人口增长连续模型

1、1人口增长连续模型 人口问题是当今世界人们最关心的问题之一,从我们建国以来的历史和当前的现实已经证明.这个问题也是我们国家必须认真思考和慎重对待的重大问题.过去曾认为人多好办事,对呼吁人口增长的经济学家马寅初错误地开展批评,结果造成人口超过13亿,背上了沉重的包袱.因此要实现四个现代化,应有效地控制人口增长,就必须制定正确的人口政策,为此就要建立人口增长的数学模型,用以描述人口增长过程,通过分析对人口增长进行预测,制定相应的人口政策以控制人口增长. 2 影响人口增长的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况,工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害,战争,

2、人口迁移等等.如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素增长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合的数学模型. 初看起来人口增长是按整数变化的,不是时间的可微函数,是不能用微分方程来描述的.但是若人口总数很大时,可以近似认为它是时间的连续函数,甚至是可微的函数.所以人口增长可以用微分方程来描述. 3设 , 表示t时刻人口总数和增长率, )(tx)(,(txtr只考虑增长率,其它因素的影响不考虑. 则在t至t+ 这段时间内人口总数增长为 tttxtxtrtxtt

3、x)()(,()()(两端同除以 ,并令 ,得 tt0)()()(,(1txtxtrdtdx我们将逐步深入讨论上面这个模型 4一,马尔萨斯(malthus)模型(指数增长模型) 英国人口学家马尔萨斯(17661834)根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了著名的人口指数增长模型. 基本假设 人口增长率是常数, 或者说,单位时间内人口的增长量与当时人口成正比. 在（1）式中令 =r(常数) 得 )(,(txtr002xtxtxrdttdxtt)()()()(其解: (3)()(00ttrextx5 (2)式是一个线性方程,称为马尔萨斯人口模型,人口以 为公比,按几何级数增加. re002x

4、txtxrdttdxtt)()()()( 据统计,1961年世界人口总数为3.06 , 而在此之前的十来年间人口按每年2%的速率增长.因此 9109001961,3.0610 ,0.02txr)(.)()(.41006319610209tetx 公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世界估计人口总数, 6但当t=2510年, = (2万亿), x14102t=2635年, = (18万亿), x151081.t=2670年, = (36万亿), x151063. 显然,这些数字说明马尔萨斯人口模型对长期的预测是不正确的. 由上可以看出,马尔萨斯人口增长模型对1700-1961年的

5、人口总数是对的,但对未来的人口总数预测不正确,应予以修正. 二、logistic模型(阻滞增长模型) 由上面分析,马尔萨斯人口模型对1700-1961年间人口总数的检验是对的,而未来的人口总数预测又是错的,原因何在? 7 产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加,自然资源,环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少时(相对于资源而言),人口增长率还可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量后,增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少,许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点. 看来为了使人口预报,特别是长期预报更好地符合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这

6、个基本假设. 8 荷兰生物学家Verhulst引入常数 ,用来表示自然资源和环境条件所允许的最大人口,并假定人口增长率 mx)()()(,(51mxtxrtxtr即人口增长率随着 的增加而减少,当 时，人口增长率趋于零 )(txmxtx)(其中： 是根据人口统计数据或经验确定的常数; mxr,因子 体现了对人口增长的阻滞作用. )(mxtx1由此得：Logistic模型 )(| )()(6100 xtxxxxrdtdxttm9解之得： )()()()(71100ttrmmexxxtx 根据(6), (7)两式可画出 和 曲线图如: 图1及图2： xdtdxtx 图1 图2 10 如图1, 是一条抛物线，他表示人口增长率 随着人口数量的增加而先增后减，在 处达到最大值。 xdtdxdtdxx2mxx 如图2， 是一条 型曲线 ，拐点在 处，当 时， tx s2mxx tmxx 本世纪初人们曾用这个模型预报美国人口，与实际数据比较，直到1930年计算结果都相吻合，后来的误差越来越大，一个明显原因是到1960年美国实际人口已突破了过去确定最大人口 。 mx11 这个模型改进了Mslthus模型，但不易准确得到 ，事实上，随着生产力的