复变函数第11讲

1、1 4.1 复级数的基本性质复级数的基本性质 4.2 幂幂 级级 数数 4.3 泰泰 勒勒 级级 数数 4.4 解析函数零点的孤立性解析函数零点的孤立性第四章第四章 解析函数的幂级数表示法解析函数的幂级数表示法21、 复数列的极限复数列的极限4.1 复级数的基本性质复级数的基本性质111222,.,.nnnaibaibaib复数数列复数数列一列无穷多个有序的复数一列无穷多个有序的复数.n 称称为为一一个个复复数数数数列列，简简称称为为复复数数列列，记记为为3定义定义4.1,), 2 , 1(nnnniban 其其中中为为一一复复数数列列设设00若若当当恒恒 有有，,nNnN 记记作作.为为一一

2、复复常常数数iba 不收敛的数列称为发散数列不收敛的数列称为发散数列.那那么么 称称为为复复数数列列当当时时的的极极限限，nn 此此时时，也也称称复复数数列列收收敛敛于于.n 或或 ，li,m()nnnn 4例例求求1lim21.nni ,021lim, 12221 nnii所所以以分分析析：因因为为.021lim nni于于是是 limlim,li m.nnnnnnaabb 定定理理当当110,0,()022nniiNnN522()()()(),lim, lim.nnnnnnnnnnnnnaai bbaabbaabbaabb故故lim, lim,nnnnaabb “”已已知知即即证明证明li

3、m,0,0,.nnnNnN “”已已知知即即当当恒恒有有0,0,22nnNnNaabb 当当恒恒有有，()(),lim.nnnnnnnaai bbaabb故故6该定理说明该定理说明: : 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性. .可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商. .课堂练习课堂练习: :下列数列是否收敛下列数列是否收敛? 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2

4、( niznn.1)3(2innenz 72 2、 复数项级数复数项级数121(4.1)nnn121nnnkks级数前级数前n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和-无穷级数无穷级数定义定义4.2(1,2,),nnnaibn设复数列设复数列lim4.3nnnsss 若若级级数数的的部部分分和和数数列列收收敛敛，则则称称此此定定义义级级数数收收敛敛，并并称称为为级级数数的的和和，1kks 记记作作. .否否则则称称级级数数发发散散. .8说明说明: 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:.lim ssnn 利用极限利用极限:,0 n

5、nz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z9 根据实数项级数收敛的有关结论，可以得根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法出判断复数项级数收敛的简单方法.111nnnnkkkkkkSaib 而而判断级数的敛散性比较困难判断级数的敛散性比较困难. .111都都收收敛敛和和收收敛敛级级数数 nnnnnnba定理定理4.14.1.1111 nnnnnnnnbia收收敛敛，则则若若10 )1(1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解; 1

6、11发散发散因为因为 nnnna所以原级所以原级数发散数发散. . 课堂练习课堂练习11(2)(1)ninn 2 2级级数数 是是否否收收敛敛？ 2111;nnnan 因因为为 收收敛敛111.nnnbn 3 3 收收敛敛 所以原级所以原级数收敛数收敛. . 11常见实级数敛散性判别法：常见实级数敛散性判别法：1 1）比较法；）比较法；2 2）比值法；）比值法；3 3）根值法；）根值法；4 4）交错级数的莱布尼兹判别法）交错级数的莱布尼兹判别法. .1124.2 :0, |.nnnnnpnNp 定定理理级级数数收收敛敛的的充充要要条条件件为为对对任任给给，存存在在正正整整数数N N( ( )

7、)当当对对于于任任何何正正整整数数柯西收敛准则柯西收敛准则推论推论2 收敛级数的各项必是有界的收敛级数的各项必是有界的.推论推论1 收敛级数的通项必趋于零收敛级数的通项必趋于零:lim0nn 推论推论3 若级数若级数(4.1)中略去有限个项中略去有限个项,则所得则所得级数与原级数同为收敛或同为发散级数与原级数同为收敛或同为发散.启示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一应进一 步判断步判断., 0lim nn 13114,.nnnn 定定理理 . .3 3 如如果果收收敛敛 则则也也收收敛敛证明证明

8、2222,(*)nnnnnnnnnnnaibabababab 绝绝对对收收敛敛，再再由由比比较较法法知知 11,nnnnba.,111也也收收敛敛收收敛敛，从从而而于于是是 nnnnnnba111 .nnnnnnab 结结论论级级数数收收敛敛和和都都收收敛敛14定义定义4.411nnnn 若若收收敛敛绝绝，则则称称为为对对收收敛敛；111.nnnnnn若若发发散散，而而收收敛敛，则则称称为为条条件件收收敛敛11(1)nnnn敛敛，一一定定敛敛吗吗？若若收收 收 收1112( )()nnnnnnn 敛敛，发发散散， 问问敛敛吗吗？若若收收 收 收1113( )()nnnnnnn 和和都都发发散散

9、， 问问敛敛吗吗？若若 收 收思考思考定理定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序任意重排次序,而不改变其绝对收敛性而不改变其绝对收敛性,亦不改变其亦不改变其和和.(2)两个绝对收敛的复级数两个绝对收敛的复级数 s=a1+a2+an+ s/=a1/+a2/+an/+可按右图所示的可按右图所示的对角对角线法（线法（Cauchy乘积）乘积） 332313332221223121111321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa得出乘积级数得出乘积级数a1a1+(a1a2+a2a1)+(a1an+a2an-1+ +ana1)+它收敛于它收敛

10、于ss.16解解.)21(211)1(111发发散散收收敛敛，发发散散， nnnnninn例例2否绝对收敛？否绝对收敛？下列级数是否收敛？是下列级数是否收敛？是 11;)2();21()1(nnnnniin 01.!)8()4(;2) 1()3(nnnnnniin.1)2(11不不绝绝对对收收敛敛发发散散， nnnnin17.2)1(21)1()3(111收收敛敛收收敛敛，收收敛敛， nnnnnnninn.)1(1原原级级数数非非绝绝对对收收敛敛收收敛敛，条条件件又又 nnn.!)8(!8!8)4(000绝绝对对收收敛敛收收敛敛， nnnnnnninni)7151311()614121(1 i

11、ninn由由于于 1.nnni条条件件收收敛敛于于是是1( )( )nnf zfz 4.1.2 复函数项级数复函数项级数 用用N的的说法来描述这件事就是说法来描述这件事就是:1.定义定义4.3 设复变函数项级数设复变函数项级数 (4.2)的各项均在点集的各项均在点集E上有定义上有定义,且在且在E上上存在一个函存在一个函数数f (z),对于对于E上的每一点上的每一点z,级数级数4.2均收敛于均收敛于f(z),则称则称f(z)为级数为级数(4.2)的和函数的和函数,记为记为:12( )( )( )nf zfzfz 任给任给0,以及给定的以及给定的zE,存在正整数存在正整数N=N(,z),使当使当n

12、N时时,有有 ,式中式中:1( ).nnkksfz |( )|nf zs 上述的正整数上述的正整数N=N(,z),一般来说一般来说,不但依赖于不但依赖于,而而且依赖于且依赖于zE.重要的一种情形是重要的一种情形是N=N()不依赖于不依赖于zE,这就是这就是:1()()zDnnfzfz 定义定义4.4 对于级数对于级数(4.2),如果在点集如果在点集E上有一个上有一个函数函数f(z),使对任给的使对任给的0,存在正整数存在正整数N=N(),当当nN时时,对一切的对一切的zE均有均有则称级数则称级数(4.2)在在E上上一致收敛一致收敛于于f(z).记作记作:|( )|nf zs 定理定理4.5 (

13、柯西一致收敛准则柯西一致收敛准则)级数级数(4.2)在点在点在点集在点集E上一致收敛于某函数的充要条件是上一致收敛于某函数的充要条件是:任给的任给的0,存在正整数存在正整数N=N(),使当使当nN时时,对于对于一切一切zE,均有均有Weierstrass优级数准则优级数准则: 如果数列如果数列Mn(n=1,2,),使对一切使对一切zE,有有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正项而且正项级数级数 收敛收敛,则复函数项级数则复函数项级数 在点集在点集E上上绝对收敛且一致收敛绝对收敛且一致收敛: 这样的正项级数这样的正项级数 称为函数项级数称为函数项级数的的优级数优级数.1nnM 1( )n

14、nfz 1nnM 1( ) nnfz 11 2|( )( )| (, ,)nnpfzfzp 定理定理4.7 设级数设级数 的各项在的各项在 曲线曲线C上连续上连续,并并且在且在C上上一致收敛于一致收敛于f(z),则沿则沿C可以逐项积分可以逐项积分:1( )nnfz 1( )( )ncnf z dzfz dz 114 6 . ( ),( )(.nnnnEffzfzzfzE 点点集集 上上连连续续一一致致定定理理设设级级数数的的各各项项在在并并且且, ,则则和和数数也也在在收收于于上上连连续续敛敛定义定义4.5 设函数设函数 (n=1,2,)定义于区域定义于区域D内内,若若 级数级数(4.2)在在D内任一有界闭集上一致收敛内任一有界闭集上一致收敛,则称则称 此级数在此级数在D内内内闭一致收敛内闭一致收敛.( )nfz231nz zzz 当当|z|1时时,此级数收敛此级数收敛,但不一致收敛但不一致收敛.可是由例可是由例4.2知它知它在单位圆在单位圆|z|1内是内闭一致收敛的内是内闭一致收敛的.定理定理4.8 设级数设级数(4.2)在圆在圆K:|z-a|R内闭一致内闭一致收敛的收敛的充要条件充要条件为为:对于任意正数对于任意正数,只要只要0,使闭圆使闭圆K:|z-a| 全含于全含于D内内.若若C为圆为