微观经济学第四章习题答案

1、1.下面(表4 1)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表: 表4 1可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量122103244125606677080963(1) 在表中填空。(2) 该生产函数是否表现岀边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？解答：(1)利用短期生产的总产量 (TP)、平均产量(AP)和边际产量(MP)之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表 4 2所示:表4 2可变要素的数量可变要素的总产量可变要素的平均产量可变要素的边际产量1222212610324812448122456012126661167701048708f

2、(34)096377(2)所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在到达最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。 此题的生产函数表现岀边际报酬递减的现象，具体地说，由表4 2可见，当可变要素的投入量从第 4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的 24下降为12。2. 用图说明短期生产函数 Q= f(L， eq o(K,sup6( )卜)的TR曲线、AR曲线和MP曲线 的特征及其相互之间的关系。解答：短期生产函数的 TPl曲线、AFL曲线和MP曲线的综合图如图 4 1所示。图4 1由图41可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MF曲线呈现岀先上升到达最高点 A以

3、后又下降的趋势。 从边际报酬递减规律决定的 MF曲线岀发，可以方便地推导岀 TFL曲线和AFL曲线， 并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。关于TFL曲线。由于 MP=eq f( dTFL, dL)，所以，当 MP 0时，TPl曲线是上升的；当 MPV 0时，TPl曲线是下降的；而当MP= 0时，TFL曲线达最高点。换言之，在L = L3时，MP曲线到达零值的B点与TFL曲线到达最大值的 B点是相互对应的。此外，在L V L3即MR 0的范围内，当 MP l 0时，TFL曲线的斜率递增，即TFL曲线以递增的速率上升；当 MF lV 0时，TFL曲线的斜率递减，即TPl曲线以递减的速率上升；而当

4、MF = 0时，TFL曲线存在一个拐点，换言之，在L= L1时，MF曲线斜率为零的 A点与TFL曲线的拐点A是相互对应的。关于AFL曲线。由于 AFL= eq f(TP l,L)，所以，在L = L2时，TFL曲线有一条由原点岀发的切 线，其切点为 C。该切线是由原点出发与TFL曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是 AFL的最大值点。再考虑到 AFL曲线和MR曲线一定会相交在 AR曲线的最高点。因此，在 图4 1中，在L= L2时，AFL曲线与MR曲线相交于 AR曲线的最高点 C，而且与 C点相对应的是 TFL曲线上的切点Co3. 生产函数 Q= f(L , K) = 2

5、KL 2, 假定厂商目前处于短期生产，且K= 10。(1) 写岀在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP-函数、劳动的平均产量 AR函数和劳动的边际产量MP函数。(2) 分别计算当劳动的总产量TP.、劳动的平均产量 AR和劳动的边际产量 MP各自到达最大值时的厂商的劳动投入量。(3) 什么时候 AP.= MP?它的值又是多少？解答：(1)由生产函数 Q= 2KL 0.5L 2,且K= 10,可得短期生产函数为2 2 2Q= 20L 0.5L X 10 = 20L 0.5L 50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TPl= 20L 0.5L 2 50劳动的平均产

6、量函数：AFL = TPl/L = 20 0.5L 50/L劳动的边际产量函数：MF = dTF_/dL= 20 L(2) 关于总产量的最大值：令 dTF_/dL= 0，即 dTFL/dL= 20 L = 0解得 L= 2022且dTR/dL = 1 v 0所以，当劳动投入量L = 20时，劳动的总产量 TF.到达极大值。关于平均产量的最大值：令 dAFL/dL= 0，即卩 dAFL/dL= + 50L 2 = 0解得 L= 10(已舍去负值)且 d2AFL/dL2 = 100L 3v 0所以，当劳动投入量L = 10时，劳动的平均产量 APl到达极大值。关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量

7、函数 MR= 20 L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投 入量总是非负的，所以，当劳动投入量L = 0时，劳动的边际产量MF到达极大值。(3) 当劳动的平均产量 AFL到达最大值时，一定有AFL= MF。由，当L= 10时，劳动的平均产量AFL到达最大值，即相应的最大值为APl 的最大值=20 X 10 50/10 = 10将L= 10代入劳动的边际产量函数MF= 20 L,得MF= 20 10= 10。很显然，当AR= MF= 10时，AR 定到达其自身的极大值，此时劳动投入量为L = 10。4. 区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答：边

8、际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的 变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边际报酬分析可视为短期生产的 分析视角。规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量 变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，那么分别为规模 报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。5. 生产函数为 Q= min2L，3K。求：(1) 当产量Q= 36时，L与K值分别是

9、多少？(2) 如果生产要素的价格分别为Pl= 2，Pk= 5,那么生产480单位产量时的最小本钱是多少？解答：(1)生产函数 Q= min2L , 3K表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有 Q= 2L= 3Ko因为产量 Q= 36,所以，相应地有 L= 18, K= 12o(2)由 Q= 2L = 3K,且 Q= 480，可得L = 240 , K= 160又因为Pl = 2, Pk= 5，所以有C= Pl L+ FK K=2X 240+ 5X 160=1 280即生产480单位产量的最小本钱为1 280。6. 假设某厂商的短期生产函数为Q = 35L + 8L2

10、 L3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为L= 6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L) = eq f(Q(L),L)= 35+ 8L L2边际产量函数：MP(L) = eq f( dQ(L), dL) = 35 + 16L 3L2(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP= MP,于是，有35+ 8L L2= 35+ 16L 3L2。解得L= 0和L = 4。L = 0不合理，舍去，故取 L= 4。在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP= 0,于是，有35 +

11、 16L 3L2= 0。解得L =eq f(5,3) 和 L = 7。L = eq f(5,3)不合理，舍去，故取L = 7。由此可得，生产要素L投入量的合理区间为4,7。因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。7. 假设生产函数Q= 3L。试问：(1) 该生产函数是否为齐次生产函数？(2) 如果根据欧拉分配定理，生产要素L和K都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？解答：因为+ 0 2f(入 L,入 K) = 3(入 L)(入 K)=入 3L3L, K)所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。(2)因为MFL=eq f( d

12、Q,dL)$严 2.4L MfP=eq f( dQ,dK)= 0.6L 所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为MFL L+ MFK= 2.4L 0.6L2.4L0.6L3L 可见，对于一次齐次的该生产函数来说，假设按欧拉 分配定理分配实物报酬，那么所生产的产品刚好分完，不会有剩余。8. 假设生产函数Q= min5L,2K。(1) 作岀Q= 50时的等产量曲线。(2) 推导该生产函数的边际技术替代率函数。(3) 分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1)生产函数 Q= min5L, 2K是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图42所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K/L =

13、5/2。图42当产量Q= 50时，有5L= 2K= 50，即L= 10，K= 25。相应的Q= 50的等产量曲线如图42所示。(2) 由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSK=0。(3) 因为 Q= f(L，K) = min5L,2Kf(入 L，入 K) = min5 入 L, 2 入 K =X min5L,2K所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现岀规模报酬不变的特征。9. 柯布道格拉斯生产函数为Q= AL“K$。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为 Q = f(L，K) = AL“ K3f(入 L,入 K) = A(入 L) “ (入 K

14、) 3 =入“ + 3 AL“ K3所以当a+3 1时，该生产函数为规模报酬递增；当 a+3= 1时，该生产函数为规模报酬不 变；当a + 3 1时，该生产函数为规模报酬递减。10. 生产函数为(a) Q = 5Leq f(1,3) K eq f(2,3)；(b) Q =eq f(KL,K + L);(C)Q = KL2;(d)Q = min3L , K。求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。(2)当FL= 1 , Pk= 1 , Q= 1 000时，厂商实现最小本钱的要素投入组合。解答：(1)( a)关于生产函数 Q= 5Leq f(1,3) K eq f(2,3)。MFL=eq f(5,3)

15、Leq f(2,3)Keq f(2,3)MFK=eq f(10,3)Leq f(1,3)K eq f(1,3)由最优要素组合的均衡条件 eq f(MP l,MPk)= eq f(P l,Pk)，可得eq f(5,3) 恥 L心 eq f(2,3) 枷eq f(2,3) 申、，山 eq f(10,3)帕 L “ eq f(1,3)Keq f(1,3). )= eq f(P l,Pk)整理得eq f(K,2L)= eq f(P l,Pk).即厂商长期生产的扩展线方程为K=eq blc(rc)(avs4alco1(f(2Pl,Pk) . L(b) 关于生产函数 Q=eq f(KL,K + L).。M

16、FL= eeq f(K(K+ L) KL,(K + L)2)= eq f(K2,(K + L)2)加MP=eq f(L(K+ L) KL,(K + L)2)= eq f(L2,(K + L)2)由最优要素组合的均衡条件eq f(MP l,MPk)= eq f(P l,Pk)，可得eq f(K 2/(K + L)2丄 2/(K + L)2)怡eq f(P l,Pk)卉整理得* eq f(K :L2)和eq f(P l,Pk)即厂商长期生产的扩展线方程为K=eq blc(rc)(avs4alco1(f(Pl,Pk)eq f(1,2) L(c) 关于生产函数 Q= KL2。MP= 2KLMP= L2

17、由最优要素组合的均衡条件eq f(MP l,MPk)= eq f(P l,Pk)，可得2eq f(2KL丄)帕eq f(P l,Pk)即厂商长期生产的扩展线方程为K=eq blc(rc)(avs4alco1(f(Pl,2Pk) . L(d) 关于生产函数 Q= min(3L , K)。由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有3L= K,所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为K= 3L。(2)( a)关于生产函数 Q= 5Leq f(1,3) K eq * 2,3).。当 pl= 1 ,Pk= 1,Q= 1 000 时，由其扩展线方程 K=eq blc(rc)(avs4alco

18、1(f(2Pl,P k)j - L得K= 2L代入生产函数 Q= 5L eq f(1,3) K eq f(2,3) 得5L eq f(1,3)(2L) eq f(2,3)= 1 000于是，有 L = eq f(200,r(3,4)，K=eq f(400,r(3,4)。(b) 关于生产函数 Q=eq f(KL,K + L).。当 Pl= 1 ,Pk= 1,Q= 1 000 时，由其扩展线方程 K=eq blc(rc)(avs4alco1(f(Pl,P 0)eq f(1,2) L 得K= L代入生产函数 Q= eq f(KL,K + L)，得eq f(L 2丄 + L) = 1 000于是，有

19、l = 2 000，K= 2 000。(c) 关于生产函数 Q= KL2。当 Pl= 1 ,Pk= 1,Q= 1 000 时，由其扩展线方程 K=eq blc(rc)(avs4alco1(f(Pl,2Pk)j - L得K= a eq f(1,2) 小、L代入生产函数Q= KL2,得eq blc(rc)(avs4alco1(f(L,2)辰L2= 1 000于是，有 l = 10 eq r(3,2).，K= 5 eq r(3,2)。(d) 关于生产函数 Q= min3L , K。当Pl = 1，Pk= 1，Q= 1 000时，将其扩展线方程K= 3L,代入生产函数，得K= 3L= 1 000于是，

20、有 k= 1 000 , L = eq f(1 000,3)】.11. 生产函数 Q= AL1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答：(1)因为 Q= f(L , K) = AL eq f(1,3) K eq f(2,3), 于是有f(入 L,入 K) = A(入 L) eq f(1,3)(入 K) eq f(2,3)= A入 eq f(1,3)+ eqf(2,3) L eq f(1,3) K eq f(2,3)|=入 AL eq f(1,3) K eq f(2,3).=入 f(L ,K)所以

21、，生产函数Q= ALeq f(1,3) K eq f(2,3)属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以eq o(K,sup6() 表示；而劳动投入量可变，以L表示。对于生产函数 Q= AL eq f(1,3)eq o(K,sup6() eq f(2,3) ，有MPL=eq f(1,3) AL eq f(2,3)eq o(K,sup6() 一 eq f(2,3)且eq f( dMP, dL)i = eq f(2,9).ALeq f(5,3)eq o(K,sup6()亦w eq f(2,3) 小 v 0这说明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的

22、增加，劳动的边际产 量MP是递减的。类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以eq o(L,sup6(-) 表示；而资本投入量可变，以K表示。对于生产函数 Q= A eq o(L,sup6() eq f(1,3) K eq f(2,3).，有MPK=eq f(2,3) A eq o(L,sup6() eq f(1,3)Keq f(1,3)且eq f( dMP, dK)= eq f(2,9) A eq o(L,sup6(eq f(1,3)j. Keq f(4,3) i v 0这说明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产 量MPK是递减的。以上的推导过程说

23、明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。12. 令生产函数 f(L，K) =a 0 +a i(LK)eq f(1,2) +a 2K+a 3L,其中 Oa i W 1，i =0,1,2,3 。(1) 当满足什么条件时，该生产函数表现岀规模报酬不变的特征。(2) 证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解答：(1)根据规模报酬不变的定义f(入 L,入 K)=入 f(L， K) (入0)于是有f(入 L，入 K) =a o+a 1(入 L)(入 K) eq f(1,2)1 +a 2(入 K) +a 3(入 L)=a 0+入 a 1(LK) eq f(1,2) -i +入 a

24、2K+ 入 a 3L=入a 0 + a 1(LK)eq f(1,2)j. + a 2 K+a 3L + (1 入)a 0=入，f(L ， K) + (1 入)a 0由上式可见，当 a 0 = 0时，对于任何的入 0,有f(入L， 入K)=入f(L， K)成立，即当 a 0=0时，该生产函数表现岀规模报酬不变的特征。(2)在规模报酬不变，即a 0= 0时，生产函数可以写成f(L，K) =a 1(LK) eq f(1,2) +a 2K+a 3L相应地，劳动与资本的边际产量分别为MR(L,K) = eq f(?f(L, K),?L)= eq f(1,2) a 1L eq f(1,2). K eq f

25、(1,2)i- + a 3MP(L , K) = eq f(?f(L, K),?K)枷=* eq f(1,2) 帕 a 1L 宀 eq f(1,2)少、Keq f(1,2)j. + a 2而且有eq f(?MP l(L , K),?L)= eq f(?2f(L , K),?L 2)= eq f(1,4)a 丄一 eqf(3,2) K eq f(1,2)十 eq f(?MP k(L , K),?K)处=、eq f(? 2f(L , K),?K 2)吓= eq f(1,4)小、a 1L 石 eq f(1,2)j - K eq f(3,2)1显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。13. 某企业的生产

26、函数为Q= L eq f(2,3) K eq f(1,3).，劳动的价格 w= 2,资本的价格r = 1。求：(1) 当本钱C= 3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。(2) 当产量Q= 800时，企业实现最小本钱时的L、K和C的均衡值。解答：(1)根据企业实现给定本钱条件下产量最大化的均衡条件eq f(MP l,MPk)处=eq f(w,r) 金其中 MP= eq f(dQ,dL)= eq f(2,3) L eq f(1,3) K eq f(1,3)MP= w eq f(dQ,dK)畑=心 eq f(1,3) 小、L 小 eq f(2,3) 小、Keq f(2,3) 小、w=

27、 2r = 1于是有 eq f(2,3). L eq f(1,3). K eq f(1,3), eq f(1,3). L eq f(2,3)Keq f(2,3). )= eq f(2,1)整理得 eq f(K,L)= eq f(1,1)即K= L再将K= L代入约束条件2L+ 1 K= 3 000，有2L + L= 3 000解得L* = 1 000且有K = 1 000将L* = K = 1 000代入生产函数，求得最大的产量Q* = (L*)eq f(2,3). (K*)eq f(1,3)= 1 000 eq f(2,3)+ eq f(1,3).=1 000此题的计算结果表示：在本钱C=

28、3 000时，厂商以L* = 1 000 , K = 1 000进行生产所到达的最大产量为Q = 1 000。此外，此题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。山 eq o( maxsdo4(L，K)小，Lr eq f(2,3) 帕 K，eq f(1,3) 恥2L+ 1 K= 3 000L( L, K,入)=L eq f(2,3) K eq f(1,3)+入(3 000 2L- K)将拉格朗日函数分别对L、K和入求偏导，得极值的一阶条件eq f(?L, ?L)忖eq f(2, 3)忖 L卜 eq f(1, 3)帕 eq f(1, 3)艸2 入二 0(1)eq f(?L,?K)= eq f(1,3)

29、 Leq f(2, 3) Keq f(2,3)入二 0(2)eq f(?L,?入).=3 000 2L K= 0(3)由式(1)、式(2)可得eq f( K,L)小 eq f(1,1)伸即K= L将K= L代入约束条件即式(3)，可得3 000 2L L= 0解得L* = 1 000且有K = 1 000再将L* = K = 1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量Q = (L*)*eq f(2,3)g(X)2eq f(1,3)矗=1 000 十 eq f(2, 3)也 +、 eq f(1, 3).卜=1 000在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。(2)根据厂商实现给定产量条件下本钱最小化

30、的均衡条件eq f(MP,MP)吓=eq f( w,r)葩其中MP=eq f(d Q,dL)= eq f(2, 3)Leq f(1, 3)g K eq f(1, 3)MP=eq f(d Q,d0；、i；：、= eq f(1, 3) L eq f(2,3). Keq f(2 , 3)w= 2 r = 1于是有eq f(2 ,3) .L eq f(1,3). K eq f(1 , 3), eq f(1 ,3) . L eq f(2 , 3)K eq f(2, 3) . )= eq f(2, 1)整理得eq f( K,L)=eq f(1,1)即K= L再将 K= L 代入约束条件 L eq f(2,

31、3) K eq f(1, 3)= 800，有L eq f(2,3) . L eq f(1, 3)= 800解得L* = 800且有X = 800将L* = K = 800代入本钱方程2L+ 1 K= C求得最小本钱C* = 2 X 800+ 1 X 800= 2 400此题的计算结果表示：在Q= 800时，厂商以L*= 800，K = 800进行生产的最小本钱为C = 2 400。此外，此题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。mi eq o(n,sdo4(L， K)，上 2L+ KL eq f(2, 3) K eq f(1, 3)= 800L( L，K，卩)=2L+ K+ 卩(800 L eq

32、 f(2 , 3) K eq f(1, 3)将拉格朗日函数分别对L、K和卩求偏导，得极值的一阶条件eq f(?L, ?L)於=2 eq f(2, 3)加 L 弘 eq f(1, 3)介 K* eq f(1,3)弘=0(1)eq f(?L , ?K)= 1 eq f(1, 3) 讥 eq f(2, 3)K-eq f(2, 3) = 0(2)eq f(?L, ?) . = 800 L eq f(2,3) K eq f(1, 3)、= 0(3)由式(1)、式(2)可得eq f( K,L) i = eq f(1, 1)即K= L将K= L代入约束条件即式(3)，有800 L eq f(2, 3) L eq f(1, 3)= 0解得L = 800且有K = 800再将L* = K = 800代入目标函数即本钱等式，得最小