第六讲相关性与Copula函数

1、第六讲第六讲相关性与相关性与Copula函数函数协方差和相关系数协方差和相关系数n变量V1 和 V2 的相关系数被定义为n变量V1 和 V2 的相关系数被定义为121212()() ()()()E VVE V E VSD V SD V121212cov( ,)()() ()V VE VVE V E V独立性独立性n两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立n精确地讲，变量V1 和 V2 在统计上被定义为相互独立，如果对于所有的x，下列等式成立nf ()代表变量的概率密度函数212()()f V Vxf V独立性并不等同于独立性并不等同

2、于零零相关相关n假定变量 V1 的值有三种均等的可能：1，0，或 +1 n如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1n如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0n可以清楚地看到 V1 和 V2 有某种关联性，但它们的相关系数为0几种不同的关联形式几种不同的关联形式1V1V1V2E V2E V2E V)a)b)c监测相关系数监测相关系数n定义 xi=(XiXi-1)/Xi-1 和 yi=(YiYi-1)/Yi-1nvarx,n ：以第n-1天估计的X的日方差nvary,n ：以第n-1天估计的Y的日方差ncovn ： 以第n-1天估计的协方差n相关系数为,covvarvarnx

3、 ny n协方差协方差n第n天的协方差为n经常被简化为()nnnnE x yE xE y()nnE x y监测相关系数（续）监测相关系数（续）nEWMA：nGARCH（1，1）：111covcov(1)nnnnxy111covcovnnnnxy协方差的一致性条件协方差的一致性条件n方差-协方差矩阵满足内部一致性条件的不等式为：对于所有的向量w，满足0Tww二元正态分布二元正态分布n假定两个变量V1 和 V2 服从二元正态分布，假定变量变量V1 的某个观察值为v1，V2 在V1 = v1条件下为正态分布，期望值为n标准差为nm1 和 m2 分别为 V1 和 V2 的（无条件）期望值，s1和s2分

4、别为 V1 和 V2 的（无条件）标准差， 为 V1 和 V2 的相关系数11221Vmmss221s多元正态分布多元正态分布n很容易处理n方差-协方差矩阵定义了方差和变量间的相关系数n要满足内部一致性条件，方差-协方差矩阵就必须是半正定的生成随机样本生成随机样本：模特卡洛模拟：模特卡洛模拟n在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（）来生成服从正态分布随机数n对于产生多元联合正态分布的随机抽样要采用Cholesky分解的方法因子模型因子模型n对N个变量之间的相关性进行估计，我们需要估计N(N-1)/2个参数n采用因子模型进行估计，我们就可以减少估计参数的数量单因子模型单因子模型n

5、假设 Ui 服从标准正态分布，可设n其中，共同因子 F 和特异因子 Zi 均服从标准正态分布nUi 和 Uj 的相关系数为 ai aj21iiiiUa Fa Z高斯高斯Copula函数函数n假设我们希望在不服从正态分布的两个变量V1 和 V2 之间定义一种相关结构n我们将变量V1 和 V2 映射到U1 和 U2 上，这里的U1 和 U2 均服从标准正态分布n这种映射为分位数与分位数之间的一一映射n假定U1 和 U2 的联合分布为二元正态分布V之间的相关结构是通过之间的相关结构是通过U之间的相关结构定义的之间的相关结构定义的-0.200.20.40.60.811.2-0.200.20.40.60

6、.811.2V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2相关性假设V1V2-6-4-20246-6-4-20246U1U2一对一映射例例V1V2V1 到到 U1 的映射的映射V1分布的分位数分布的分位数U10.220-0.840.4550.130.6800.840.8951.64V2 到到 U2 的映射的映射V2分布的分位数分布的分位数U20.281.410.4320.470.6680.470.8921.41例：计算联合概率分布例：计算联合概率分布nV1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 0.84 和 U2 1.41 的概率n当Copula相关系数等于0.5时nM（0.

7、84, 1.41, 0.5）= 0.043nM是二元正态分布的累积分布函数其他其他Copula函数函数n还有许多其它Copula函数可以用于描述相关结构n一种可能是二元学生t-分布二元正态分布的二元正态分布的5000个随机样本个随机样本-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345二元学生二元学生t-分布的分布的5000个随机样本个随机样本-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-1012345多元多元Copula函数函数n类似地，决定我们已知N个变量V1，V2，Vn 的边际分布n我们将 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服从标准正态分布（这里的映射是分位数之间的一一

8、对应）n假定 Ui 服从多元正态分布因子因子Copula模型模型n在因子Copula模型中，变量 Ui 之间的相关结构通常被假定由一个或多个因子来决定贷款组合模型贷款组合模型n定义Ti 为公司i的违约时间，将变量Ti 的分位数与Ui 的分位数之间进行一一对应的映射，假定Ui 满足式nF 及Zi 为相互独立的正态分布n定义Qi 为Ti 的累积概率分布n当N(U)=Qi(T)时，Prob(UiU)=Prob(TiT)21iiiiUa Fa Z2Prob()1iiiUa FUU FNa12( )Prob()1iiiiNQ Ta FTT FNa贷款组合模型（续）贷款组合模型（续）n假设所有公司之间的Copula相关系数均等同，此量被记为n对应一个期限为T，置信水平为X的投资组合，违约率的最坏情况为n假定，某交