几何向量线性运算

1、1哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲2几何向量的线性运算几何向量的线性运算空间中的平面与直线空间中的平面与直线t数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积34，： , , , ., , AB a, a,ABaABa5a 1a 的负向量与的负向量与a 大小相等方向相大小相等方向相 反反, ,记为记为 a 0a ab 同向或反向同向或反向.平行与同一平面的向量平行与同一平面的向量. .任意两向量都共面任意两向量都共面. .6baa+baba+b首尾相连首尾相连, ,a起点起点指向指向b终点终点c = a+b7a bcdee = a + b + c + dn

2、个向量之和个向量之和,只要把它们只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量到最后一个向量的终点的向量,即为和向量即为和向量.如如8a + b = b+ a2) (a + b) + c = a +(b+ c) : : a +0 = 0 + a = aa +(- a) = (- a)+ a = 0aba( b)b两起点置一处两起点置一处, , b终点指向终点指向a终点终点aab9(1) 1a = a, (-1)a = -a(2) k(la)=(kl) a(3) (k+l)a= ka+la(4) k(a+b)=ka + kbkaa长度

3、长度 0, 0,0,aaakkkkkk方向方向同向同向反向反向不定不定规定规定: 若若a = 0， k， ka = 0 若若k = 0， a， ka = 010a0 ,a0 = a|a|,a. .a = a a0（）/(), / a bba aa0 01aba（1） （2） a b.abab（3）11 0 a = (- / )b a, b 0 b = (- / )a a, ba,b a +b = 0.a, b a = kbb = ka,a +b = 0, a +b = 0.12a1,a2, a3k1, k2, k3aaa1 122330kkka2a3a1k1a1= (-k2/k1)a2 +(-

4、k3/k1)a313平行四边形平行四边形ABCD( (如图如图) ), ,试用试用a、b 表示表示 . .,ab ABAD和和, MA MB MCMD 因为平行四边形的对角线互相平分因为平行四边形的对角线互相平分所以所以 2ab ACMC()12ab MCabMABCD()12ab MAMC,()122abab DBMBMB()()1122abba MDMB14 前面讨论的向量及运算只是在几何前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的向量

5、的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行代数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述定量的描述.15, a b注：零向量与任一向量的夹角可以在注：零向量与任一向量的夹角可以在0 到到 间任意间任意 取值取值. 向量与轴及轴与轴的夹角都是正向向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过间不超过 的夹角的夹角.2.2.点在点在u轴上的投影轴上的投影：若若A为空间中一点为空间中一点, u 为一轴，过为一轴，过 A点作垂直于点作垂直于 u 轴的平轴的平面面 ，则，则 与轴与轴 的交点的交点 为为A在在 轴轴 上的投影上的投影.uAuab16AB , , u(),uuAA1投轴()u

6、uBB2投轴 A Bu 与与A Bu 与与 反反A B与与 A B A BuABuAB投影轴投影轴u1 1u2 2BA3 3.向量在向量在u轴上轴上投影投影: :urj21P ABA Buu17uABu1 1u2 2ABCCu3 3abABu1 1u2 2BuBAuurjPcos,ABABABu uuurjrjrjP ()PPabab:18数量积（数）数量积（数）19|cos| |cosWFSFS F SF 物理背景：一物体在常力物理背景：一物体在常力 的作用下，的作用下，沿直线运动产生的位移为沿直线运动产生的位移为 时，则力时，则力 所所做的功是做的功是: FS 抽去物理意义，就是两个向量确

7、定一抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算个数的运算.20rjrj|cos,|P|Paba baba babba 一个向量的模乘以另一个向量在这个向量一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影上的投影.ab21a bb a （1）交换律：）交换律：()ab ca cb c （2）分配律：）分配律：()()()a ba bab () ()()mmaba b（3）结合律：）结合律：0a b , a b （1） , 中未必有中未必有0向量向量, 也可也可. （2） 无意义无意义. （3）数量积不满足消去律即）数量积不满足消去律即aba b c ,a ba c abc 0abc22| cos0

8、 |0, |a aaaaa a（4）0a a a 0a (b- -c)b- -c：（1 1）（2 2）（4 4）|a|=aa(,) aba b32a b a b=0,0brjPba bab,ab00,arccos| a ba bab232222(3 ) (75 )715160(4 ) (72 )78300abababa babababa bcos2ba由上式消去由上式消去2223460 aba b得得cos2ab由上式消去由上式消去221613220baa b 得得1cos,23设设(3 )(75 ),abab(4 )(72 )abab求求 .且且24用向量证明余弦定理用向量证明余弦定理. .

9、 ABC2BC2ACAB() ()ACABACAB AC ACAC ABAB AB2 cosACAC ABAAB222 cos2222Aabcb c中中bcaABC25 a, b a b sin,a ba ba b. .都非零且不共线都非零且不共线, ,则则,a b| |cab, a b以以 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积. .aba b,a ba a bba, b a bb a26()()()ababa b kkk()abca ba c abb a aa 0（1）0 a b（2）（3）反交换律）反交换律：（4）结合律）结合律: :（5）分配律）分配律: :规定规定/0a/ ,a b27(1)(1)(2)(2)：abh(3)(3)：(4)(4)/a ba b 000absin,| aba bab|sin,|h abba ba28a, b, c ()abcabc(1)abc (3) ( () ) ()() abca b ca b cabc(2)(4) 0aacabb()bcacabbaccba acb29= = |ab|c|cosVabc= =(ab)c为以为以a, b, c为棱的为棱的平行六面体平行六面体体积体积. .ababch(1)求体积求体积:a, b, cabcV, abcV abcV所以所以30()0abcabca, b, c共面共面abc存在不