一元二次方程的应用类型[共9页]

1、晨晨教育于老师讲义一元二次方程的应用类型及例题解析（1）一元二次方程解应用题步骤 即：1审题；2设未知数,包括直接设未知数和间接设未知数两种；3找等量关系列方程；4解方程；5判断解是否符合题意；6写出正确的解（2）常见类型1、传播问题有一人患了流感, 经过两轮传染后共有 121 人患了流感, 每轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人可传染人数 共传染人数第0 轮 1 （传染源） 1第1 轮 x x+1第2 轮 x(x+1) 1+x+ x(x+1)列方程 1+x+ x(x+1)=121解方程,得X 1=10,X2=-12X 2=-12 不符合题意,所以原方程的

2、解是 x=10答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。类似问题还有树枝开叉等。2、循环问题又可分为单循环问题,双循环问题和复杂循环问题a参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛, 共比赛 45 场比赛, 共有多少个队参加比赛？b. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛 90 场比赛,共有多少个队参加比赛？c. 一个正八边形,它有多少条对角线？3、平均率问题最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： n n 为增长或降低次数 M 为最后产量, a 为基数,x 为平均增长率 或M=a(1 x)降低率 平均率和时间相关,必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的

3、增长或降低率。（a）平均增长率问题某电脑公司 2000 年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为 600 万元,占全年经营总收入的 40%,该公司预计 2002年经营总收入要达到 2160万元,且计划从 2000年到 2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问 2001 年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为 a.列方程, 600 40% (1+a)2=2160解方程, a 1=0.2 a 2=-2.2 ,( 不符合题意,舍去 )- 1 -晨晨教育于老师讲义每年经营总收入的年增长率为 0.2则 2001 年预计经营总收入为：600 40% (1+0.2)=600 40%

4、 1.2=1800答：2001年预计经营总收入为 1800万元.（b）平均下降率问题从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出若干升,然后用水注满,再倒出同样升数的混合液后,这时容器里剩下纯酒精 5 升问每次倒出溶液的升数？分析：第一次倒出的是纯酒精,而第二次倒出的就不是纯酒精了若设每次倒出 x 升,则第一次倒出纯酒精 x 升,第二次倒出纯酒精（20 x20 x）升根据 20 升纯酒精减去两次倒出的纯酒精,就等于容器内剩下的纯酒精的升数20x20 x20 x54、商品销售问题常用关系式：售价进价 =利润 一件商品的利润 销售量 =总利润 单价 销售量 =销售额）（a）给出关系式1. 某商店购进一种商品

5、,进价 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P(件) 与每件的销售价 X(元) 满足关系： P=100-2X销售量 P,若商店每天销售这种商品要获得 200元的利润,那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？(b) 一个“+”, 一个“”2. 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？5、面积问题如图 1,在宽 20米,长 32 米的矩形耕地上,修筑同样宽的三条

6、路 ( 两条纵向,一条横向,并且横向与纵向互相垂直 ) ,把这块耕地分成大小相等的六块试验田, 要使试验田的面积是 570平方米,问道路应该多宽 ?解：设路宽为 x 米,那么两条纵路所占的面积为 2 x 2040x（米2）,一条横路所占的面积为 32x ( 米2) 纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形 ABCD、EFGH的面积,所以三条路所占耕地面 积应当是 (40 x32x2x2) 米 2,根据题意可列出方程32 20（40x32x2x2）570 解：设道路宽为 x 米,根据题意,得232 20（40x32x2x ）570整理,得 x236x350解这个方程,得 x11,x235- 2 -

7、晨晨教育于老师讲义x235 不合题意,所以只能取 x 11答：道路宽为 1 米说明：本题的分析中,若把所求三条路平移到矩形耕地边上 ( 如图 2),就更易发现等量关系列出方程 如前所设,知矩形 MNPQ的长 MN(322x) 米,宽 NP(20x) 米,则矩形 MNPQ的面积为：(322x )(20 x) 而由题意可知矩形 MNPQ的面积为 570 平方米进而列出方程 (322x )(20x) 570,思路清晰,简单明了6、银行问题王明同学将 100 元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行” ,到期后将本金和利息取出,并将其中的 50 元捐给 “希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入, 这时存款

8、的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半, 这样到期后可得本金利息共 63元,求第一次存款时的年利率解：设第一次存款时的年利率为 x,根据题意,得 100（1x）50（1整理,得 50x 2125x1302125x1301 x）632解得 x1110,x2135x 22135不合题意,x11010答：第一次存款时的年利率为 10说明：要理解“本金” “利息”“利率”“本息和”等有关的概念,再找清问题之间的相等关系7、数学问题 一个两位数,十位上数字与个位上数字之和为 5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得 736,求原来两位数 解：设原来两位数个位上的数字为 x,则十位上的数字为 (

9、5 x) ,原来的两位数就是： 10(5x) x新的两位数个位上的数字为 (5x) ,十位上的数字为 x,新的两位数就是：10x(5x) 可列出方程：10（5x）x10x(5 x) 736 解：设原来两位数个位上的数字为 x,则十位上的数字为 (5 x) 根据题意,得 10（5x）x10x(5x) 736整理,得 x25x60,解得 x12,x23- 3 -晨晨教育于老师讲义当 x2 时,5x523；当 x3 时,5x532答：原来的两位数是 32 或 23说明：解决这类问题,关键是写出表示这个数的代数式8、动态几何如图,在 ABC中,B=90o, 点P从点 A开始沿边 AB向点 B以 1cm

10、/s 的速度移动,与此同时,点 Q从点 B开始沿边 BC向点 C以2cm/s 的速度移动 . 如果 P、Q分别从 A,B同时出发,经过几秒, PBQ的面积等于 8cm2 ？解：设经过 x 秒,得 BP=6-x,BQ=2x SPBQ=BP BQ 2 （6-x ） 2x 2=8解得：x1=2,x2=4答：经过 2 秒或 4 秒, PBQ的面积等于 8cm2 .综合练习1.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件, 全组共互赠了 182 件,这个小组共有多少名同学？2.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的知识分析,每轮感

11、染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后, 被感染的电脑会不会超过 700 台？3.某种商品,原价 50 元,受金融危机影响, 1 月份降价 10,从 2 月份开始涨价, 3 月份的售价为 64.8 元,求 2、3 月份价格的平均增长率。- 4 -晨晨教育于老师讲义4.某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率？5.为了绿化校园,某中学在 2007 年植树 400 棵,计划到 2009 年底使这三年的植树总数达到 1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。6.王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入 “少

12、儿银行 ”,到期后将本金和利息取出,并将其中的 500 元捐给 “希望工程 ”,剩余的又全部按一年定期存入, 这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%,这样到期后,可得本金和利息共 530 元,求第一次存款时的年利率 .（假设不计利息税）7.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克。现该商品要保证每天盈利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？8.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件,每件盈利元。为了迎接“六一”儿童节,商

13、场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现,如果每件童装每降价元,那么平均每天就可多售出件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少元？- 5 -晨晨教育于老师讲义9.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料 （这里的代销是指厂家先免费提供货源, 待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理） 。当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时,月销售量就会增加 7.5 吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元。（1）当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量； （2）在遵循 “薄利多销” 的原则下, 问每吨材料售价为多少时, 该经销店的月利润为 9