与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E 1 , Fv 0 , G a2。曲线u + v = 0 的方向为du = -dv , u -

27、v = 0 的方向为S u=S v ,设两曲线的夹角为，则有2Edu u Gdv u1 acos = vEdu2 Gdv2jE u2 G v21 a6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为S u: S v，则有EduS u + F(du S v + dv S u)+ G d v S v = 0,将 dv =0 代入并消去 du得 u-曲线的 正交轨线的微分方程为 ES u + F S v = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为 FS u + G S v = 0 .8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.证

28、用分别用S、 、d表示沿u 曲线，v 曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u曲线S u 0，S v =0，沿v 曲线u=0，v 0 .沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件，又交角公式得2 2 2 2 (Edu v Fdv u) (Fdu v Gdv v)(Edu Fdv) (Fdu Gdv)2 2G v ds222 2，即E u ds展开并化简得E(EG-F2) du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F20，消去EG-F 2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.9 .设曲面的第一基本形式为2 2du (ua2)dv2 ,求曲面上三条曲线u =av,v =1相交所成的

29、三角形的面积。解三曲线在平面上的图形(如图)所示。 曲线围城的三角形的面积是0S= u2a1du dvuaa.u20 1a2du dvua 12a du dv =2 (10u)u2 aa2 du3a2)2u - u2 a2 a2ln(u 、u2a2) |a=a&ln(12)。11.证明螺面r =ucosv,usi nv,u+v和旋转曲面r =tcos ,tsin,t21(t1,02 )之间可建立等距映射=arctgu + v , t=.u21 .=arctgu分析根据等距对应的充分条件，要证以上两曲面可建立等距映射+ v , t= u21,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应

30、点有相同的参数，然后证明在新的参数下，两曲面具有相同的第一基本形式证明 螺面的第一基本形式为l=2du2+2 dudv+( u2+1) dv2,旋转曲面的第一基本形式为1= (1t2t2严2t2d,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu + v ,t = ,u21 ,则其第一基本形式为(1(u21)(：du1 udv)2= (u2 11)du22 du21 u22dudv (u2 2 2 21)dv =2du +2 dudv+( u +1) dv = I .所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t =1 3曲面的第二基本形式1.计算悬链面r =coshucosv,co

31、shusinv,u的第一基本形式，第二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0,ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0,rw =-coshucosv,-coshusinv,0,E ru2= cosh 2 u, F ru rv=0, G rv2=cosh2 u.所以 I = cosh 2u du2+ cosh 2 udv2 .cosh u cosv,n =_rv_ =EG F2 cosh2 ucosh u sin v, sinh u sin

32、v,L=coshusinh2 11, M=0, N= coshu=1 . 寸 sinh21所以 II = -du2 + dv22.计算抛物面在原点的2x3 5x12 4x1x2 2x；第一基本形式，第二基本形式.5解曲面的向量表示为r 2尹DMx；,1,0,5捲2x2（o,o）1,0,0 , rX20,1,2x1 厶；。）0乙0 , g 0,0,5,X2 0,0,2 ,X2X20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,2 2 2 2I= dx1dx2, II= 5dx14dx1dx22dx2.3.证明对于正螺面 r=ucosv,usinv,

33、bv,- su,v S2的法向量，则沿 交线（C），山与n2成固定角的充要条件为m n2=常数，这等价于d（ n 1 n2）=0, 即dnj n2 + n1 dn2=0 ,而（C）是S1的一条曲率线，因此dnj与（C）的切向量dr共 线，则与n2正交，即dn 1 n2 =0，于是n1 dn2 =0,又dn2丄n2，所以n1 dn2 = dn“ n2=0的充要条件为dn2f S纹面和可展曲面1. 证明曲面r=u2 -v,2u3 uv,u4 2u2v是可展曲面.3 3证法一： 已知曲面方程可改写为r = u2,2u3, u4 +v1,u,-u2，令33rr 12rrra(u) =u2,2u3, u

34、4， b(u) =,u, u2，则 r =a(u) + v b(u)，且 b(u)0，这是直33纹面的方程，它满足(a,b,b) =2u136u24u32 2u34u3=0,所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）2。证明曲面 r =cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v 是可展曲面。r证法一：曲面的方程可改写为r = a（v） + u b（v），其中a（v） =cosv-vsinv.sinv+vcosv, 2v， b(v) =-sinv, cosv,1 ，易见 b(v) 0,所以曲面为直纹面,又因为（a,b,b） =2sin v vcos

35、v 2cos v vsin v sin v cosvcosvsin v=0,所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）3. 证明正螺面 r =vcosu,vsinu,au+b(a0）不是可展曲面。证法一：原曲面的方程可改写为 r = a(u) + v b(u),其中a(u) =0,0,au+b, b(u) =cosu,sinu,0.易见 b(u) 0,所以曲面为直纹面，又因00a为(a,b,b) =a 0.故正螺面不是可展曲面。cosusin u 0sin u cosu 0证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）4. 证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。证挠曲线（

36、C）: a a（s）的主法线曲面为（）：: a（s）v（s）,因为=（r, , r r）0,故（$）:； a（s） v （s）不是可展曲面。挠曲线（C） : a a（s）的副法线曲面为（S2）：ra（s） vr（s）,因为（密，&） （r,r, r）0,故（S2）: r a（s） vr（s）不是可展曲面。7 证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。rr证 柱面（S）的方程可写为r=a（u）+vb0， （ b00 为常向量）因为r rr（a,b,b）=（a,bo,O）0。故（SJ是可展曲面。锥面（s2）的方程可写为r = a+vb（u） （ a为常向量），因为 （a,b,b） =（0,b,

37、b）=0,故（S?）是可展曲面。r rr rr曲线（C） : a a（s）的切线曲面为（S3）：r a（s） v （s）。因为r r r rrrrrr（a,b,b）=（ , , ） 0，故（Ss）:r a（s） v （s）是可展曲面。 5曲面的基本定理8求证第一基本形式为ds2心叮孑的曲面有常高斯曲率证因为E G2 2 2 , F (u v c)0，所以c2 22 2(v c u )(u v c)(u2 c(u2汁4c故所给曲面有常高斯曲率 6曲面上的测底线2 . 证明球面r =acosucosv,acosusinv,asinu上曲线的测地曲率dsdsinudv,其中表示曲线与经线的交角ds

38、ds易求出E=a2, F=0,G=a2 cos2 u ,因此kgdssin u sina cosu1 In Ecos1 lnG .sin1 . sinsinacosuds,故kg3 求位于半径为R的球面上半径为a的圆的测地曲率解法一：因为rsin ,(r1,n)，而 ,sin a2 21 ln(a cos u).sin2adsdvsin u 。ds呼，所以。aR解法二：半径为a的圆的曲率为圆上每一点处的法曲率，所以、R2 a2Ra1 lnGkgv2 至 u因为所考虑纬圆的半径为a，所以Rcosu a,sin u-1 cos2u二 R2a2R所以gvR22a。Ra2 222 R an 22R a

39、解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过 不妨求半径为a的纬圆的测地曲率。由1题知所求即为v-线的测地曲率：uocosv,uo sin v,av4.求位于正螺面r =ucosv,usin,av 上的圆柱螺线(C): r(比=常数)的测地曲率。解易计算出E=1, F=0, G=a2 u2，而(C)是一条v-曲线：u=u0,于是由gv1 InG2.E u1 In (a2 u2)2 u2，可知(C)的测地曲率为a uUo7. 求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴 时才是测地线。证 设旋转曲面为(S) , r (t)cos , (t)sin , (t)( (t) f 0),则易计算出E=22,F 0,G2,于是子午线(t 曲线)的测地曲率为kgt1 ln E2.G1 ln(22 2)0 ,故子午线是测地线。又平行圆(-曲线)的测地曲率