固体物理习题选讲2016614

1、固体物理_习题选讲固体物理学固体物理学习题选讲习题选讲固体物理_习题选讲1、 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是体心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义由倒格子定义2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaaa 体心立方格子原胞基矢体心立方格子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa固体物理_习题选讲 倒格子基矢倒格子基矢231123022()()22aaaabijkijkaaav202()()4aijkijkv)(2kja同理同理)(22321132kiaaaa

2、aab32()bija可见由可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子为基矢构成的格子为面心立方格子 321,bbb固体物理_习题选讲面心立方格面心立方格子原胞基矢子原胞基矢123()/2()/2()/2aa jkaa kiaa ij倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa)(21kjiab同理同理)(22kjiab)(23kjiab可见由可见由 为基矢构成的格子为体心立方格子为基矢构成的格子为体心立方格子 321,bbb 固体物理_习题选讲2、 证明倒格子原胞体积证明倒格子原胞体积 其中其中v0为正格子原胞体积为正格子原胞体积 03(2 )v 倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa

3、3121232aabaaa1231232aabaaa倒格子体积倒格子体积*0123()vbbb3*023311230(2 )() ()()vaaaaaav3*00(2 )vv固体物理_习题选讲3、 如果基矢如果基矢 构成简单正交系构成简单正交系 证明晶面族证明晶面族 的面间距为的面间距为 说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理c,b,a)(hkl2221/ ( )( )( )hkldabc 简单正交系简单正交系cbakcaj bai aa321,倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaa

4、a固体物理_习题选讲kcbjbbiab2,2,2321倒格子矢量倒格子矢量321b lbkbhG222hikjlkabc晶面族晶面族 的面间距的面间距)(hklGd22221/ ( )( )( )hklabc 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理倒格子基矢倒格子基矢固体物理_习题选讲4、 指出立方晶格指出立方晶格(111)面与面与(100)面面 (111)面与面与(110)面的交线的晶向面的交线的晶向 (111)面与面与(100)面的交线的面的交线的ABABajak 晶向指

5、数晶向指数 AB平移，平移，A与与O点重合点重合BRajak (111)面与面与(100)面的交线的晶向面的交线的晶向011B点位矢点位矢固体物理_习题选讲(111)面与面与(110)面的交线的面的交线的ABABaiaj 晶向指数晶向指数 将将AB平移，平移，A与原点与原点O重合，重合，B点位矢点位矢BRaiaj (111)面与面与(110)面的交线的晶向面的交线的晶向110固体物理_习题选讲5、做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维、做出简单立方晶格、面心立方晶格和体心立方晶格的维格纳格纳 塞茨塞茨 (Wingner-Seitz)原胞原胞 维格纳维格纳 塞茨原胞：选取某一个格点为中

6、心，做出最近各塞茨原胞：选取某一个格点为中心，做出最近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间二维格子二维格子维格纳维格纳 塞茨原胞塞茨原胞 固体物理_习题选讲简单立方晶格简单立方晶格维格纳维格纳 塞茨原胞塞茨原胞原点和原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体固体物理_习题选讲面心立方格子面心立方格子维格纳维格纳 塞茨原胞塞茨原胞原点和原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体固体物理_习题选讲体心立方格子体心立方格子原点和原点和8个近邻格点连线的垂直平

7、分面围成的正八面体个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体沿立方轴的沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的体的六个角，形成的14面体面体 八个面是正六边形八个面是正六边形, , 六个面是正四边形六个面是正四边形固体物理_习题选讲维格纳维格纳 塞茨原胞塞茨原胞 14面体面体 八个面正六边形八个面正六边形 六个面正四边形六个面正四边形固体物理_习题选讲6、 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为nmrrru)(计算计算1) 平衡间距平衡间距r02) 结合能结合能W（单个原子的）（单个原子的

8、）3) 体弹性模量体弹性模量4) 若取若取 计算计算 的值的值 ,eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20固体物理_习题选讲1) 平衡间距平衡间距r0的计算的计算平衡条件平衡条件)(2)(nmrrNrU00rrdrdU01010nmrnrm2) 单个原子的结合能单个原子的结合能01( )2Wu r 1(1)()2mn mmnWnmmnmnr10)(晶体内能晶体内能00( )()mnr ru rrr 固体物理_习题选讲3) 体弹性模量体弹性模量0220)(VVUKV晶体的体积晶体的体积3NArV A为常数，为常数，N为原胞数目为原胞数目VrrUVU1121()23mnNmnrrNAr2211

9、21()23mnUNrmnVVrrrNAr)(2)(nmrrNrU晶体内能晶体内能固体物理_习题选讲91200020220220nmnmVVrnrmrnrmVNVU031)(22010100NArrnrmNVUnmVVnmrnrm00体弹性模量体弹性模量0220)(VVUKV由平衡条件由平衡条件912020220220nmVVrnrmVNVU固体物理_习题选讲9120020220nmVVrnnrmmVNVU920020nmrrVnmNnmrnrm00)(2000nmrrNU)(9020220UVmnVUVV009VmnUK 体弹性模量体弹性模量0220)(VVUKV912020220220nm

10、VVrnrmVNVU固体物理_习题选讲4) 若取若取 计算计算 的值的值eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20,mnmnr10)(1(1)()2mn mmnWnm1002rW210020Wrr95101.18 10eV m1929.0 10eV mnmrnrm00固体物理_习题选讲7、 已知有已知有N个离子组成的个离子组成的NaCl晶体，其结合能为晶体，其结合能为 现以现以 来代替排斥项来代替排斥项 ，且当晶体处于平衡时，且当晶体处于平衡时， 这两者对互作用势能的贡献相同，试求这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和和 的关系。的关系。 20( )()24nNeU rrrrcenr 将结合

11、能在平衡位置处展开将结合能在平衡位置处展开)()()()(000rrrUrUrUrr固体物理_习题选讲)4(2)( 02rcereNrU以以 代替代替 后后rce0nr)()()( )( 000rrrUrUrUrr根据题意根据题意)( )(00rUrU结合能结合能0)()(00rrrrrUrU00rncer010rnncer固体物理_习题选讲00rncer010rnncernr 01()nen c两式相比两式相比n和和 的关系的关系固体物理_习题选讲/2a8、 质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的 力常数交错等于力常数交错等于 和和

12、，并且最近邻间距，并且最近邻间距 1) 求出色散关系和分析计算求出色散关系和分析计算 处格波的频率值处格波的频率值2) 大致画出色散关系图大致画出色散关系图 1c210c0,qqa 绿色绿色标记的原子位于标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 红色标记原子位于红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 固体物理_习题选讲 第第2n个原子和第个原子和第2n1个原子的运动方程个原子的运动方程212222112121122112222()()nnnnnnnnmm 1(2 )221(21)221itnaqnitnaqnAeBe 体系体系N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 方

13、程的解方程的解令令221122/,/mm固体物理_习题选讲11222222212121122222221212()()0()()0i aqi aqi aqi aqAeeBeeAB11222222212121122222221212(),()(),()0i aqi aqi aqi aqeeee1111222 222222222121212()()0()i aqi aqi aqi aqeeee A、B有非零的解，系数行列式满足有非零的解，系数行列式满足固体物理_习题选讲1111222 222222222121212()()0()i aqi aqi aqi aqeeee 1c210c22220120

14、10,10ccmm22244000(11)20(10c01)osaq 220(1120cos101)qa 两种色散关系两种色散关系 固体物理_习题选讲220(1120cos101)qa0q 220(11121)0220qa220(1181)00202 色散关系图色散关系图 两种色散关系两种色散关系 固体物理_习题选讲9、 设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有附近的长波极限有20)(Aqq002/102/320)(14)(AVf证明：频率分布函数证明：频率分布函数 三维晶格振动的态密度三维晶格振动的态密度3/(2 )Vdq间隔内的状态数间隔内的状态数dqqV234)

15、2(对对 两边微分两边微分20)(Aqq固体物理_习题选讲Aqdqqd2)(1/2)( )dqAq dq 01Aq将将dq和和 代入代入dqqV234)2()()(144)2(2/102/3223qdAVdqqV得到得到02/102/32)(14)(AVf时时 为虚数，有为虚数，有02/10)( )0f固体物理_习题选讲方法方法 2振动模式密度函数振动模式密度函数 q空间的等频率面是球面，空间的等频率面是球面，q为常数为常数3( )(2 )( )qVdsfq已知三维色散关系已知三维色散关系20)(Aqq( )2qqAq 0()/qA3( )(2 )2VdsfAq3(2 ) 2VqA固体物理_习

16、题选讲1/2023/21( )()4VfA 对于光学波，在对于光学波，在 处振动频率具有最大值处振动频率具有最大值0q 01/20023/201()( )40VfA频率分布函数频率分布函数固体物理_习题选讲10、在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成、在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成KmolmJTTC/57. 208. 23如果一个摩尔的金属钾有如果一个摩尔的金属钾有 个电子个电子求钾的费米温度求钾的费米温度 和德拜温度和德拜温度23106NFTD 一摩尔的电子对热容的贡献一摩尔的电子对热容的贡献BFBVkETkNC)(2020固体物理_习题选讲BFBBkTkTkN)(22020

17、31962422.08 10BFkTNK32.08 10/mJ mol K费米温度费米温度 与实验结果比较与实验结果比较KmolmJTTC/57. 208. 23固体物理_习题选讲德拜定律德拜定律43012()5BVDN kTC4333012()2.57 10/5BDN kTTmJ mol K41/30312()9152.57 10BDN kK 与实验结果比较与实验结果比较KmolmJTTC/57. 208. 23德拜温度德拜温度固体物理_习题选讲310.5/mg cm661.61 102950.038 1020cmTKcmTK 银的质量密度银的质量密度 原子量原子量 电阻率电阻率 107.8

18、711、 若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量1) 费米能量和费米温度费米能量和费米温度2) 费米球半径费米球半径3) 费米速度费米速度4) 费米球面的横截面积费米球面的横截面积5) 在室温以及低温时电子的平均自由程在室温以及低温时电子的平均自由程固体物理_习题选讲 1) 费米能量和费米温度费米能量和费米温度2022/3(3)2FEnm6293313410.5100.586 10/107.879.11 101.05 10AnNmmkgJ s0198.82 105.5FEJeV046.4 10FFBETKk费费米米能量能量费米温度费米温度2

19、10/3(3)Fkn固体物理_习题选讲 2) 费米球半径费米球半径020()2FFkEm0022FFmEk 01011.2 10Fkm0198.82 10FEJ3) 费米速度费米速度0FFkvm61.38 10/Fvm s固体物理_习题选讲 4) 费米球面的横截面积费米球面的横截面积02022(sin )sinFFSkk 是是 与与 轴之间的夹角轴之间的夹角 Fkz021/3(3)Fkn22/32(3)sinSn固体物理_习题选讲 5) 在室温以及低温时电子的平均自由程在室温以及低温时电子的平均自由程1201()FnqEm02()FmEnq0()FFlvE2Fknq01011.2 10FFkk

20、m电导率电导率弛豫时间弛豫时间平均自由程平均自由程2Fmvlnq0 K到室温之间的费到室温之间的费米米半径变化很小半径变化很小固体物理_习题选讲02Fklnq平均自由程平均自由程1929334010162956201.6 100.586 10/1.05 101.2 101.61 100.038 10FTKTKqCnmJ skmcmcm829563205.24 1052.42.2 102.210TKTKlmnmlmnm固体物理_习题选讲12、设、设N个电子组成简并电子气，体积为个电子组成简并电子气，体积为V，证明，证明T=0K时时 1) 每个电子的平均能量每个电子的平均能量 2) 自由电子气的压

21、强满足自由电子气的压强满足053FEU UNpV32 自由电子的能态密度自由电子的能态密度2/12/32)2(4)(EhmVENT=0 K，费米分布函数，费米分布函数)(0)(1)(00FFEEEEEf固体物理_习题选讲电子平均能量电子平均能量053FEU 0)()(dEEfENN将电子气看作是理想气体，压强将电子气看作是理想气体，压强Unp32UVNp32UNpV32dEEhmVdEEENUFFEE0002/12/320)2(4)(电子总数电子总数固体物理_习题选讲13、已知钠晶体是体心立方结构、已知钠晶体是体心立方结构 晶格常数晶格常数 ，若电阻率，若电阻率 钠晶体的电子又可看作自由电子，

22、试计算钠晶体电子的钠晶体的电子又可看作自由电子，试计算钠晶体电子的 弛豫时间及费米面上电子的平均自由程。弛豫时间及费米面上电子的平均自由程。0.43anm64.3 10cm319.11 10mkg161.6 10eC 341.05 10J s 电子的质量电子的质量 电子电量电子电量 普朗克常数普朗克常数 固体物理_习题选讲301231()2vaaaa2mnq6283031194.3 1012.52 10/9.11 101.6 10cmnmvmkgqC143 10s 体心立方格子的原胞体积体心立方格子的原胞体积9 331(0.43 10 )2m弛豫时间弛豫时间固体物理_习题选讲02Fklnq34

23、lnm 费米面上电子的平均自由程费米面上电子的平均自由程002FFmvlvnq021/362833119(3)4.3 102.52 10/9.11 101.6 10FkncmnmmkgqC固体物理_习题选讲14、 写出一维近自由电子近似，第写出一维近自由电子近似，第n个能带（个能带（n=1,2,3）中）中 简约波矢简约波矢 的零级波函数的零级波函数ak2 一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数 )2(21 (1)(22222xaninnmxaixk ikeankkmVeeLx 第第n个能带零级波函数个能带零级波函数mxaixk ineeLx20

24、1)(xamaineLx)22(01)(固体物理_习题选讲xaieLxm2011)(0 xamaineLx)22(01)(第一个能带第一个能带xaieL21ak2固体物理_习题选讲xaaieLxm)22(021)(1第二个能带第二个能带xaieL231ak2xaaieLxm)22(031)(, 1第三个能带第三个能带xaieL251xamaineLx)22(01)(固体物理_习题选讲15、 电子在周期场中的势能函数电子在周期场中的势能函数bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222 且且a=4b， 是常数。是常数。1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值；画出此势能曲

25、线，并计算势能的平均值；2) 用近自由电子模型用近自由电子模型 计算晶体的第一个和第二个带隙宽度计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 固体物理_习题选讲bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222固体物理_习题选讲 势能的平均值势能的平均值LikxikxdxeLxVeLV01)(1222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLLLNa固体物理_习题选讲势能的平均值势能的平均值222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLL222() 2na bna bNVmbxnadxL令令nax 2221()2bbVmbda229

26、6aVm固体物理_习题选讲 近自由电子近似中，势能函数的第近自由电子近似中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数 akkidVeanV0)()(1)(nakk2bbnaidbeamnV)(2)(22222221( )() 2V xmbxnanabxnabnax固体物理_习题选讲bbnaidbeamnV)(2)(2222bbaidbeamV)(222221bbaidbeamV)(222422第一个带隙宽度第一个带隙宽度第二个带隙宽度第二个带隙宽度3221182bmVEg222222bmVEg固体物理_习题选讲16、 用紧束缚近似求出面心立用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格方晶格和体心立

27、方晶格s态原子态原子能级相对应的能带能级相对应的能带 函数函数 )(kEs面心立方晶格面心立方晶格 s态原子能级相对应的能带函数态原子能级相对应的能带函数NearestRRk issssseRJJkE)()(0固体物理_习题选讲 任选取一个格点为原点任选取一个格点为原点O 最近邻格点有最近邻格点有12个个0*01()() ( )( )( )0sisiJJ RRUVd 01( )ssik RssRNearestE kJJe s原子态波函数具有球对称性原子态波函数具有球对称性固体物理_习题选讲12个最邻近格点的位置个最邻近格点的位置0,2,20,2,20,2,20,2,2aaaaaaaa2,2,0

28、2,2,02,2,02,2,0aaaaaaaa2,0,22,0,22,0,22,0,2aaaaaaaaO固体物理_习题选讲01( )4(coscoscoscoscoscos)222222ssyyxxzzEkJk ak ak ak ak ak aJ 类似的表示共有类似的表示共有12项项() (0 )22()2(cossin)(cossin)2222xyzsxyaai k ik j k kijkik Raikkyyxxeek ak ak ak aeii 022saaRijk01( )ssik RssRNearestE kJJe 归并化简后得到面心归并化简后得到面心立方立方s态原子能级相对应的能带态

29、原子能级相对应的能带固体物理_习题选讲 对于体心立方格子对于体心立方格子 任选取一个格点为原点任选取一个格点为原点 有有8个最邻近格点个最邻近格点O2,2,22,2,22,2,22,2,2aaaaaaaaaaaa2,2,22,2,22,2,22,2,2aaaaaaaaaaaa 最近邻格点的位置最近邻格点的位置固体物理_习题选讲() ()()2222(cossin)(cossin)(cossin)222222xyzxyzsaaaai k ik j k kijkikkkik Ryyxxzzeeek ak ak ak ak ak aiii 类似的表示共有类似的表示共有8项项kajaiaRs22201

30、( )ssik RssRNearestE kJJe 01( )8cos(/2)cos(/2)cos(/2)ssxyzE kJJk ak ak a 归并化简后得到归并化简后得到体心立方体心立方s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带固体物理_习题选讲 只计入最近邻格点原子的相互作用时只计入最近邻格点原子的相互作用时 s态原子能级相对应的能带函数表示为态原子能级相对应的能带函数表示为NearestRRk issssseRJJkE)()(017、 一维单原子链，原子间距一维单原子链，原子间距a，总长度为，总长度为LNa1) 用紧束缚近似方法求出与原子用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能

31、带函数态能级相对应的能带函数2) 求出其能带密度函数求出其能带密度函数 的表达式的表达式3) 如每个原子如每个原子s态中只有一个电子，计算态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级时的费密能级 和和 处的能态密度处的能态密度0FE0FE)(EN固体物理_习题选讲对于一维情形对于一维情形, 任意选取一个格点为原点任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点，坐标为：有两个最近邻的格点，坐标为：a和和aNearestRRk issssseRJJkE)()(0)()(10ikaikasseeJJkEkaJJkEsscos2)(10dkkaaJkdEs)sin2()(1kaaJkdEdkssin2)(1

32、能带密度函数能带密度函数的计算的计算固体物理_习题选讲2210(1/4( ) )( )sssdkaJEkJdEk42NadZdk22102( )4( )sssNdEkJEkJ102)(cosJJkEkass210)2)(1sinJJkEkasskaJJkEsscos2)(101(1/2sin)( )sdkaJka dEk对于一维格子，波矢为对于一维格子，波矢为 具有相同的能量具有相同的能量此外考虑到电子自旋有此外考虑到电子自旋有2种取向，在种取向，在dk区间的状态数区间的状态数k andk固体物理_习题选讲22102( )( )4( )sssdZNN EdEkJEkJ能带密度能带密度T=0K的

33、费的费米米能级计算能级计算总的电子数总的电子数00( )( )FkEsENN E dEk0022102( )4( )FkEssEsNNdE kJE kJ0010102cos2ksskEJJkaJJ其中其中固体物理_习题选讲001112arcsinarcsin222FsEJJJJ00012arcsin2FkEssEEJJ00FsEJT=0K的费的费米米能级能级1( )NN EJT=0K费费米米能级处的能态密度能级处的能态密度202102( )4()FsNN EJEJ固体物理_习题选讲由于能带的交叠，能带由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带中的部分电子转移到能带2中，而中，而在能带在能带1

34、中形成空穴，讨论中形成空穴，讨论 时的费时的费米米能级能级其中其中 为能带为能带1的带顶，的带顶， 为能带为能带2的带底的带底18、 半金属交叠的能带半金属交叠的能带22111122220022( )(0),0.182( )()() ,0.062kE kEmmmE kE kkkmmm1(0)E20()E k120(0)()0.1EE keV0TK固体物理_习题选讲 半金属的能带半金属的能带1和能带和能带2221112222002( )(0)2( )()()2kE kEmE kE kkkm能带能带1的能态密度的能态密度13( )2(2 )kVdSN EE21kkEm1112(0)( )/km E

35、E k固体物理_习题选讲1112(0)( )/kEEE km2131114( )2(2 )2(0)( )/VkN EEE km3121112222( )()(0)( )(2 )VmN EEE k13( )2(2 )kVdSN EE 同理能带同理能带2的能态密度的能态密度32222202222( )()( )()(2 )VmNEE kE k固体物理_习题选讲 如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带 由于能带交叠，能带由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带中的电子填充到能带2中，满足中，满足01(0)02()012( )( )FFkEEEEN E dENE

36、 dE1(0)0312112222()(0)( )(2 )FEEVmEE k dE02()03222202222()( )()(2 )FkEEVmE kE k dE固体物理_习题选讲01(0)02()03/23/23/23/21112220(0)( )( )()FFkEEEEmEE kmE kE k0011220(0)()FFm EEm EE k01122012(0)()Fm Em E kEmm120.18,0.06mm mm120(0)()0.1EE keV020()0.075FEE keV固体物理_习题选讲19、 设有二维正方晶格，晶体势场设有二维正方晶格，晶体势场)2cos()2cos(

37、4),(yaxaUyxU用近自由电子近似的微扰论用近自由电子近似的微扰论近似求出在布里渊顶角近似求出在布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的能隙 晶体布里渊顶角晶体布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的能隙112VEg近自由电子近似中，势能函数的第近自由电子近似中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数aGidUeanVn02)(1)(nRryxdddnGkk 固体物理_习题选讲)(),(2222yaiyaixaixaieeeeUyxU 晶体势场晶体势场2211,anyanxnRr)(),(2211222221aiaiaiaieeeeUU)2cos()2cos(4),(yaxaUyxU固体

38、物理_习题选讲aGidUeanVn02)(1)(nxykGkkkaa 22nxyGkkaa 布里渊顶角布里渊顶角21bb代入代入yxaaaabbia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)11()(0 02222212121)(1xykkkaa固体物理_习题选讲yxaaia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)22(0 0222221)(1a ayxaiaiddeeUaVyx0 04421)1)(1 (1UV1UEg21布里渊顶角布里渊顶角 处的能隙处的能隙),(aa固体物理_习题选讲 将将 改写为改写为)(2222yxkkmE2222mEkkyx 给定能量，该方

39、程在波矢给定能量，该方程在波矢k空间表示的是一个圆空间表示的是一个圆22)2(2Lk空间，单位面积内的状态数空间，单位面积内的状态数2k20、限制在边长为、限制在边长为L的正方形中的的正方形中的N个电子个电子)(2222yxkkmE1）求能态密度）求能态密度2）求二维系统在绝对零度时的费米能量）求二维系统在绝对零度时的费米能量电子的能量电子的能量固体物理_习题选讲222)2(2kLZEmLZ2222mEk 半径半径 的圆内的状态数的圆内的状态数dEmLdZ22能态密度能态密度22)(mLEN能量能量 之间的状态数之间的状态数dEEE固体物理_习题选讲能态密度能态密度22)(mLEN能量能量 电

40、子的数目电子的数目dEEEdEEfENdN)()(dEEfmLdN)(220220220FEEmLdEmLNF绝对零度时的费米能量绝对零度时的费米能量220mLNEF固体物理_习题选讲21、设一维晶体的电子能带可以写成、设一维晶体的电子能带可以写成)2cos81cos87()(22kakamakE式中式中a为晶格常数，计算为晶格常数，计算1) 能带的宽度能带的宽度2) 电子在波矢电子在波矢k的状态时的速度的状态时的速度3) 能带底部和能带顶部电子的有效质量能带底部和能带顶部电子的有效质量固体物理_习题选讲)2cos81cos87()(22kakamakE 1) 能带的宽度的计算能带的宽度的计算能带底部能带底部0k0)0(Eak222)(maaE能带顶部能