第1章离散时间信号和系统

1、12l案例案例1:1:数字信号处理技术在数字信号处理技术在3D3D数字光处理高清电视数字光处理高清电视(HDTV)(HDTV)系统中的应用。系统中的应用。34在在物理上物理上是指定义在离散时间上的信号样值的集合，是指定义在离散时间上的信号样值的集合，样样值集合可以是本来就存在的，也可以由模拟信号通过采值集合可以是本来就存在的，也可以由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。样得来的或者是用计算机产生的。在在数学上数学上可用时间序列可用时间序列 来表示。来表示。 其中其中 代表代表序列的第序列的第 个样点的样值，个样点的样值， 代表时间的序号，代表时间的序号， 的可取的可取值范围为值范围为

2、的整数。的整数。许多时候为了方便，直接用许多时候为了方便，直接用 来代表序列全体来代表序列全体 。讲课中，离散时间信号与序列将不予区分。讲课中，离散时间信号与序列将不予区分。)( nx)(nxnnnn)(nx)( nx5x(n)代表第代表第n个序列值，个序列值， 在数值上等于信号的采样值在数值上等于信号的采样值x(n)只在只在n为整数时才有意义为整数时才有意义( )ax t( )()at nTax tx nTn ()ax nT.(),(0),( ),(2 ),.aaaaxTxx TxT序列：序列：对模拟信号对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，得到得到 n取整数。

3、对于不同的取整数。对于不同的n值，值， 是一个有序的数字序列：是一个有序的数字序列： 该数字序列就是离散时间信该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成形成x(n)信号，称为信号，称为序列序列。6 值值其其他他nnnnx,042,1)(1值其他nnnnx, 042, 1)(15, 4, 3, 2, 1, 0, 1 7图中横坐标图中横坐标n n表示离散的时间坐标，且仅在表示离散的时间坐标，且仅在n n为整为整

4、数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。89 两序列同序号两序列同序号(n)的序列值逐项对应相加，即：的序列值逐项对应相加，即：)()()(21nxnxnx 10)()()(21nxnxnx 11( )( )nky nx k121314对对x(nx(n) )以以n=0n=0为起点，每隔为起点，每隔m-1m-1个点抽取一个点。即：个点抽取一个点。即：)()(mnxny 对对x(n)以以n=0为起点，为起点，每两个相邻样点之间插入每两个相邻样点之间插入m-1m-1序列值。即：序列值。即： 其其他他02,0)/()(mmnmnxny( )( )()( )at nT

5、at mnTx nx tx mnx t1516( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()mx m h nm4）相加：17n-2, y(n)=018n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )kx nk h knmkmnk令 则 ( )

6、 ()( )( )kh k x nkh nx n22 nnxE2)(23 0, 00, 1)(nnn mnmnmn, 0, 1)( mn-201mn1-11-2 -1012 nn24)()0()()(nxnnx )()()()(mnmxmnnx )()()(nxnnx )()()(mnxmnnx 250, 00, 1)(nnnu.0123nu(n)1)2() 1()()()() 1()()()(0nnnmnnununununm 与 的关系)(n)(nu26 0,00),()()(nnnxnunx nmmxnunx)()()(27 nNnnRN其其他他0101)(0 123n)(4nR14 值值

7、其其他他窗窗截截取取：nNnnxnRnxmnnRNnununRNNmNN, 010),()()()()()()()(10 28)()(nuanxn 发发散散时时收收敛敛时时,1,1 aa29)()()(0nuenxnj ，式中，式中0为数字域频率为数字域频率)(sincos)()()()()(00)(0nunjenenueenuenxnuenxnnnjnjnjo 30j nn3x(n)=0.9 e例：31)sin()(0nAnx( )( )sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf ：采样频率( )sin()ax tAt 模拟正弦信号：模拟正弦

8、信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率32)(nx)()(NnxnxnNN)(nx周期为周期为4的序列示意图：的序列示意图：33)sin()(0nAnx),(2,200必须为整数必须为整数即即当当kNkNkN )()(Nnxnx 有有sin)(sin)(000 NnANnANnx则则)(sin)sin(00 NnAnA即即340202023500221( )kx n1）当为整数时，取，即是周期为的周期序列02sin()8448nN0如， ， 该序列是周期为 的周期序列Nk02 360022( )PPQQkQNPx nP2）当为有理数时，表

9、示成， 、 为互为素数的整数取，则，即是周期为 的周期序列04425sin()5525n0如， ， ， 该序列是周期为 的周期序列3702( )kNx n3）当为无理数时，取任何整数 都不能使 为正整数，不是周期序列0112sin()844n0如， ， 该序列不是周期序列38()()666()n NnNjjx nNee 解：( )( )()26x nx nx nNNkNk若为周期序列，则必须满足，即满足，且 ， 为整数例：判断()6( )njx ne是否是周期序列12kNk而不论 取什么整数，都是一个无理数( )x n不是周期序列例：判断是否是周期序列()()666()n NnNjjx nNe

10、e 解：例：判断是否是周期序列39 mmmnnxmnmxnnxnx)()()()()()()( 40例如对序列例如对序列)()(1010mnanxmm用单位采样序列的加权可表示为：用单位采样序列的加权可表示为：0)(nanx1010nn为其他为其他41l线性系统线性系统l时不变系统时不变系统l线性时不变系统的单位采样响应线性时不变系统的单位采样响应l离散时间系统的因果性与稳定性离散时间系统的因果性与稳定性42离散时间系统离散时间系统T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 记为：431 1221122( )( )( )( )T a x na x na y na y n1212 (

11、 )( )( )( )T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a为常数11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 441112( ) ( )( )sin()97y nT x nx nn解：设2222( )( )( )sin()97y nT x nx nn12122 ( )( ) ( )( )sin()97T x nx nx nx nn1222( )sin()( )sin()9797x nnx nn112( )( )sin()97T ax nax nn1( )ay na， 为常数该系统是线性系统2( )( )sin()97y nx

12、 nn判断例统：系是否线性12( )( )y ny n满足可加性满足比例性( )( )y nax nb, a b为常数是非线性系统。是非线性系统。111( ) ( )( )y nT x nax nb证：设222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx na x nx nb12( )( )y ny n该系统是非线性系统12( )( )ax nax nb不满足可加性*线性系统满足叠加原理的线性系统满足叠加原理的直接结果直接结果：零输入产生零输出。：零输入产生零输出。线性系统x(n)y0(n)y(n)( )( )y nax nb47Tx(n)( )

13、 ()()y nT x nmy nmm对移不变系统，若则 ， 为任意整数2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm该系统不是移不变系统例：试判断2( )( )sin()97y nx nn是否是移不变系统50( )n( ) ( )h nTnT ( )n( )h n51( )( ) ()mx nx mnm任意输入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系统输出：( ) ()mx m Tnm，线性( ) ()mx m h nm， 移不变性( )( )x nh n52LSIh(n)x(n)y(n)( )(

14、)( )y nx nh n53( )( )* ( )y nx nh n解：( ) ()mx m h nm( )( )01nh na u na( )( )()x nu nu nNLSI：某系统，其单位抽样响应为：输入序列为例：求系统输出。0nN当时0( )( ) ()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0( )0ny n当时nN当时( )( ) ()my nx m h nm11001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001( )0111nnNnnay nanNaaanNa56h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )(

15、 )( )y nx nh nh nx n57h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )*( )*( )( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )( )* ( )y nx nh n581212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)59系统的系统的因果性因果性表明了系统的表明了系统的物理可实现性物理可实现性。如果系统的输出与将来

16、的输入有关，该系统为如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果非因果系统系统，是物理不可实现的。，是物理不可实现的。nnnn00)(nnh60( )() ()my nx m h nm000()() ()nmy nx m h nm0()y n( )x m0mn61( )0h n 1( )() ()() ()nmmny nx m h nmx m h nm6263系统对于任何有界输入，输出也是有界的。系统对于任何有界输入，输出也是有界的。称这种稳定性为称这种稳定性为有界输入有界输入有界输出有界输出( (BIBO)BIBO)稳定性稳定性。nnh)(64( )() ()()()()( )mmmky

17、nx m h nmx mh nmMh nmMh kMP 证明证明 先证明充分性。若先证明充分性。若输入序列输入序列x(n)有界，即有界，即 , M为任意常数，为任意常数，则则 输出输出y(n)有界。有界。( )x nM( )nh n 1, ()01, ()0hnhnx(n)= 令n=0 ( )( ) ()(0)( ) (0)()( )mmmmy nx m h nmyx m hmhmh m所以假设不成立。所以所以假设不成立。所以 是稳定的必要条件。是稳定的必要条件。( )nh n ( )nh n ( )nh n 66)()(nuanhn ( ) ( )( )nh nh n u nh n 68Ni

18、Mjjijnxbinya00)()(或NiiMjjinyajnxbny10)()()( 系数系数ai(iai(i=1=1、2 2、N)N)， bjbj(j j=1,=1,M),M)均为常数。均为常数。 差分方程的阶数指方程中差分方程的阶数指方程中y(n-iy(n-i) )的最高阶与最低阶之的最高阶与最低阶之差。差。 线性指方程中仅有线性指方程中仅有x(n-jx(n-j) )和和y(n-iy(n-i) )的一次幂项，不含的一次幂项，不含它们的相乘项。它们的相乘项。69一是从差分方程表达式比较容易得到系统的结构；一是从差分方程表达式比较容易得到系统的结构；二是便于求解系统的瞬态响应。二是便于求解系

19、统的瞬态响应。 70已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的输出序列。求解差分方程的基本方法基本方法有以下三种：有以下三种： (1)经典解法。齐次解特解经典解法。齐次解特解 (2)递推解法。迭代法，卷积和计算法递推解法。迭代法，卷积和计算法 (3)变换域方法。变换域方法。Z变换法变换法 71例例1.1.常系数线性差分方程常系数线性差分方程 y(n)-3y(n-1) =2x(n)。试求其。试求其初始条件初始条件y(-1)=0和和y(0)=0时的单位采样响应时的单位采样响应h(n)。解：解：根据系统单位采样响应根据系统单位采样

20、响应h(nh(n) )的定义的定义, ,当激励当激励x(n)=(n), ,则则y(n)=y(n)=h(nh(n) )。 nnyny213（1）边界条件为）边界条件为y(-1)=0,必定有必定有y(n)=0,n0,则上式可变为则上式可变为:720(0)3(1)20223yy13223)1 (2)0(3)1 (yy23263)2(2) 1 (3)2(yy332183)3(2)2(3)3(yy( )3 (1)2(1)23ny ny nn由递推关系，得由递推关系，得 2 30ny nn ，（）即得系统的单位采样响应即得系统的单位采样响应 ，是因果系统。，是因果系统。( )2 3 ( )nh nu n

21、732311nnyny92)32(31121312yy333232272)92(312313yy 443232812)272(313314yy ），（132nnyn由递推关系，得由递推关系，得0, 0)(nny利用已得出的结果利用已得出的结果 322031020311yy则75( )( )aax tx t ( )( )( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt当76l采样前后信号频谱的变化；采样前后信号频谱的变化；l什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号？原信号？77 ( )( )( )() ()aaamx tx ts

22、 tx mTtmT0()aXj求理想抽样的频谱( )( )()Tms tttmT理想抽样输出：理想抽样输出：2() ( )()()S jDTFT s tksTkkssk 1()( )()* ()2aaaXjDTFT x tXjS j 1()askXjjkT()( )( )j taaaXjFT x tx t edt 1()()2aXjkssk 21( )( )sjktssTkkstAfeTTt 其中: 为级数的基频，为采样频率222211( )()ssTTjktjktkTTTmAt edttmT edtTT系数: 1()( )sjktTkjDTFTtDTFT eT 其频谱：S122()()ssk

23、kkkTT 2211( )sTjktTt edtTT1( )sjktks teT()11ssjktjktj tkkeedtedtTT l抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成行周期延拓而成l频谱幅度是原信号频谱幅度的频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍倍l若信号的最高频率若信号的最高频率 22shs ， 为折叠频率则延拓分量产生频谱则延拓分量产生频谱混叠混叠1()()aaskXjXjjkT 81要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍信号谱的最高频率样频率必须大于或

24、等于两倍信号谱的最高频率22shshff 即82利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。抽样信号。2()02ssTH j s/2-s/2T 0H(j)Hj()aXj()aYj理想低通滤波器理想低通滤波器:()()()()aaaYjXjH jXj ( )( )aax tx t1( )()2j th tH jed( )( )( ) ()aaay tx txh tdsin()()()amtmTTx mTtmTT22sin()sin()222sssj tsttTTedttT 输出：讨论sin()()()tmTTh tmTtmTT内插函数：（1 1）在采样点）在采样点 上，信号值不变，即：上，信号