华南理工大学 线性代数与解析几何 课件 (7)

1、第二章 矩阵2.1 矩阵与矩阵的运算2.2 矩阵的分块2.3 矩阵的秩2.4 矩阵的逆2.5 初等矩阵2.2 矩阵的分块引入背景引入背景 对于行数、列数较大的矩阵，为了对于行数、列数较大的矩阵，为了计算方便，常采用的一种方法就是矩阵计算方便，常采用的一种方法就是矩阵分块，即把一个较大的矩阵分块成为若分块，即把一个较大的矩阵分块成为若干小的矩阵干小的矩阵子块，把每个子块看成子块，把每个子块看成一个一个“元素元素”1211001100100001A100120114112B22210000110100110211AEEO， ，2221EEAO112122BBBO1211121212222121 (

2、1,1). sssrrrsijjriAAAAAAAAAAAmnirnnnmmmjs 列列列行行行其中是矩阵1212(), , : irsjmmmmAamnAnnnn设是矩 阵 且则 可 将分 块 如 下分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算分块矩阵也可以按普通矩阵的运算方法运算。前提前提: 11121111212112222122212122212112 ssssrrrsrrrsssrrnnnnnnmmmAAmmABBBAAABBBABAAAmBBB列列列列列列行行行行行行1111121211212122222121121222 ssssrrrrssrrsrABABABABABABABABAB

3、AnnmmmBn列列列行行行1112121222121212 ssrrssrrAAAAnnAAAAAAnmmm列列列行行行1112121121222122 sssrrrrskAkAkAkAkAkAkAknnnmmmAkAkA列列列行行行数乘：11121111212121211221222212221212 tstsrrrttsttttsrAAABBBAAABBBABpppnnnAAABBpmpmpmB列列列列列列行行行行行行1112121222112212 ssrrrssrCCnnnCCCCABCmmmCCC列列列行行行乘法：1()()kkijktijikmkpnpjCAB其中：1000101

4、0010012016 ,1210104111011120ABAB例设用分块矩阵求。21122122122 10001010001001201 , 1210104111011120EBEABAEBB解解211221221220EBEABAEBB1122111212122BEA BBAB211121121010111211A BB241133311010120121122122122 10001010001001201 , 1210104111011120EBEABAEBB解解1122111212122BEABA BBAB212212411120AB241133311112112122221222

5、1212121121211212 srrsTTTsrrrsTrsTsTTTTrTssrnnnmmmmmmnnAAAAAAAAAAAAAAAAAAnAA列列列行行行列列列行行行转置矩阵：先转置分块矩阵，先转置分块矩阵，再转置第个小分块再转置第个小分块121, ) iSAAA isAA若 (是非零，称 为分块对角矩阵方阵 2000014000100001A 例 11112222 = SSSSABABA BABA BABABA B 设 ， 为同阶且分块形式相同的分块对， 例角矩阵 123AAA 设设A=(aij)是一个是一个n阶方阵阶方阵，称，称为方阵A的行列式，记为的行列式，记为 |A| 或或 d

6、et(A)。111212122212 nnnnnnaaaaaaaaa定理定理2.1定理定理2.12.3 矩阵的秩矩阵的秩kkmnC C从从Am n中任取中任取k行行k列的交叉元素按原顺序组成的矩阵列的交叉元素按原顺序组成的矩阵或或初等列变换初等列变换初等行变换初等行变换n 初等变换举例12123231312rrA 2311230572311233123 3 2231123312rr 性质1 初等变换不改变矩阵的秩。 (证略)123 3 2123231231231123123312312057rrrrA123231231( 231 ) 123 ( 123 )312312057 3 秩秩(） =

7、秩12 (1)(1)(1), ,;1, .rkrmkrjkjjrjka (2)前 行是非零向量 其他各行 都是零向量第 行的第 个非零元素是则是格递增的严1 03450720200020000000524A5241020007210014024B不是阶梯型矩阵不是阶梯型矩阵是阶梯型矩阵是阶梯型矩阵1 03450720200020000000524A“角角”元素元素若阶梯矩阵的若阶梯矩阵的“角角”元素都是元素都是1，“角角”所在列的其所在列的其余元素都为余元素都为0，称该阶梯形矩阵为，称该阶梯形矩阵为简化阶梯形矩阵简化阶梯形矩阵。000450700200020000000111B阶梯形矩阵的秩阶

8、梯形矩阵的秩=矩阵非矩阵非0行数行数秩秩(B) = 3n 秩的性质秩的性质 n定理定理3.1 任意一个任意一个非非零矩阵都可经一系列初零矩阵都可经一系列初等变换成为等变换成为阶梯形矩阵阶梯形矩阵，进而化为，进而化为简化阶简化阶梯形矩阵。梯形矩阵。n若矩阵的形式如下，则称为标准形标准形矩阵矩阵。n定理定理3.2 任何一个矩阵任何一个矩阵Am n都与都与标准形矩阵标准形矩阵等价。等价。000000000000000000000111rEOOOBr3-r1r3+r2 r1-r2r2 1/2313241n任意任意一个一个非零矩阵非零矩阵都可经一系列初等变换成为都可经一系列初等变换成为阶梯形矩阵阶梯形矩阵，进而化为进而化为简化阶梯形简