(完整word版)7-8_几何计数.题库教师版.doc

1、几何计数知识框架图7 计数综合7- 8 几何计数教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等n 条直线最多将平面分成223n1 (n2 n 2) 个部分； n 个圆最多

2、分平面的部分数为n(n-1)+2 ； n 个三角形将平面最多分2成 3n(n-1)+2 部分； n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2 部分7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 1 of 15在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1 个点 (包括两个端点 )（或含有n 个 “基本线段 ”），那么这n+1 个点把这条线段一共分成的线段总数为n

3、+(n-1)+ +21 条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为 DE上有 15 条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15 个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15 个，所以图中共有 30 个三角形数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个例题精讲【例 1 】（难度等级）下图的两个图形(实线 )是分别用10 根和 16 根单位长的小棍围成的如果按此规律 (每一层比上面一层多摆出

4、两个小正方形)围成的图形共用了60 多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 2 of 15【解析】 通过观察每增加一层，恰好增加6 根小棍，这6 根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前1 层用 4 根，前 2 层用 4+6 根，前 3 层用 4+62 根，前 n 层用 4+6 (n1)-根，现在共用了 60 多根，应减去4 是 6 的倍数，所以共用小棍64 根，围成的图形有11 层【例 2 】（难度等级）用3 根等长的火柴可以摆成一个等边三角形如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由

5、20 根火柴组成， 那么一共要用多少根火柴 ?【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了3 根火柴；从上向下数第二层用了32=6 根；从上向下数第二层用了33=9 根；从上向下数第二层用了320=60 根；所以总共要用火柴3（ 1+2+3+ +20） =630【巩固】用三根火柴可拼成一个小“” ，若用 108 根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 3 of 15【解析】首先，需弄清形状如图的大三角形共有多少层从上往下，第一层用 3 31根火柴；第二层用63 2 根火柴；第三层用9 33 根火柴；

6、第四层用12 3 4 根火柴；第五层用153 5 根火柴； ；第 n 层用 3n3n根火柴根据题意，有：3 69 1215 L 3n108，故1 23 45 Ln36 ， 所以， n 8 ，即形状如图的大三角形共有8 层，是边长为8 根火柴的大正三角形然后，数出共有多少个三角形尖朝上的三角形共：(12345678)(1234567)(123456)(12345)(1234)(123)(12)1120(个)；尖朝下的三角形共：(1234567)(12345)(123)1050(个)；所以，共有三角形：12050170( 个) 本题小结：尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由1 开始的连续

7、自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1 为止尖朝下的三角形的个数也是从1 开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止【例 3 】（难度等级） 如图所示， 用长短相同的火柴棍摆成31996 的方格网， 其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】横放需 19964 根，竖放需19973 根共需 19964+19973=13975 根【例 4 】（难度等级）图中共有多少个长方形？7- 8. 几何计数

8、 . 题库教师版page 4 of 15【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形） mn 个所以有 (4+3+2+1) （4+3+2+1）=100【例 5 】（难度等级）下面的55和 64 图中共有 _个正方形【解析】 在 55的图中，边长为1 的正方形52 个；边长为2 的正方形42 个；边长为 3 的正方形32 个；边长为 4 的正方形22 个；边长为 5 的正方形有 12 ，总共有2222255 (个 )正方形 在 6 454321的图中边长为1 的正方形64个；边长为2 的正方形53个； 边长为3的正方形 4 2个；边长为4

9、 的正方形 31 个；总共有64534231 42(个)【例 6 】 （难度等级）在图中 (单位：厘米 )：一共有几个长方形?所有这些长方形面积的和是多少?512812473【解析】 一共有 (4321)(4321)100 (个 )长方形； 所求的和是51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)1448612384(平方厘米 )【巩固】（难度等级 ）如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5 厘米、 7 厘米、 9 厘米、 2 厘米和 4 厘米、 6 厘米、 5 厘米、 1

10、 厘米求图中长方形的个数，以及所有7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 5 of 15长方形面积的和【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边 形 ） mn个 ， 所 以 有 (4+3+2+1) （ 4+3+2+1 ） =100 ， 这 些 长 方 形 的 面 积 和 为 ：（ 5+7+9+2+12+16+11+21+18+23） （ 4+6+5+1+10+11+6+15+12+16） =12486=10664【例 7 】（难度等级）下图中共有_个正方形【解析】 每个 4 4 正方形中有：边长为1 的正方形有42 个；边长为2

11、 的正方形有2个； 边长为 3的正方形32的正方形有222225 个 44 的正方有 2 个；边长为 41 个；总共有4321 30 (个 )正方形现有形，它们重叠部分是4个2 2的正方形因此，图中正方形的个数是3055 4130 【巩固】（难度等级）图中有 _个正方形【解析】 55 的正方形1 个； 44的正方形4 个； 33 的正方形5 个； 22 的正方形4 个； 11 的正方形13 个共 27 个【例 8 】（难度等级）如图，其中同时包括两个的长方形有个7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 6 of 15【解析】 先找出同时包括两个 的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方

12、形都必须包括该最小长方形根据乘法原理2223= 24（种）不同的长方形【巩固】（难度等级）在下图中，不包含的长方形有_个【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6)(1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6)= 441(个) ，包含 的长方形有3344= 144(个 )，所以不包含 的长方形有441- 144= 297(个 )【例 9 】图中含有“”的长方形总共有_ 个【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数按长方形的宽分类，数出含号的长方形的个数含有左上号的长方形有：66618个，其中，宽为 1( 即高度为一层 ) 的含号的长方形为：6 个；宽为 2( 即高度为两层

13、) 的含号的长方形为：6 个；宽为 3( 即高度为三层 ) 的含号的长方形为：6 个；含有右上号的长方形有：662624个，其中，宽为 1( 即高度为一层 ) 的含号的长方形为：6 个；宽为 2( 即高度为两层 ) 的含号的长方形为：6 2个；宽为 3( 即高度为三层 ) 的含号的长方形为：6 个；同时含有两个号的重复计算了，应减去，同时含有两个号的长方形有：448个，其中，宽为 2( 即高度为两层 ) 的含号的长方形为：4 个；宽为 3( 即高度为三层 ) 的含号的长方形为：4 个；7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 7of 15所以，含有号的长方形总共有：1824834个【巩固】

14、（难度等级）由20 个边长为1 的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“ ”图中含有 “ ”的所有长方形(含正方形 )共有个，它们的面积总和是 (第六届走美决赛试题)【解析】 含 的一行内所有可能的长方形有：(八种 )含 的一列内所有可能的长方形有：(六种 )所以总共长方形有6 848 个，面积总和为(12233445)(122334)360【例 10 】（难度等级）如图是由18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个那么，图中包含“*号”的大、小正三角形一共有_个*7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 8 of 15【解析】 分三类进

15、行计数 (设小正三角形边长为1)包含 * 的三角形中，边长为 1 的正三角形有1 个；边长为 2 的正三角形有4 个；边长为 3 的正三角形有1 个；因此，图中包含 “ *的”所有大、小正三角形一共有 1 4 16(个 )【例 11 】（难度等级） 如图 AB，CD，EF，MN 互相平行， 则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【解析】 图中共有三角形 （1+2+3+4）4=40 个梯形（ 1+2+3+4）（ 2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20个【例 12 】（难度等级）图中共有多少个三角形？【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可

16、分为6类（ 1）最大的三角形 1 个 (即 ABC)，（ 2）第二大的三角形有3 个（ 3）第三大的三角形有6 个（ 4）第四大的三角形有10 个（ 5）第五大的三角形有15 个7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 9 of 15（ 6）最小的三角形有 24 个所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形 259=118（个）【例 13 】（难度等级）下图中的正方形被分成9 个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3 个点为顶点，可以构成三角形在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【解析】

17、1显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是? 23=32思考图中怎样的三角形的面积等于3（ 1）一边长2，这边上的高是3 的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）这时，长为2 的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有244=32（个）；（ 2）一边长 3，这边上的高是2 的三角形的面积等于3 这时，长为3 的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线这样的三角形有82=16（个）注意：不能与 （1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）【例 14 】 ( 第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛) 如图，连接一个正六边形的各

18、顶点问图中共有多少个等腰三角形( 包括等边三角形) ？7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 10 of 15【解析】本题需要分类进行讨论先考虑其中的等边三角形图 中，六边形的每 1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形；图 中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；图 中，大号等边三角形有2个；再考虑其中非等边的等腰三角形图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型

19、，见图其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有 6个小号等腰三角形；中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图，这样的弦共有6条，所以有 12个中号等腰三角形；大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有 2个大号三角形，如图，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形那么图中共有662612638个等腰三角形【例 15 】 ( 第十一届“华罗庚金杯赛”) 图中

20、有个正方形7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 11 of 15【解析】边线是水平或垂直方向的正方形共有62524232221291( 个 ) ，形如的正方形有4 个，所以共有正方形 91 4 95 ( 个 ) ( 如何保证没有其它的斜正方形了？如右图，擦去横线和竖线， 只留下斜线，就一目了然了)此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；则面积为 1 的正方形的个数为36；面积为 2 的正方形的个数为4；面积为 4的正方形的个数为25；面积为 9 的正方形的个数为16；面积为16 的正方形的个数为9；面积为 25的正方形的个数为4；面积为 3

21、6 的正方形的个数为 1所以，共有364 25 16 9 4 1 95(个)正方形【巩固】这幅图中有个三角形【解析】 ( 法 1) 以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：只有 1 个基本图形单位的三角形共6 6 272个；由 2 个基本图形单位组成的三角形共37 个；由 4 个基本图形单位组成的三角形共30 个；由 8 个基本图形单位组成的三角形共4 个；由 9 个基本图形单位组成的三角形共10 个；由 16 个基本图形单位组成的三角形共2 个；所以图中共有三角形7237304102155(个)( 法 2) 依三角形的斜边的长度数三角形：斜边和水平线成45 度角的三角形，记这类三角形

22、最小的斜边的长度为1：长度为 1 的斜边共有： 36 条；长度为 2 的斜边共有：15 条；长度为3 的斜边共有： 5 条；长度为 4的斜边共有： 1 条因为图中这类斜边每条带有2 个三角形，所以共有2361551114 (个)斜边水平的三角形，从上向下：斜边在第一条线的有 2 个；斜边在第二条线的有4 个；斜边在第三条线的有4 个；斜边在第四条线的有 5 个；斜边在第五条线的有2 个；斜边在第六条线的有2个；斜边在第七条线的有2 个；所以这种类型的三角形共有21个斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线的有2个；斜边在第二条线的有2 个；斜边在第三条线的有 5 个；斜边在第四条线的有3

23、 个；斜边在第五条线的有3 个；斜边在第六条线的有4 个；斜边在第七条线的有1 个，所以这种类型的三角形共有20个共有 1142120155 ( 个 ) 三角形7- 8. 几何计数 . 题库教师版page 12 of 1564 26 个；32 25 个；16 24 个；4 22个；2 21个；【例 16 】一张长方形纸片，长是宽的2 倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形， ，共对折 7 次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？【解析】从简单情况入手，从第一次对折开始分析，第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共第三次对折，展平，

24、折痕分割成的正方形共823个；第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共12827 个观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是27128 个【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？【解析】将最后得到的小正方形纸展开两次，中间形成一个菱形的小洞孔，之后每展开一次，孔的数量为原来的 2 倍，题中一

25、次操作需要对折2 次，五次操作对折了 10 次，所以孔的数量为 12(10 2)256 个【例 17 】在一个圆周上有 8 个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出个等腰三角形 【解析】由于 8 个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3 个点作为顶点都不能组成等边三角形那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有8个顶点，所以一共有 3 8 24 个等腰三角形， 而且这些等腰三角形互不相同( 否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，只能是不同的顶点， 这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不合 ) ，所以可

26、以作出 24 个等腰三角形【例 18 】圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？【解析】圆周上 4 点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点问题转化为“圆周上10 个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：10987 4 3 2 1 210 个所以交点有 210个【例 19 】圆周上有 8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有 _种【解析】本题可以利用归纳的方法解决若圆周上只有2个点，只有 1种连法；若圆周上只有4个点，先选中1个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1 种连法，所以此时有1 2 2种