第6章__圆轴扭转 讲课

1、6.1第6章 圆轴扭转 6.1 6.1 圆轴扭转的概念与实例圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 6.2 6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算 6.3 6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算 小结小结6.26.1 6.1 圆轴扭转的概念与实例圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 使得丝锥杆发生扭转变使得丝锥杆发生扭转变形。形。如图如图6.1所示。所示。 图图6.2所示的方向盘所示的方向盘操纵杆以及一些传动轴操纵杆以及一些传动轴等均是扭转变形的实例，等均是扭转变形的实例，它们的受力简图它们的受力简图如图如图6.3 所示。所示。工程

2、有中许多杆件承受扭转变形。例如，当钳工攻螺纹孔时，两手所加的工程有中许多杆件承受扭转变形。例如，当钳工攻螺纹孔时，两手所加的外力偶作用在丝锥杆的上端，工件的反作用力偶作用在丝锥杆的下段端，外力偶作用在丝锥杆的上端，工件的反作用力偶作用在丝锥杆的下段端，6.33 轴向拉压轴向拉压弯弯 曲曲xyz 扭扭 转转6.44xyz变形前变形前变形后变形后f fAB汽车转向轴汽车转向轴传动轴传动轴6.5圆截面直杆圆截面直杆作用在垂直于轴线的不同平作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡面内的外力偶，且满足平衡方程方程: : S SMx=0相对扭转角相对扭转角xyz变形前变形前变形后变形后f fAB6

3、.66.1 6.1 圆轴扭转的概念与实例圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 1. 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 （6.1） nPMe95492. .扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 如图如图6.4所示所示等截面圆轴，已知外力偶矩等截面圆轴，已知外力偶矩Me，由截面法求横截面上的内力。，由截面法求横截面上的内力。 将轴解开，分析左段的平衡问题，截面上将轴解开，分析左段的平衡问题，截面上必有内力矩必有内力矩T。 P为传递功率为传递功率(kW);n为转速为转速(r/min) 6.7扭矩：是横截面上的内力偶矩。扭矩：是横截面上的内力偶矩。 内力内力由截面法求得。由截面法求得。取左边部分取左边部分平

4、衡平衡由平衡方程：由平衡方程： 0MT 假想切面假想切面外力偶外力偶 内力偶内力偶 6.8由平衡方程：由平衡方程： 0MT 取右边部分取右边部分T 和和T 是同一截面上的内力，应当是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负有相同的大小和正负。T假想切面假想切面取左边部分取左边部分平衡平衡外力偶外力偶 扭矩扭矩 扭矩扭矩外力偶外力偶 平衡平衡6.9负负正正6.10nnmT （+）mnnT（+） 上述截面的内力（扭矩）为正值上述截面的内力（扭矩）为正值扭矩图扭矩图：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，为能反映出扭矩的分布情况，我们以杆件的轴线为基线，

5、为能反映出扭矩的分布情况，我们以杆件的轴线为基线，用一个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，用一个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，称为扭矩图称为扭矩图xT+6.11作图示圆轴的扭矩图作图示圆轴的扭矩图2mxmx3mxABC解：由于解：由于AB、BC两段两段的扭矩不同，所以要的扭矩不同，所以要分段计算分段计算（1 1）计算）计算ABAB段的扭矩段的扭矩1用假想的用假想的1截面将轴切开，取截面将轴切开，取左段为隔离体左段为隔离体根据平衡条件求得：根据平衡条件求得： TAB=2mx112mxTAB 6.12（2 2）计算）计算BCBC段的扭矩段的扭矩2用假想截面用假想截面2将圆轴切开

6、，将圆轴切开，取左段或右段为隔离体，取左段或右段为隔离体，根据平衡条件求得：根据平衡条件求得： TBC=-mx2mx3mxAB22TBCmxC22TBC2mxmx3mxAB（3 3）作扭矩图）作扭矩图xTABC2mxmx+6.13 由平衡条件由平衡条件 ， ， 0TMeeMT T称为扭矩，单位为称为扭矩，单位为Nm，若取右段分析，求出的截面内力矩大小相若取右段分析，求出的截面内力矩大小相等，但方向相反。等，但方向相反。 内力矩符号规定，采用右手螺旋法内力矩符号规定，采用右手螺旋法则：则：四指顺着扭矩的转向握住轴，如图四指顺着扭矩的转向握住轴，如图 6.5所示所示。一般情况下扭矩。一般情况下扭矩

7、T是横截面的是横截面的位置位置 x的函数。即的函数。即 ）xTT( 扭矩图扭矩图以垂直于以垂直于x轴的轴的T轴表示扭矩，以与轴线平行的轴表示扭矩，以与轴线平行的x轴表示横轴表示横截面的位置，由截面的位置，由 绘出的曲线。绘出的曲线。）xTT(6.1 6.1 圆轴扭转的概念与实例圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图0 xM6.14例例6.1 如图如图6.6a所示，一传动系统的主轴所示，一传动系统的主轴ABC的转速的转速 ，输，输入功率入功率 ，输出功率，输出功率 ， 。试画出。试画出ABC轴轴的扭矩图。的扭矩图。 r/min960nkW5 .27AP7.5kWCP 解解 1. .计算外

8、力偶矩计算外力偶矩 m274Nm96027.59549AM 同理可得同理可得 mN199BMmN 75CM2. .计算扭矩计算扭矩 将轴分为将轴分为 AB, BC 两段计算两段计算扭矩。扭矩。 6.1 6.1 圆轴扭转的概念与实例圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图 kW20BP6.15由平衡条件由平衡条件0 xM01AMT可得可得 mN2741AMT对于对于 BC段段（图（图6.6c） 由平衡条件由平衡条件0 xM02BAMMT可得可得 mN 751992702BAMMT3. 画扭矩图画扭矩图 根据以上结果，按比例绘扭矩图根据以上结果，按比例绘扭矩图（图（图6.6d） 最大力偶矩发

9、生在最大力偶矩发生在AB段内，段内， mN274maxT AB 段段（图（图6.6b）6.1 6.1 圆轴扭转的概念与实例圆轴扭转的概念与实例 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图6.166.2 6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算 6.2.1 切应力互等定律切应力互等定律 剪切胡可定律剪切胡可定律 在切应力在切应力的作用下，单元体右面相对于左面产生错动，其错动量为的作用下，单元体右面相对于左面产生错动，其错动量为绝对剪切变形，而相对变形为绝对剪切变形，而相对变形为FFabefdxdxcggeefhhftaneedx是矩形直角的微小改变量，称为切应变或角应变（是矩形直角的微小改变量

10、，称为切应变或角应变（rad）。）。实验表明：当切应力不超过材料实验表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力的剪切比例极限时，切应力与与切应变切应变成正比关系，即成正比关系，即6.17G引入比例常数引入比例常数G，得，得这就是这就是剪切胡克定律剪切胡克定律表达式。比例常数表达式。比例常数G叫叫剪切弹性模量剪切弹性模量。当切应力当切应力不变时，不变时，G越大，切应变越大，切应变就越小，所以就越小，所以G表示材料抵抗剪切变表示材料抵抗剪切变形的能力。形的能力。可以证明，对于各项同性材料，可以证明，对于各项同性材料，G，E和和不是各自独立的三个弹性常熟，不是各自独立的三个弹性常熟，他们时间的

11、关系如下：他们时间的关系如下：2(1)EG6.2 6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算 6.18 为分析圆轴横截面上的应力情况，可进行扭转试验。为分析圆轴横截面上的应力情况，可进行扭转试验。如图如图6.8(a)实验实验前在圆轴表面作记号纵向线和横向线。前在圆轴表面作记号纵向线和横向线。 变形现象：各圆周线形状、大小、间距不变，仅绕轴线相对转动；变形现象：各圆周线形状、大小、间距不变，仅绕轴线相对转动； 各纵向线倾斜相同的角度各纵向线倾斜相同的角度 ，仍为直线。，仍为直线。 平面假设成立：圆轴的横截面变形前为平面，变形后仍为平面。平面假设成立：圆轴的横截面变形前为平面，变

12、形后仍为平面。 推论：圆轴纯扭转时，横截面上只有垂直于半径的切应力，而无正应力。推论：圆轴纯扭转时，横截面上只有垂直于半径的切应力，而无正应力。 6.2 6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算6.2.2 圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力 一、分析变形规律一、分析变形规律 6.191. 1. 横截面上的应力横截面上的应力表面表面变形变形情况情况推断推断横截面横截面的变形的变形情况情况( (问题的几何方面问题的几何方面) )横截面横截面上应变上应变的变化的变化规律规律横截面上横截面上应力变化应力变化规律规律应力应力- -应变关系应变关系( (问题的物理方面问题

13、的物理方面) )内力与应力的关系内力与应力的关系横截面上应力横截面上应力的计算公式的计算公式( (问题的静力学方面问题的静力学方面) )6.20 圆轴扭转实验现象：圆轴扭转实验现象：横向横向：圆周线仍相互平行，圆周线仍相互平行，且形状和大小不变，间距不且形状和大小不变，间距不变，但相邻圆周发生相对转变，但相邻圆周发生相对转动动纵向纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变成了平行四边形圆周线所组成的矩形变成了平行四边形平截面假定：平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形状

14、和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。6.21取长为取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df f，原来的矩形原来的矩形ABCD变成为菱形变成为菱形ABC D 。 是微元的直角改变量，即半径是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为各处的剪应变。因为CC = dx=rdf f , 故有：故有：dxrd /f f df

15、 f /dx ,称为单位扭转角。称为单位扭转角。对半径为对半径为r r的其它各处，可作类的其它各处，可作类似的分析。似的分析。dxOCDrC D df fdf f 6.22对半径为对半径为r r的其它各处，作类的其它各处，作类似的分析。似的分析。剪应变剪应变 的大小与半径的大小与半径r r成成正比。与单位扭转角正比。与单位扭转角d df f / /dx成正比。成正比。dxd /f fr r -(1)同样有：同样有： CC = dx=r rdf fdxOCDrC D df f6.23在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G G是是 - - 曲线的斜率，如图，曲线的斜

16、率，如图，称为剪切弹性模量。单位称为剪切弹性模量。单位GPaGPaG-(2)半径为半径为r r处的剪应力则为：处的剪应力则为：dxdGGf fr r r rr r 1GO 1G ys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。6.24dxdGGf fr r r rr r 圆轴几何及圆轴几何及MT给定，给定，df f/dx为常数；为常数；G是材料常数。是材料常数。-(3)dxOCDrC D df fo截面上任一点的剪应力与该点到轴截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离心的距离r r成正比；成正比；剪应变在剪应变在ABCD面内，故剪应力与面内，故剪应力与

17、半径垂直，指向由截面扭矩方向确半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。定。6.25应力是内力应力是内力( (扭矩扭矩) )在微截面上的分布集度。各微截面上内在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：取微面积如图，有：TAMdA rrdxdGGf fr r r rr r -(3)TAMdAdxdG 2r rf fodA6.26TAMdAdxdG 2r rf f 令：令： APdAI2r r最后得到：最后得到：PTIMdxdGr rf fr r r r -(4)Ir r 称为截面对圆心的极惯性矩，称为截面对圆心的极惯性矩，只与

18、截面几何相关。只与截面几何相关。 max在圆轴表面处，且在圆轴表面处，且TTPTWMIrM/max WT =IP / r r，称为抗，称为抗扭截面模量。扭截面模量。o6.27 讨论内径讨论内径d，外径，外径D的空心圆截面，的空心圆截面，取微面积取微面积 dA=2prprdr r, 则有：则有：)1 (3232)(244442/2/3a ap pp pr rr rp pP DdDdIDd极惯性矩：极惯性矩： APdAI2r r抗扭截面模量抗扭截面模量r r/PTIW 6.28极惯性矩极惯性矩: :抗扭截面模量抗扭截面模量: :)1(3244a ap p DIP)1(1643a ap p DWTa

19、 a=d/D=0324DIPp p 163DWTp p 6.29dx -(1)d /j jr r +dxdGGj jr r r rr r -(2)+TAMdAdxdG 2r rj j-(3)-(4)Pj jGIMdxdT/ -(5)6.301 1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。 2） 截面任一处截面任一处 截面外圆周处（表面）截面外圆周处（表面） P=MTr r/IP max=MT/WT6.31二、分析应力的分布规律二、分析应力的分布规律

20、1. .几何关系几何关系 在圆轴上截取长为在圆轴上截取长为dx的微的微段，段，如图如图6.9所示。所示。 A点的切应变为点的切应变为，且，且tanBCdRABdxj 横截面上任意点的切应变为横截面上任意点的切应变为 tanrrxddjr(6.5) 6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算 式中：式中： 单位长度扭转角单位长度扭转角, ,由于各纵向线倾斜角相同，都为由于各纵向线倾斜角相同，都为 ，在同一截面上其为常数。在同一截面上其为常数。 xddj6.32 1. .由截面法求扭矩由截面法求扭矩 AB段段 mkN5ABT BC段段 mkN8 .1ABT2. .绘扭矩图，绘扭矩图，如图如图6.13b所示

21、。所示。 3. .由于由于AB，BC段的扭矩、直径段的扭矩、直径不相同，危险截面的位置不能确不相同，危险截面的位置不能确定，故分别校核。定，故分别校核。 （1）校核）校核AB段的强度段的强度 由强度条件由强度条件 6.2 6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算力力 Mpa，力偶，力偶矩矩 ， ， 。试校核轴的强度。试校核轴的强度。 60mkN51MmkN2 . 32MmkN8 . 13M 例例6.2 阶梯圆轴阶梯圆轴ABC的直径的直径如图如图6.13a所示，轴材料的许用应所示，轴材料的许用应 6.33 p MPa7 .49Pa107 .4916/08. 0105633ma

22、xPABWT故故AB段是安全的。段是安全的。 （2）校核）校核BC段的强度段的强度 由强度条件由强度条件 p MPa4 .73Pa104 .7316/05. 0108 . 1633maxPBCWT故故BC段的强度不够。所以阶梯轴的强度不够。段的强度不够。所以阶梯轴的强度不够。 6.2 6.2 圆轴扭转时的应力与强度计算圆轴扭转时的应力与强度计算6.346.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算 6.3.1 6.3.1 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 计算计算由由 PGITxddj得得 xGITPddj（6.13） 两边积分两边积分 ldd00PGIxTjjj对于同一截面的等截面圆轴，如果在长度对于同

23、一截面的等截面圆轴，如果在长度 内各截面扭矩也相等，则内各截面扭矩也相等，则T、GIP为常数。上式积分为为常数。上式积分为 lPGITlj（6.14） 注意：若在长度内扭矩有变化，或轴的直径不同，则需分段由公式（注意：若在长度内扭矩有变化，或轴的直径不同，则需分段由公式（6.14）计算各段的扭转角，然后求代数和。计算各段的扭转角，然后求代数和。 扭转变形用两个横截面的相对转角扭转变形用两个横截面的相对转角表示表示 6.35. 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相相对角位移对角位移) j j 来度量。来度量。MeA

24、DBCMej j 6.36 当等直圆杆相距当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩T及材料的切及材料的切变模量变模量G为常量时有为常量时有pGITlj 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭亦称单位长度扭转角转角)为为 可知，杆的相距可知，杆的相距 l 的两横截面之间的的两横截面之间的相对扭转角相对扭转角j j为为pddGITx j j llxGIT0pddjj6.37 例例6.3 传动轴及其所受外力偶传动轴及其所受外力偶如图如图6.14a所示，轴材料的切变模量所示，轴材料的切变模量 G =80GPa ，直径，直径d=40mm。试计

25、算该轴的总转角。试计算该轴的总转角 。 BCj 解解 1. .截面法求内力矩截面法求内力矩 mN1200ABTmN800BCT2. .画扭矩图如图画扭矩图如图6.14a 所示。所示。3. .计算扭转角计算扭转角 6.3 6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算6.38 圆轴的截面二次极矩圆轴的截面二次极矩 4644m1025. 03204. 032ppdIPo6975. 2rad084. 01025. 010808 . 01200PABABABGIlTjAB段的相对扭转角为段的相对扭转角为 BC段的相对扭转角为段的相对扭转角为 o6929. 2rad04. 01025. 0

26、10801800PBCBCBCGIlTj 由此得轴的总转角为由此得轴的总转角为 6.3 6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算46. 0rad008. 0)04. 0048. 0(BCABACjjj6.396.3.2 圆轴扭转时的刚度计算圆轴扭转时的刚度计算 圆轴扭转时除了强度要求外，有时还有刚度要求，即要求轴在一定圆轴扭转时除了强度要求外，有时还有刚度要求，即要求轴在一定的长度内扭转角不超过某一值，通常限制单位长度转角的长度内扭转角不超过某一值，通常限制单位长度转角 。 j 圆轴扭转时得刚度条件：圆轴扭转时得刚度条件： （6.15） 对于等截面圆轴，则有对于等截面圆轴，

27、则有 jjPGITmax（6.16） 6.3 6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算 jj6.40 式中，单位长度转角式中，单位长度转角 和单位长度许可转角和单位长度许可转角 的单位都是的单位都是rad/m。 j j 工程上，单位长度许可转角工程上，单位长度许可转角 的单位为的单位为 m，考虑单位换算，考虑单位换算，则得则得 j / jpj180maxPGIT（6.17） 不同类型的轴的不同类型的轴的 的值可从有关的工程手册中查得的值可从有关的工程手册中查得 。 j 注意：运用圆轴的刚度条件，也可以求解截面设计、校核和确定许注意：运用圆轴的刚度条件，也可以求解截面设计、校

28、核和确定许可载荷等三类问题可载荷等三类问题 。6.3 6.3 圆轴扭转时的变形与刚度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算6.41例例6.4 等截面传动圆轴等截面传动圆轴如图如图6.15a所示。已知该轴转速所示。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输，主动轮输入功率入功率 kW，从动论输入功率，从动论输入功率 kW， kW， kW，材料的切变模量，材料的切变模量G=80 GPa，许用切应力，许用切应力 MPa，单位长度许，单位长度许可转角可转角 1 m，试按强度及刚度条件设计此轴直径。，试按强度及刚度条件设计此轴直径。 30CP5AP10BP15DP 40 j / 解解 1.计算外力偶矩计算外力偶矩 由公式由公式 可得可得 nPMe9549MA=159.2 Nm，MB=318.3 Nm，MC=955 Nm，MD=477.5 Nm 2. .截面法求扭矩截面法求扭矩 TAB=-159.2 Nm，TBC=-(MA+MB)=-477.5N.m，TCD=477.5 Nm。 6.3 6.3 圆轴扭转时