椭圆的简单几何性质

1、123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4xF1 F2 F2 F1 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 P43 思考： 观察上面两个图，你能从图上看出它的范围吗？观察上面两个图，你能从图上看出它的范围吗？它具有

2、怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？22221(0)xyabab结论：结论：（1）关于x轴，y轴，原点都对称。（2）A1， A2 ， B1， B2 叫做椭圆的顶点； A1A2叫做椭圆的长轴； B1 B2 叫做椭圆的短轴。（3）OB2F2构成一直角三角形（其中|OB2|=b, |OF2|=c, |B2F2 |=a)1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4xF1 F2 F2 F1 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y一、椭圆的范围一、椭圆的范围 oxy由由

3、12222byax即即byax和说明：椭圆位于直线说明：椭圆位于直线X=a和和y=b所围成所围成的矩形之中。的矩形之中。112222byax和forward二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性)0(12222babyax在在之中，把（之中，把（ ）换成（）换成（ ），），方程不变，说明：方程不变，说明：椭圆关于（椭圆关于（ ）轴对称；）轴对称；椭圆关于（椭圆关于（ ）轴对称；）轴对称；椭圆关于（椭圆关于（ ）点对称；）点对称；故，坐标轴是椭圆的对称轴，故，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心原点是椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心叫做椭圆的中心 oxy二、二

4、、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质2、对称性、对称性：关于关于x轴，轴，y轴，原点都对称轴，原点都对称12222byax1、范围：、范围：由由 1, 1 得得 -axa, -byb 知知 椭圆落在椭圆落在x=a,y= b组成的矩形中组成的矩形中22ax22by123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4xF1 F2 F2 F1 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 P44探究：探究： 你能由椭圆的方程 得出椭圆与x轴、y轴交点的坐标吗？22221(0)xyabab3、顶点、顶点xyA1A2B2

5、B1O1、椭圆的四个顶点：A1（ ， ），）， A2（ ， ）B1（ ， ），）， B2（ ， ）2、椭圆的长短轴，长短半轴：椭圆的长轴：椭圆的短轴：A1A2，长轴长为，长轴长为2a，a为长半轴长为长半轴长B1B2，短轴长为，短轴长为2b，b为短半轴长为短半轴长-a 0a 00 b0 -b三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点)0(12222babyax在在中，令中，令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点（轴的交点（ ， ），）， 令令 y=0，得，得 x=？说明椭圆与？说明椭圆与 x轴的交点（轴的交点（ ， ）*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆

6、的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2 F1 F20 ba 0P45 思考： 观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？4、离心率、离心率四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 oxyace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：因为因为

7、a c 0，所以，所以1 e 02离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小（？），椭就越小（？），椭圆就越扁（？）圆就越扁（？）2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大（？），椭就越大（？），椭圆就越圆（？）圆就越圆（？）3）特例：）特例：e =0，则，则 a = b，则，则 c=0，两个焦点重合，椭圆，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）方程变为（？）4、离心率、离心率 我们把椭圆的焦距与长轴长的比我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为称为椭圆的离心率椭圆的离心率，用，用e来表示，即来表示

8、，即 。cacea椭圆的离心率可以理解为：椭圆的离心率可以理解为： 在椭圆的长轴不变的前提下，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。两个焦点离开中心的程度。xyA1A2B2B1OF1F2ac22,0,caeacbaca设 不变，01,eecec 越接近1，则 越接近a，b越小，所以椭圆越扁； 越接近0，则 越接近0，b越大，所以椭圆越接近于圆。b 当且仅当当且仅当a=b时，时，c=0，这时两个焦点重合，图形变形为圆，这时两个焦点重合，图形变形为圆，它的方程为：它的方程为：222xya三、小结三、小结 方程 几何性质范范 围围对对 称称顶顶 点点12222byax12222bxay-

9、axa,-byb -bxb,-ayax轴，轴，y轴，原点轴，原点 x轴，轴，y轴，原点轴，原点 A1（-a,0）A2（a,0）B1（0,-b） B2（0,b） A1（0,-a ）A2（0,a）B1（-b,0） B2（b,0）返回4、离心率、离心率 我们把椭圆的焦距与长轴长的比我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为称为椭圆的离心率椭圆的离心率，用，用e来表示，即来表示，即 。cacea椭圆的离心率可以理解为：椭圆的离心率可以理解为： 在椭圆的长轴不变的前提下，在椭圆的长轴不变的前提下，两个焦点离开中心的程度。两个焦点离开中心的程度。xyA1A2B2B1OF1F2acbP46 P46 探究：探究：12

10、bcab、 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？c、你能运用三角函数的知识解析，为什么e=越大，椭圆越扁？ac e=越小，椭圆越圆吗？a例例1、求椭圆、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。离心率、焦点和顶点的坐标。一、由方程研究性质一、由方程研究性质变式练习变式练习._)5, 0(122kkyx，则的一个焦点坐标是椭圆6二、由性质求椭圆方程二、由性质求椭圆方程. 62;32612距为的连线相互垂直，且焦轴两个端点轴上的一个焦点，与短）在（，离心率为）长轴长为（圆标准方程、求适合下列条件的椭例x136201203612222yxyx

11、或）（1918)2(22yx三、求椭圆的离心率三、求椭圆的离心率._,132222此椭圆的离心率为内切圆恰好过焦点，则，若四边形四个顶点、椭圆例ABCDDCBAbyax215 求椭圆离心率的方法求椭圆离心率的方法1、求出、求出a,c，再求，再求e;2、建立、建立a,b,c关系式，构造关系式，构造e的方程，的方程，求求e._,3_;_,2;_,75151,1212121012021222221则卫星轨迹的离心率是，离地面的距离分别为，卫星近地点，远地点设地球半径长为点的椭圆，轨道是以地心为一个焦、人造地球卫星的运行为离心率为正三角形，则椭圆的两点，若椭圆于线交且与椭圆长轴垂直的直为椭圆两焦点，过

12、、则椭圆的离心率为，为椭圆上一点，两焦点，为椭圆、设rrRABFBAFFFFPFFPFPbyaxFF363321122rrRrr._|3|1,5_;_0)0( 1421222221212222，则椭圆离心率范围是且为椭圆上一点，的两焦点，是椭圆、范围是则此椭圆的离心率取值，使得上总存在点、椭圆PFPFPbyaxFFPFPFPbabyax) 1 ,22) 1 ,212221422222eaccacbc、aPFPFPFaPFPF21|3|2|522121、caPFca|2121e|2121FFPFPF或求离心率的范围，设法建立的不等式关系。求离心率的范围，设法建立的不等式关系。如何获取不等关系方法

13、如何获取不等关系方法1、结合平面几何知识、结合平面几何知识2、数形结合法等、数形结合法等如三角形两边和大于第三边等。如三角形两边和大于第三边等。四、直线与椭圆的位置关系四、直线与椭圆的位置关系求椭圆的方程。，的斜率为，中点，若是两点，于相交与直线、椭圆例2222|,01)0, 0( 1422OCABABCBAyxnmnymx求解直线与椭圆位置关系问题求解直线与椭圆位置关系问题1、建立方程组，联想韦达定理，弦长、建立方程组，联想韦达定理，弦长公式等解决公式等解决2、若涉及弦的中点有关问题，可考虑点、若涉及弦的中点有关问题，可考虑点差法。差法。最长弦所在的直线方程）求直线被椭圆截得的（的范围点时，

14、求）当直线与椭圆有公共（，直线、已知椭圆2;114122mmxyyx25,25xy 两点关于该直线对称。，椭圆上总存在不同的直线的取值范围，使得对于，试确定、已知椭圆mxymyx4134222)2132,13132(五、椭圆中的最值问题五、椭圆中的最值问题的最值。）求（的最大和最小值）求（为其左右焦点。上任意一点，为椭圆、例|2;|1,1),(5211212222PFPFPFFFbyaxyxP求椭圆中有关最值问题求椭圆中有关最值问题1、代数方法、代数方法2、几何方法、几何方法离。到椭圆的最大及最小距求点，及点、已知椭圆个最小值。的距离最小，并求出这直线到，使得，在椭圆上求一点、已知椭圆PPyx

15、yxlPPyx)5 , 0(982204:8812222的方程。时，求直线，）当（的最大值条件下，）求在（面积两点，设交于与椭圆、直线的最大值为上变化，则在曲线、若动点ABSABSbkSAOBBAyxbkxybDbCbbbbBbbbbAyxbbyxyxP12|2;1001,1442 .44.)2(2)20(44.)4(2)40(44.2)0( 14),(3222222222六、椭圆的实际应用问题六、椭圆的实际应用问题例例6 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。旋转一周形成的曲面）的一部分。 过对称轴的截口过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，上，片门位于另一个焦点片门位于另一个焦点F2上。上。 由椭圆一个焦点由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。 已知已知BCF1F2，|F1B|=2.8cm, |F1F2|=4.5cm,求截口求截口BAC所在椭圆的方程。所在椭圆的方程。F1F2BACOxyF1F2BACOxy2.84.52221yab2解：建立所示直