材料力学 截面的几何性质

1、附录附录 截面截面的几何性质的几何性质-1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置-2 惯性矩、惯性积和惯性半径惯性矩、惯性积和惯性半径-4 转轴公式转轴公式 主惯性矩主惯性矩-3 平行移轴公式平行移轴公式附 录2一、静矩的定义(与力矩类似)（也称称面积矩面积矩或或一次矩一次矩）dAzyyz静矩与形心AAyyAAzzAzSSAySSdddd截面对z轴的静矩：截面对y轴的静矩： 平面图形的静矩是对某一坐标轴而言平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一图形对不同坐标轴，其静矩也的，同一图形对不同坐标轴，其静矩也就不同；就不同； 静矩的数值可正、可负、也可等于零；静矩的数值可正、可负、也可等于零；

2、 静矩的量纲是长度的三次方。静矩的量纲是长度的三次方。3二、静矩与形心的关系zyyzASAAyyASAAzzzACyACdd形心坐标CzCyC由力矩的等效关系得到静矩的另一公式：czyAScyzAS(1)若z、y轴通过形心C，则 yC=zC=0，因此Sz=Sy=0。即：截面对其形心轴的静矩等于零。反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必过其形心。Ad(2) 对于有对称轴的截面对于有对称轴的截面, ,对称轴必然是形心轴对称轴必然是形心轴. . 组合截面形心组合截面形心 组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形如矩形、圆形等）组成的，这种截面称为

3、组合截面。等）组成的，这种截面称为组合截面。附 录cciniixAyyAScciniiyAxxAS组合截面对组合截面对X、Y轴静矩的计算：轴静矩的计算：Ai任一简单图形的面积；任一简单图形的面积；xci，yci任一简单图形的形心坐标；任一简单图形的形心坐标；n全部简单图形的个数。全部简单图形的个数。组合截面对某一轴的静矩应等组合截面对某一轴的静矩应等于其各组成部分对该轴静矩的于其各组成部分对该轴静矩的代数和。代数和。确定组合截面确定组合截面形心位置形心位置的公式：的公式：niiniciicAxAxniiniciicAyAy附 录yc1y1H/2H/2Cb 例题例题 一矩形截面如图所示，图中的一

4、矩形截面如图所示，图中的b、h和和y1均为已知值。试均为已知值。试求有阴影线部分的面积对于对称轴求有阴影线部分的面积对于对称轴X的静矩。的静矩。) )y y2 2h hb(b(A A1 1 解：解：) )y y2 2h h( (2 21 1) )y y2 2h h( (2 21 1y yy y1 11 11 1c c1 1) )y y2 2h h( (2 21 1) )y y2 2h hb b( (A Ay yS S1 11 1c c1 1x x) )4y4y(h(h8 8b b2 21 12 2XY2061d)(d bhyhyhbyAyhAxs例例2、图形对、图形对 x 轴的静矩为轴的静矩为

5、形心坐标形心坐标yc为为 b)(yboxyyydhh h3 31 1b bh h2 21 1b bh h6 61 1A Ay yc c2 2s sy y例3、求左图示组合图形的静矩。解：将原图在右端补满，其中内部兰色的矩形和外部黑色的矩形均为规则图形，要注意的是图形I事实上是不存在的，我们在这里使用负面积法。yz20202010010090IIIyz202020901001003III21i21iymm225000454000459000IIIccciyzAzAzASSii2IIIIII2IIImm4000mm45mm60mm9000mm45mm50AzyAzycccc3mm210000zS对

6、图形I和图形II,有IIIyz20202090100100AIdA2pyzyozAAd 极惯性矩极惯性矩为图形对坐标原点为图形对坐标原点o的极惯性矩。的极惯性矩。极惯性矩恒为正值，它的量纲为极惯性矩恒为正值，它的量纲为长长度度4，常用单位为，常用单位为m4和和mm4。定义定义极惯性矩 惯性矩 惯性积 AzAyAyIAzId,d22分别称分别称Iy、Iz为图形对为图形对y轴和轴和z轴的惯轴的惯性矩。惯性矩的量纲是性矩。惯性矩的量纲是长度长度4，惯性，惯性矩是恒正的量。矩是恒正的量。惯性矩惯性矩yzyozAAd惯性矩的国际单位是惯性矩的国际单位是m4，常用单位是，常用单位是cm4,mm4。 yzy

7、ozAAd 惯性矩的大小不仅与惯性矩的大小不仅与图图形面积形面积有关，而且与有关，而且与图形面图形面积相对于坐标轴的分布有关积相对于坐标轴的分布有关。面积离坐标轴越远，惯性矩面积离坐标轴越远，惯性矩越大；反之，面积离坐标轴越大；反之，面积离坐标轴越近，惯性矩越小。越近，惯性矩越小。22,zzyyiAIiAIAIiAIizzyy,iy和和iz分别称为图形对于分别称为图形对于y 轴和轴和z 轴的惯性半径。惯性半径为轴的惯性半径。惯性半径为正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯正值，它的大小反映了图形面积对坐标轴的聚集程度。惯性半径的量纲是长度，常用单位为性半径的量纲是长度，常用单位为m

8、m或或m。 定义定义 惯性半径惯性半径 或或222zy yzAAIIAzAyAIddd22A2pyzyozAAd由于由于则则此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。AyzAyzIdyzyozAAd为图形对为图形对y、z轴的惯性积轴的惯性积 。定义定义惯性积惯性积惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是长长度度4 ，常用单位为，常用单位为m4和和mm4。定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴的惯性积必然为零。的惯性积必然为零。 0d AyzAyzI

9、oyzAdAdzyy1. 均质矩形板均质矩形板 质量为质量为m，长度为，长度为l的均质杆，建的均质杆，建立图示坐标系，则有立图示坐标系，则有2.5 常见图形的惯性矩、惯性积常见图形的惯性矩、惯性积12dd32222bhzbzAzIhhAyccyzczCAdzd2h2b2b2h1z2z3dd302221hbyhyAyIIbAzz很容易得到下列结果很容易得到下列结果cyczCAddy2h2b2b2h1z2z12dd32222hbyhyAyIbbAzc4232pA0d2d32DDIA圆形圆形 直径为直径为d的圆形，选取图示圆环形积分的圆形，选取图示圆环形积分微元，微元，oyzDd64214pDIII

10、zy444444322132)(323232d2DdDdDIDdP44p16421DIIIzy0yzIyzDd由于由于y轴为对称轴，故轴为对称轴，故圆环形对圆环形对y(或或z)轴的惯性矩为轴的惯性矩为圆环形圆环形azzbyycc 对于平面图形，建立坐标系对于平面图形，建立坐标系Oyz和基于和基于形心形心C的坐标系的坐标系Cyczc，由定义，由定义AyIAzIAczAcyccd,d22oyzCAdbazcyczcyczy及坐标变换公式及坐标变换公式 平行移轴定理ccyyAcAcAcAyaSAaIAzaAaAzAazAzI2d2ddd22222 将图形对将图形对y轴的惯性矩用关于形心坐轴的惯性矩用

11、关于形心坐标系的坐标来表达标系的坐标来表达oyzCAdbazcyczcyczyAaIIcyy2AbIIczz2abAIIcczyyzoyzCAdbazcyczcyczy由于由于yc是过形心的轴，所以是过形心的轴，所以同理可得同理可得小结小结v移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心；移轴公式中的两根平行轴中必须至少有一根轴过形心；v在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。在所有平行的轴中，图形对过形心的轴的惯性矩最小。mm3 .1030212211cAAzAzAzyc解：将图形看作是两个矩形的结合。解：将图形看作是两个矩形的结合。形心坐标为形心坐标为例题例题 试求图示图形对形心轴

12、的惯性矩和试求图示图形对形心轴的惯性矩和惯性积。惯性积。 yzC1ay2a1403 .1032020100IICICIIIIII334420 100140 201212176 10 mmzzzIII求图形对求图形对y、z轴的惯性矩轴的惯性矩 4423mm1044320100)3 .103150(1220100IyIyzC1ay2a1403 .1032020100IICICIII4423mm1076814020)703 .103(1214020IIyI4444mm1012111076810443IIIyyyIII0yzIyzC1ay2a1403 .1032020100IICICIII由于z轴是对

13、称轴 ，故图形对两轴的惯性积为26*典型截面惯性矩的计算1、矩形截面zybhydydAyIAz2222hhbdyy2233hhyb3121bh同理dAzIAy23121hb27zyD2、实心圆截面已知APdAI2324D则yzAAAPIIdAzdAydAI222zyII 由对称性知所以zyII pI21644D同理，空心圆截面44164DIIzy28平行移轴定理CCybyzaz以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴 zC , yC则某微元dA在两坐标系的位置关系为：0CzCCAySz 为形心轴轴AbbSIAbbyyAyIzCzCCACAz22222 d)2( dAbIIzCz2dAzyyz

14、abCzCyC29注意：1、 C点必须为形心，即：zC、yC必须是形心轴。2、式中的a、b是代数值。（可能取负值。）AbIICzz2AaIICyy2abAIICCyzzy同理可得b为轴z与zC的轴距a为轴y与yC的轴距平行移轴公式：30例：已知 ，求最大弯曲正应力。mNM5max102 . 116281448解：确定中性轴的位置1081628) 514(108141628Cycm13zCzCy单位：cm)1319(10812108 )1314(28161228162323zI426200 cmMPaIyMz65.68102620015. 0102 . 185maxmaxmax计算最大正应力 图

15、形对某一对坐标轴图形对某一对坐标轴y和和z取得极值时，图形对该坐标轴取得极值时，图形对该坐标轴的惯性积为零。的惯性积为零。 y和和z轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有坐标轴的惯性矩的极值。坐标轴的惯性矩的极值。 若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴。图形若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 基本概念基本概念转轴公式及主惯性轴4.1 转轴公式转轴公式平面任意图

16、形及新旧坐标系统 图示平面图形对任意一对新坐标轴y轴z轴的惯性矩和惯性积为： AyzIAyIAzId,d,dAyzA2zA2y 若将坐标轴绕坐标原点旋转角(规定角逆时针旋转为正，顺时针旋转为负)。得到一对新坐标轴y1轴和z1轴。图形对y1轴z1轴的惯性矩和惯性积为： AzyIAyIAzIAAAd,d,d11zy21z21y1111 从图中任意一点取微面积dA，它在新旧坐标(y1,z1)和(y,z)有如下关系 sincossincos11yzzzyy将此关系代入Iy1、Iz1和Iy1z1中，得2sinsincosdcossin2dsindcosd)sincos(dzyz2z2yAA22A222A

17、A211IIIAyzAyAzAyzAIy22cos1cos,22cos1sin22将代入上式得2sin2sin)(212sin2cos)(21)(212sin2cos)(21)(21yzzyzyyzzyzyzyzzyzyy1111IIIIIIIIIIIIIIII同理 (a)4.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩(principal moment of inertia)将式(a)对求导数，以确定惯性矩的极值2cos2sin)(212ddyzzyy1IIII令=0时02cos2sin)(212ddyzzyy1IIII得zyyz022tanIII由上式可以解得相差90的两个角度0和0+ 90，

18、从而确定了一对相互垂直的坐标轴y0轴z0轴。图形对这对轴的惯性矩一个取得最大值Imax，另一个取得最小值Imin，将0和0+ 90分别代入式(a)第一式，经化简得惯性矩极值的计算公式：2yz2zyzymin2yz2zyzymax2212)(2100IIIIIIIIIIIIIIzy 将a0和a0+ 90代入式(a)第三式，得惯性积Iy0z00。因此图形对某一对坐标轴y0和z0取得极值时，图形对该坐标轴的惯性积为零。 y0和z0轴称作主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。主惯性矩的值是图形对通过同一点的所有坐标轴的惯性矩的极值。 4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩形心主惯性轴和形心主惯性矩 若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。 图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形的对称轴就是形心主惯性轴。 形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点：形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互相垂直的坐标轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩即形心主惯性矩是图形对通过形心的所有坐标轴的惯性矩的极值。图形对形