高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性课件

1、高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性第十二章第十二章 微分方程微分方程 第三节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ),(yxfdxdy如果一阶微分方程如果一阶微分方程中的中的 f (x, y) 可以写成可以写成xyyxf),(则称该方程为则称该方程为. .f (x, y) 是是 x, y 的齐次函数的齐次函数特点特点: f (tx, ty) = f (x, y)高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性)(ddxyxy齐次方程齐次方程令令,xyu ,xuy 则代入原方程得代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分两边积分, 得得xxuuud)(d积分后

2、再用积分后再用xy代替代替 u, 得原方程的通解得原方程的通解.的解法的解法:分离变量分离变量: 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解 ,xyu 令,uxuy则代入原方程得代入原方程得uuuxutan分离变量分离变量xxuuddcot两边积分两边积分xxuuuddsincos得得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为故原方程的通解为xCxysin( C 为任意常数为任意常数 )上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxy

3、xy解解,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有则有22uuuxu分离变量分离变量xxuuudd2积分得积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解代回原变量得通解即Cuux )1(yCxyx)( 注注 显然显然 y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了. 上页 下页 返回 结束 方程的全部解是方程的全部解是yCxyx)(和和 y = x.高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性解齐次方程的关键是作变量代换：解齐次方程的关键是作变量代换：xyu xyuyxyyyx令),ln(ln 其实，在解

4、微分方程时，常需作变量代换其实，在解微分方程时，常需作变量代换.例如例如yxuyxdxdy令,1 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性oyx可得可得 OMA = OAM = 例例3. 在制造探照灯反射镜面时在制造探照灯反射镜面时,解解 设光源在坐标原点设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线则反射镜面由曲线 )(xfy 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 .过曲线上任意点过曲线上任意点 M (x, y) 作切线作切线 M T,由光的反射定律由光的反射定律: 入射角入射角 = 反射角反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取取x 轴平行于光线反射方向轴平行于光线反射方向,从

5、而从而 AO = OMOPAP 要求点光源的光线反要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状试求反射镜面的形状. 而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : xyy22yx 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性利用曲线的对称性利用曲线的对称性, 不妨设不妨设 y 0,21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得积分得故有故有1222CvyCy, xvy代入得得)2(22CxCy (抛物线抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面故反射

6、镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程) 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性第十二章第十二章 微分方程微分方程 第四节上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一阶线性微分方程一阶线性微分方程v 解一阶线性微分方程的常数变易法解一阶线性微分方程的常数变易法v 伯努利方程伯努利方程v 一阶线性微分方程的通解公式一阶线性微分方程的通解公式高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程标准形式标准形式:)()(ddxQyxPxy若若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若若 Q(x) 0, 称为称为非齐次方程非齐次方

7、程 .1. 齐次方程齐次方程分离变量分离变量xxPyyd)(d两边积分得两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为故通解为xxPeCyd)(称为称为齐次方程齐次方程 ; 上页 下页 返回 结束 非齐次项非齐次项高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解xxPCed)(2. 非齐次方程非齐次方程)()(ddxQyxPxy 常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxP

8、xxPd)(d)(d)(y即即即即作变换作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得两端积分得 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy 解解 对应的齐次方程对应的齐次方程 ,012ddxyxy或或1d2dxxyy积分得积分得,ln) 1(ln2lnCxy即即2) 1( xCy用用常数变易法：常数变易法： 令令,) 1()(2xxuy则则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得代入非齐次方程得21) 1( xu积分，积分， 得得Cxu23) 1(32故

9、原方程通解为故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性例例2. 2. . 02)6(2ydxdyxy.23, 0262yxydydxdydxyxy或CdyeyQexdyyPdyyP)()()(解解 关于关于y, y不是线性的不是线性的, ,但关于但关于x, dx/dy是线性的是线性的变形为变形为通解通解.232Cyy例例3.3.12)1 (2 yxyx解解 令令则,yz原方程化为原方程化为.111222xzxxz解得解得)(1112Cxxz21211xCxxy212arctan)1ln(21CxCxy即即积分，得积分，得 上

10、页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性例例4. 求方程求方程 (x 0)的通解的通解.解解 注意注意 ,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由由通解公式通解公式 , 得得ex yy2dey)1(yy2dlndCx故方程可故方程可变形为变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为所求通解为 )0(CCeyyxyCy ln这是以这是以x为因变量为因变量, y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程

11、伯努利方程的伯努利方程的标准形式标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边 , 得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程) 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性例例5. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解的通解.解解 令令,1 yz则方程变形为则方程变形为xaxzxzlndd其通解为其通解为ez 将将1 y

12、z1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入代入, 得原方程通解得原方程通解: 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性内容小结内容小结1. 一阶线性方程一阶线性方程)()(ddxQyxPxy解法解法1 先解对应的齐次方程先解对应的齐次方程 , 再用再用常数变易法常数变易法.解法解法2 （重点）利用通解公式（重点）利用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解化为线性方程求解.2. 伯努利方程伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三

13、节齐次第四节一阶线性思考与练习思考与练习判别下列方程的类型判别下列方程的类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程 上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性P286 13 (1, 4, 5) ; 14(2, 3) ; 17(1, 2)

14、; 18; 22(1, 3, 4); 23(1); 28; 31(1); 33 作 业上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性备用题备用题求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf上页 下页 返回 结束 高等数学微分方程第三节齐次第四节一阶线性( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家瑞士数学家, 位数学家位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年年 版