刚体运动学与转动定律

1、第五章第五章 刚体运动学刚体运动学一、刚体一、刚体(1) 特殊的质点系特殊的质点系。 (3) 理想化模型理想化模型受力时受力时形状形状和和体积体积完全不变化的质点系完全不变化的质点系(2) 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变保持不变。说明说明(4) 有关质点系的规律都可用于刚体。有关质点系的规律都可用于刚体。 (5) 刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。定义定义:University physics 二、刚体的平动二、刚体的平动定义：定义：刚体运动时，若在刚体内所作的任一条

2、直线都始终刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行保持和自身平行 刚体平动刚体平动 平动的特点平动的特点(1) 刚体上各质点的运动轨迹相同刚体上各质点的运动轨迹相同BArrBAvvBAaa(2) 用用质点质点的运动的运动ABABA B 刚体的平动刚体的平动来代替来代替例如例如:升降机升降机汽缸中的活塞汽缸中的活塞University physics三、刚体绕定轴转动三、刚体绕定轴转动平动和转动，可以描述所有质元的运动。平动和转动，可以描述所有质元的运动。刚体内各点都绕刚体内各点都绕同一直线同一直线作作圆周圆周运动运动说明说明转轴固定不动转轴固定不动-定轴转动定轴转动转动：转动

3、：陀螺陀螺门门直升飞机的螺旋桨直升飞机的螺旋桨例如例如:门门固定在地面上的电动机转子固定在地面上的电动机转子例如例如:例如例如:一个车轮的滚动一个车轮的滚动,拧紧或松开螺帽拧紧或松开螺帽,钻头钻头刚体的刚体的平动平动和和绕定轴转动绕定轴转动是刚体的是刚体的两种最简单最基本运动两种最简单最基本运动University physics3. 刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+刚体的平面运动刚体的平面运动观察行驶的车的轮子，可以看到轮子的上半部轮辐几乎连成一观察行驶的车的轮子，可以看到轮子的上半部轮辐几乎连成一片，而下半部轮辐却仍旧可以一条一条的辨别清楚。这就使

4、人片，而下半部轮辐却仍旧可以一条一条的辨别清楚。这就使人产生一个印象，仿佛车轮的上半部要比下半部旋转得快些。真产生一个印象，仿佛车轮的上半部要比下半部旋转得快些。真是这样的吗？试分析之。是这样的吗？试分析之。讨论讨论车轮的上半部的确要比下半部移动车轮的上半部的确要比下半部移动得更快一些。得更快一些。车轮上任意一点，在滚动过程中同时参与两个运动：绕过质心车轮上任意一点，在滚动过程中同时参与两个运动：绕过质心（车轮中心）的轴的转动和随质心一起向前的平动，因此任一（车轮中心）的轴的转动和随质心一起向前的平动，因此任一点的瞬时速度应是车轮的平动速度与该点相对于质心的转动速点的瞬时速度应是车轮的平动速度

5、与该点相对于质心的转动速度之和。度之和。蓝色蓝色代表车轮的平动速度；代表车轮的平动速度；粉色粉色代表绕轴心的转动速度；代表绕轴心的转动速度；红色红色代表二者的合矢量。代表二者的合矢量。分析：车轮无滑动的滚动分析：车轮无滑动的滚动)(=ttdd=22dd=dd=ttzMIII P角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度1. 描述刚体绕定轴转动的角量描述刚体绕定轴转动的角量C )(2 21 )( 0202200ttt当当与质点的匀加速直线运动公式相象与质点的匀加速直线运动公式相象University physics2. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度 rv2ran

6、 rtaddv任意点都绕同一轴作圆周运动任意点都绕同一轴作圆周运动, 且且 ， 都相同都相同University physicsvrtanaaMO一大型回转类一大型回转类“观览圆盘观览圆盘”如图所示。圆盘的半径如图所示。圆盘的半径R=25 m，供人乘坐的吊箱高度供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动，。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速为转速为0.1 r/min。 例：例：300601022T)cos(0tRxxBALtRLyyBA)sin(0222)(RLyxAA解：解：求：求：吊箱底部吊箱底部A点的轨迹及点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。点的速度和加速度的大小。吊箱平动吊箱平

7、动University physics3002522RAyAxAvvvsm 260/.)cos(dd02tRtaAxAxv2322222sm 107230025/.RaaaAyAxA)sin(dd02tRtaAyAyv)sin(dd0tRtxAAxv)cos(dd0tRtyAAyvUniversity physicsUniversity physics四、刚体定轴转动运动学的两类问题四、刚体定轴转动运动学的两类问题u 第一类问题第一类问题 - 微分问题微分问题u 第二类问题第二类问题 - 积分问题积分问题一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为一飞轮绕定轴转动，其转过的角度与时间的关系为

8、=10 t 2，式，式中中 的单位为的单位为rad，t 的单位为的单位为s 。根据定义，飞轮的角速度为根据定义，飞轮的角速度为t dd飞轮的角加速度为飞轮的角加速度为t dd距转轴距转轴r处质点的切向加速度处质点的切向加速度ra t法向加速度法向加速度2ran例例1：解：解：求：求：(1)飞轮的角速度和角加速度；飞轮的角速度和角加速度；(2)距转轴距转轴r处的质点的切向加速度和法向加速度。处的质点的切向加速度和法向加速度。 t 2020r2022400rtvrtanaaMOUniversity physics电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度 0 =

9、0，经，经150s其转速达到其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度，已知转子的角加速度 与与时间时间t的平方成正比。的平方成正比。根据题意，设根据题意，设 2kt （k为比例常量）为比例常量） 由角加速度的定义，有由角加速度的定义，有2ddktt分离变量并积分，有分离变量并积分，有dtktt020d在这段时间内，转子转过的圈数。在这段时间内，转子转过的圈数。例例2：解：解：求：求：t 时刻转子的角速度为时刻转子的角速度为331kt当当t =150s，转子的角速度为，转子的角速度为1 -srad40060120002则有则有33tk4-33srad101504003Universit

10、y physics4-333srad1015040033tk由此得由此得 331031t 由角速度的定义由角速度的定义 ，得转子在，得转子在150s内转过的角度为内转过的角度为t ddtt d1031331500rad105 .16872因而转子在这一段时间内转过的圈数为因而转子在这一段时间内转过的圈数为2Nr102682105 .168722本次作业（下周二交）本次作业（下周二交）4.1.74.2.84.2.114.3.85.3.6University physics力的力的大小大小、力的、力的方向方向和力的和力的作用线作用线相对于转相对于转轴的位置是决定刚体转动效果的重要因素。轴的位置是决

11、定刚体转动效果的重要因素。一、力矩一、力矩力臂：力臂：力力 对转轴对转轴z的力矩的力矩: u 若刚体所受力若刚体所受力 在转动平面内在转动平面内 FFdMzrOzdFPsinrd FFrsin=rOzdFPF/Fu 若刚体所受力若刚体所受力 不在转动平面内不在转动平面内 F在定轴转动中，只有在定轴转动中，只有 起作用起作用力力 对转轴对转轴z的力矩的力矩平行于转轴平行于转轴 分量不能使刚体发生转动分量不能使刚体发生转动F/FsinrFdFMzF刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律University physicsiiiiamfF=+取一质量元取一质量元切线方向切线方向对固定轴的力矩对固定轴的

12、力矩iirm对所有质元对所有质元合内力矩合内力矩 = 0合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体的转动惯量 JMJ二、二、 刚体绕定轴转动定律刚体绕定轴转动定律iiiiamfF2iiiiiirmrfrF)(2iiiiirmrfrFifiroiFiF ifUniversity physicsl 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的M、转动惯量、转动惯量J和角加速度和角加速度 三个物三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；理量都是相对于同一转轴而言的；JM 讨论讨论l 刚体定轴转动定律中的刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩；是作用在刚体上的合外力矩；l 刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。

13、刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。注意注意aFmJM 合外力合外力合外力矩合外力矩加速度加速度角加速度角加速度m：质点的惯性质量：质点的惯性质量J：刚体的转动惯量：刚体的转动惯量类比：质点的牛顿第二定律与刚体的定轴转动类比：质点的牛顿第二定律与刚体的定轴转动定律定律转动惯量转动惯量 J 是量度刚体是量度刚体转动惯性的物理量转动惯性的物理量。University physics2=iirmJ定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布2=iirmJ质量连续分布质量连续分布VmrJd2dmmrz处理方法处理方法:在在V上选取上选取一个一个dm, 计算转动惯量的三个要素：计算转动惯量的三个要素： (1)总

14、质量总质量 (2)质量分布质量分布 (3)转轴的位置转轴的位置三、转动惯量三、转动惯量练习练习. .由长由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量垂直于纸面的轴的转动惯量llllAmm2m3m4m5222232254232ml)l)(mm()l(mmlJ 例：例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量圆环绕中心轴旋转的转动惯量dmOmmRJ02d2mRmRmmR02d例：例：两根等长、质量均匀分布的两根等长、质量均匀分布的 细木棒和细铁棒细木棒和细铁棒 绕端点轴绕端点轴 转动惯量转动惯量LzOxdmMLxxJ02d 木铁JJxLxL

15、Mx02d231ML质量分布的均匀性对圆环绕质量分布的均匀性对圆环绕中心轴旋转的转动惯量有影响吗中心轴旋转的转动惯量有影响吗?问题：问题：University physicsOLxdmMz20231dMLxxJLLOxdmM2222121dMLxxJ/L/Lz例：例：质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量ROmrdrrrsd2d smddmmrJ02drrRmd22rRmrd22RrrRm032d222RmUniversity physics求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量 例：例：解：解：R 切为许多垂直于轴的切为许多垂直

16、于轴的圆环圆环zmmrJdd2r24 Rm d2dRrm232mR dsin2dmm sinRr dsin2)sin(dd22mRmrJ dsin2)sin(20mRJUniversity physics例例.求质量求质量 m ,半径半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量的均匀球体对直径的转动惯量解：解：以距中心以距中心 ，厚，厚 的球壳的球壳 为积分元为积分元rrdrrVd4d2 334Rm Vmdd 342d2d32dRrmrrmJ 234052d2dmRRrmrJJR orrdRm 关于计算关于计算 J 的几条规律的几条规律1. 对于同一转轴对于同一转轴 J 具有可叠加性具有可叠加性iJJ

17、iiizrmJ2例如：由多个刚体组成的系统例如：由多个刚体组成的系统J1J221JJJO2121MLJz22ZZLJJM 例：例：求均匀细棒对其一端点的转动惯量求均匀细棒对其一端点的转动惯量zMLz2.平行轴定理平行轴定理zdCmz2+=mdJJCz刚体绕任意轴刚体绕任意轴刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴两轴间垂直距离两轴间垂直距离University physics213ML求空心圆柱绕中心轴的转动惯量求空心圆柱绕中心轴的转动惯量例：例：解：解： 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为22ddR

18、mJ Vmdd lRd2 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为实心圆柱绕中心轴的转动惯量为2202dRlRJl lR421 lRRm) (2122 空心圆柱绕中心轴的转动惯量为空心圆柱绕中心轴的转动惯量为 )(214142lRlRJ )(212122RRmzR1R2lmUniversity physics解法二：解法二：(1)lrrVm)d2(dd)-(2=d2=d=41423221RRlrrlmrJRR解：在半径解：在半径 r (R1 r R2) 处，处，取一薄圆柱壳形状的质元，其取一薄圆柱壳形状的质元，其长为长为 l，半径为，半径为 r，厚度为，厚度为dr。设筒体的密度为设筒体的密度为 ，则该质元

19、，则该质元的质量为：的质量为：zR2R1OzOrdrl圆筒的体积：圆筒的体积：)-(=2122RRlV将式将式 (2)代入式代入式 (1)，(2)(21)(2)(22122212221224142RRmRRRRlRRlJ(3)说明：本题的关键是正确表示出质元的质量说明：本题的关键是正确表示出质元的质量dm。又圆筒体积与其密度又圆筒体积与其密度 之乘积，就是整个圆筒的质量之乘积，就是整个圆筒的质量 m，即：即：)-(/=/=2122RRlmVm从半径为从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系的小圆盘，该系统的质量为统的质量为m,两圆盘中心两圆盘中心O 和

20、和O相距为相距为d ，且，且(d + r) R d O ORr挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的且过中心轴的转动惯量转动惯量 例：例：解：解：求：求：使用补偿法使用补偿法则填满后的总质量为则填满后的总质量为m+m/设小圆盘的质量为设小圆盘的质量为m/2222/rRrRmmm)(222/rRmrm2/21RmmJ）（满2/2/21dmrmJo小oJJJ小满mUniversity physics 3.对薄平板刚体的垂直轴定理对薄平板刚体的垂直轴定理 y rix z yi xi mi2iizrmJ22iiiiymxmyxJJ o（仅对薄刚体板成立）（仅对

21、薄刚体板成立） 例：例：求对圆盘的一条直径的转动惯量求对圆盘的一条直径的转动惯量221mRJzyxzJJJyxJJ 已知已知垂直轴定理垂直轴定理241mRJJyx yx z 圆盘圆盘 R C mUniversity physics四、刚体定轴转动定律的应用举例四、刚体定轴转动定律的应用举例University physics例例1：一刚体系统，如图所示。一刚体系统，如图所示。已知，两轮半径为已知，两轮半径为 R、r，对轴的，对轴的转动惯量为转动惯量为21J ,J，绳子与滑轮间无相对滑动，绳子与滑轮间无相对滑动，求：求：两物的加速度、绳子的张力两物的加速度、绳子的张力?12R r O 解：解：111maTgm222magmTgm1