北京市重点中学高三下学期开学检测理科数学试卷及答案

1、20142015学年度第二学期3月月考高 三 数 学（理）试 卷 （考试时间120分钟 满分150分）第i卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1 设为虚数单位，则复数的虚部为a b c d2已知的展开式中各项系数之和为，则该展开式中含项的系数为 a. b. c. d. 3平面向量，共线的充要条件是a，的方向相同 b，中至少有一个为零向量 c， d存在不全为零的实数， 4将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为a bc d5是双

2、曲线（，）的右支上的一点，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为a b c d 6某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ab cd7. 的外接圆的圆心为，则等于ab cd8如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在a处 b段公路旁的任一处c处 d段公路旁的任一处第ii卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

3、9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 . b10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且，. 若与该圆相切，则线段的长为 .11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为 ；表面积为 . 12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .13在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 .14已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题： ； ； ； 数列中的最大项为； .其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）解：、三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解

4、答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15（本小题13分）已知函数， （）求的最小正周期和单调递增区间；（）在中，三内角的对边分别为，已知, 成等差数列，且，求 及 的值.16（本小题13 分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在a处每投进一球得3分；在b处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某同学在a处的投中率为0.25，在b处的投中率为. 该同学选择先在a处投一球，以后都在b处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（）求的值；（）求随机变量的数学期望e；（）试比较该同学选择都在b处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮

5、得分超过3分的概率的大小.17（本小题 14 分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，,平面，是的中点，是的中点. () 求证：平面；（）求证：平面平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的大小. 18（本小题13分） 已知函数， （）若函数在上是减函数，求实数的取值范围； （）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （iii）当 时，证明： 19（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（）求椭圆的标准方程；（）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，若直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围20（本小

6、题13分）若有穷数列，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（）分别写出一个单调递增的“阶非凡数列”和一个单调递减的“阶非凡数列”； （）设，若“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（）记“阶非凡数列”的前项的和为（），证明：（1）； （2）.20142015学年度第二学期3月月考高 三 数 学（理）试 卷 答 案（考试时间120分钟 满分150分）第i卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1 设为虚数单位，则复数的虚部为a b c d解：，选b.2已知的展开式中各项系数之和为，则该展开

7、式中含项的系数为 a. b. c. d. 解：令，得展开式中各项系数之和为. 解方程，得.故该展开式中含项为，其系数为，选 a.3平面向量，共线的充要条件是a，的方向相同 b，中至少有一个为零向量 c， d存在不全为零的实数， 解：d4 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线对称，则的最小正值为a bc d解：将函数的图象向右平移个单位，得，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得，令，得，（）故的最小正值为，选b5是双曲线（，）的右支上的一点，分别是左、右焦点，则的内切圆圆心的横坐标为a b c d 解法一：设横坐标为，则由，得，

8、选a解法二：当右顶点时，. 选a6某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ab cd 解：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.（2）小品1，小品2，相声.（3）相声，小品1，小品2.共有种，选b7. 的外接圆的圆心为，则等于ab cd解：c8如图，在公路的两侧有四个村镇：，它们通过小路和公路相连，各路口分别是. 某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配管道（每个村镇单独一条管道）将燃气送到各村镇，为使低压输配管道总长度最小，调压站应建在a处 b段公路旁的任一

9、处c处 d段公路旁的任一处解：d第ii卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 . 解：b10. 如图, 已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点, 且，. 若与该圆相切，则线段的长为 .解：设， 则，. 则由相交弦定理，得，即，即. 由切割线定理，得，所以.11. 右图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：），这个几何体的体积为 ；表面积为 . 解：体积为；表面积为.12. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .解：13在中，角的对边分别为，

10、且，若的面积为，则的最小值为 . 解：由，得，.由的面积为，得，.故，.当且仅当时，等号成立，的最小值为.14已知是等差数列的前项和，且，有下列五个命题： ； ； ； 数列中的最大项为； .其中正确的命题是 （写出你认为正确的所有命题的序号）解：、三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15（本小题13分）已知函数， （）求的最小正周期和单调递增区间；（）在中，三内角的对边分别为，已知, 成等差数列，且，求 及 的值.解：（）2分= 3分 最小正周期为 4分由成等差数列得：， 9分由，得， 10分 11分由余弦定理得，于是， 13分16（本小题13 分

11、）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次. 在a处每投进一球得3分；在b处每投进一球得2分. 如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第三次. 某同学在a处的投中率为0.25，在b处的投中率为. 该同学选择先在a处投一球，以后都在b处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（）求的值；（）求随机变量的数学期望e；（）试比较该同学选择都在b处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.解：（）设该同学在a处投中为事件a, 在b处投中为事件b.则事件a,b相互独立，且，.根据分布列知：=0时，所以，. 2分（）当=2时， ( ). 4分当=3时， .

12、 6分当= 4时， . 8分当= 5时， . 10分所以随机变量的分布列为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 随机变量的数学期望. 11分（）该同学选择都在b处投篮得分超过3分的概率为. 13分该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为. 14分由此看来该同学选择都在b处投篮得分超过3分的概率大. 14分17（本小题 14 分） 如图，在四棱锥中，底面是菱形，,平面，是的中点，是的中点. () 求证：平面；（）求证：平面平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的大小. acdefm () 证明：取中点为，连. 1分 是的中点 是的中位线, . 是中点且是菱形，, . 四边形是平行四边形.

13、从而 . 3分 平面 ,平面, 平面 4分 8分 平面 平面平面 . 9分 说明：() 、（）也可用向量法证.10分bacdepfzxy由（）知平面，是平面的一个法向量 11分 设平面的一个法向量为 由 ,且由 在以上二式中令，则得，.12分设平面与平面所成锐角为 故平面与平面所成的锐角为. 14分 18（本小题13分） 已知函数， （）若函数在上是减函数，求实数的取值范围； （）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （iii）当 时，证明： 解：（）在上恒成立， 2分设 ，令 3分得 得 . 4分 （）（）， . 当时，因，故在上单调递减，（舍去）.

14、 5分 当时，即时，因在上，；在上，. 故在上单调递减，在上单调递增.，满足条件. 7分 当时，即时，因，故在上单调递减，（舍去）. 8分综上，存在实数，使得当时有最小值. （iii）令，由（）知，. 9分令， 10分当时，因，故在上单调递增. 11分 12分 即 13分19（本小题14分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且经过点和点.（）求椭圆的标准方程；（）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，若直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围解：（）设椭圆的标准方程为（），将点和点代入，得，解得. 故椭圆的标准方程为.（）圆的标准方程为， 设，则直线的方程为，直线的方程为，再设直线上的动点（），由点在直线和上，得，故直线的方程为.原点到直线的距离，.，显然. 设，则，.设（），则.设（），则. 设，则，故在上为增函数，于是的值域为，的取值范围是.20（本小题13分）若有穷数列，（）满足：（1）；（2）.则称该数列为“阶非凡数列”.（