陈明 线性代数与空间解析几何第9章

1、9.1 9.1 实二次型实二次型 ( ,)nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xa x xa x21211 112 1 211222222232222222n（1）aij(,), ()nnnnnnnnnnnnnnijijijjiijf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x xaa12211112121122121222222112211,ijjiaa ij令令(,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxxaaa1112112122221212(,) ,(),nijx xxaXAT12令令(,)( )nf

2、x xx X AXT122AAATr(A)( ,)2221231231 21 32 3324f x x xxxxx xx xx x(,)f x x x123f 3,xx X123f X AXT, A100 0210 0 0210 0 0210 002(,)x x x xXT1234A(,)xxfx x x xxxX AX1T2123434100 0210 0 0210 0 0210 002x xx x1234(,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxxaaa1112112122221212(,) ,(),nijx xxaXAT12令令(,)( )nf x xx X

3、 AXT122AAATr(A)回回 顾顾 B=CTACAB nnABCAPPTAP =P- -1AP =A都与都与A2 0 203 02 0 2( ),( ),( ),( )ABCD123413430000()()0 EA20203034202A的特征值为的特征值为0,-3,4.又又AAX=CYTCTACCC C, ,CX = CYC(,)222121122nnnf y yyk yk yk y(,) ,(,)nnx xxyyyXYTT1212f =YTDY 下面介绍用三种方法化下面介绍用三种方法化为为 对任意对任意n元元 f =XTAXX=PY P唯一唯一?但但P 不唯一不唯一.2221122

4、nnfyyy 其中其中 1, 2, nAn 2221231 21 323444xxxx xx xx xff 1 2 22 1 22 2 1 A EA122212221()()0 251(2)A, 12351 1= 5 42252 4222 4 EA1=(1,1,1)T,111131 (5)0EA X1 010 110 0 0 2,3=-12221 1 12220 0 02220 0 0 EA2=(1,0,- -1)T, 3=(0,1,-1)T2 ,32311110 ,22611()0EA X123( ,)P 511P APT则则X=PYTTf X AXY YT511YY111326120361

5、11326令令2221235.yyyf 化化2213122fxxx x 2211232fxx xx222211222311()()222xx xxxx222122311()224xxxx112223312yxxyxyx112223312xyyxyxy22212312.4fyyyCTAC= D, CDD的的x12x1x21122123344xyyxyyxyxy化实二次型为标准形化实二次型为标准形1、正交变换法、正交变换法2、配方方法、配方方法3、初等变换法、初等变换法 CPi(i=1,2,s)C =P1P2Ps,12TTTTs21sC ACPP P APPP12nddd2n nAETC ACCA

6、 =CTAC EC01 01 1 101 1TfXXAa11=0,01 01 1 101 110 001 000 1AE1 0001 10 100 101 110 011 0 001 00 0 10 1 11 1 00 0 111 11 0 010 101 010 000 10 1 11 1 0 ,0 0 1 C令令作可逆线性变换作可逆线性变换X=CY, 则则01 01 1 101 1fDTTXXYY222123.yyy1 0 201 12 1 1TfXXAa11 0a11013321 0 21 0001 101 12 1 12 131 0 01 020 1 00 100 0 10 01ccc

7、AE13321 0001 10 131 020 100 01rrr 2331 0001 00 121 020 110 01ccc 2231 0001 00 02.1 020 110 01rrr 1 020 1 10 0 1 C令令X=CY2221231 0 201 12.2 1 1fyyyXXT 21 011 0 01,21 ,01 2330 2 2ABCA, B, C 哪些相似哪些相似?哪些合同哪些合同?(1) A是对角阵是对角阵, B是上三角阵是上三角阵,且有且有3个个互异特征值与互异特征值与A相同相同, ,所以所以B 可以相可以相似对角阵化为似对角阵化为A.即即A与与B相似相似.(2)因

8、为因为A是对角阵是对角阵,所以与所以与A合同的矩阵必合同的矩阵必 是对称阵是对称阵,而而B不是对称阵不是对称阵,A与与B不合同不合同.(3)0E C1232,1,3 C,PP CP = P CPA-1T正正交交故故C AC B C B 不合同。不合同。分析分析22122122100nrrppyyyyyyf定理定理9.3 惯性定理：秩为惯性定理：秩为r的二次型的二次型 22122122100nrrppyyyyyyf回回 顾顾22122122100nrrppyyyyyyf回回 顾顾定理定理9.3 惯性定理：秩为惯性定理：秩为r的二次型的二次型 22122122100nrrppyyyyyyf回回 顾

9、顾例例9.6 n元实二次型共有多少个等价类？元实二次型共有多少个等价类？等价类：如果两个二次型矩阵合同，那么他们等价类：如果两个二次型矩阵合同，那么他们属于同一个等价类。属于同一个等价类。则称则称f 为为正定二次型正定二次型. .12(,)0nf c cc 如，二次型如，二次型 是正定的；是正定的； 2121(,)nniif x xxx 不是正定的不是正定的 但二次型但二次型 12121(,)nniif x xxx 一组不全为零的实数一组不全为零的实数 都有都有12,nc cc：实二次型实二次型 若对任意若对任意 12(,)nf x xx1）实二次型实二次型 正定正定 X A X ,0nXRX

10、 AX 若若X X0 0, ,则则2）定理：）定理：9.4 设实二次型设实二次型 f 正定正定 0,1,2,idin证证：充分性显然：充分性显然. 下证必要性，若下证必要性，若 f 正定，取正定，取 222121122(,)nnnf x xxd xd xd x 则则20()0,0,1,2,iiif Xd xdin 0( )(0,0,1,0,0) ,1,2,iXin 经过可逆线性变换经过可逆线性变换 XCY 化成化成 则，则， 3）可逆）可逆线性变换不改变二次型的正定性线性变换不改变二次型的正定性. . 11220,0000YYYYnnkckcXCkc1212(,)()(,)nnf x xxY

11、C AC Yg yyy 12000012(,)()(,)nnf c ccX AXYC AC Yg k kk 任取一组不全为零的数任取一组不全为零的数 令令12,nk kk证明证明：设正定二次型：设正定二次型 12(,)nf x xxX AX 所以，可逆线性变所以，可逆线性变换不改变二次型的正定性换不改变二次型的正定性. .又由于又由于C可逆，可逆， 0Y 0 0，所以，所以 0,X 0 0同理，若同理，若 正定，则正定，则 正定正定. . fg1212(,)(,)0nng k kkf c cc 12(,)ng yyy正正定定. .反之，实二次型反之，实二次型 可经过可逆可经过可逆12(,)ng

12、 yyy不全为不全为0.即即12,nc cc线性变线性变换换变到实二次型变到实二次型 12(,),nf x xxYX-1-1=C=C秩秩 n （ 的正惯性指数）的正惯性指数）. .fpf4） n元实二次型元实二次型 正定正定12(,)nf x xxXCY 证证：设：设 经可逆线性变换经可逆线性变换 12(,)nf x xx222121122(,)nnnf x xxd yd yd y 变成标准形变成标准形 由由2), 2), 正定正定 f0,1,2,idin即，即， 的正惯性指数的正惯性指数pn秩秩 . .ff规范形为规范形为 22212.nzzz 2221122,0,1,2,nnd yd yd

13、 yiin 5）正定二次型正定二次型 的标准形为的标准形为 12(,)nf x xx 设设A A为实对称矩阵，若二次型为实对称矩阵，若二次型X AX正定二次型的规范形为正定二次型的规范形为 22212nzzzZ EZ 是正定的，则称是正定的，则称A A为为正定矩阵正定矩阵. .2) 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 1）实对称矩阵实对称矩阵A A正定正定 A A与单位矩阵与单位矩阵E E合同合同. .A与与E合同合同,即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵C，使，使TTAC ECC C可见，正定矩可见，正定矩阵是可逆矩阵阵是可逆矩阵.存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C，使，使TAC C 3) 实对称矩阵实对称

14、矩阵A正定，等价于正定，等价于A的的n个特征值全大于个特征值全大于0 4）实对称矩阵实对称矩阵A A正定正定 A与任一正对角矩阵合同与任一正对角矩阵合同. . 即，即，D与与E合同合同. .为任一正对角矩阵，则为任一正对角矩阵，则若若12,0,1,2,inddDdind 1122111nnddddDdd 例例1 判断二次型判断二次型222123121323444xxxx xx xx xf是否正定？是否正定？例例2 2、设设 A 为为 n 阶正定矩阵，证明阶正定矩阵，证明 （5 5）若）若B亦是正定矩阵，则亦是正定矩阵，则AB也是正定矩阵；也是正定矩阵；（2 2）是正定矩阵；）是正定矩阵；(0)

15、kA k （1 1） 是正定矩阵；是正定矩阵；1A （3 3）是正定矩阵；）是正定矩阵；*A（4 4） 是正定矩阵（是正定矩阵（m为任意整数）；为任意整数）；mA（6 6）若）若B亦是正定矩阵，则亦是正定矩阵，则AB的充要条件是的充要条件是A与与B可交换可交换；证：证： （1）由于）由于A正定，则存在可逆矩阵正定，则存在可逆矩阵P，使，使于是有，于是有，故，故， 正定正定.1A （2）由于）由于A正定，对正定，对 都有都有,0,nXRX 0,X AX 因此有因此有()0.X kA XkX AX1111111()()() )()P APPAPPAPE ,P APE 令令1() ,QP 故，正定故

16、，正定. .kA即，即， 与单位矩阵与单位矩阵E合同合同.1A 则则Q可逆，且可逆，且1,Q AQE ，由（，由（1 1）（）（2 2）即得）即得 正定正定. .*1AA A 又又*A（3）A正定，则存在可逆矩阵正定，则存在可逆矩阵C，使，使AC C ，于是，于是20AC CC 当当 m2 2k时，时，2(),mkkkkkAAA AAEA 即，与单位矩阵即，与单位矩阵E合同，所以合同，所以 正定正定.mAmA（4）由于）由于A正定，知正定，知 为为 n 阶可逆对称矩阵阶可逆对称矩阵，mA（5）由于）由于A、B正定，对正定，对 都有都有,0,nXRX 0,0X AXX BX 因此有因此有()0.

17、XAB XX AXX BX 故，故，AB 正定正定.当当 m2 2k1时，时，21(),mkkkkkAAA AAAAA 即，与正定矩阵即，与正定矩阵A合同，而合同，而A与单位矩阵与单位矩阵E合同，合同，mA所以所以 与与E合同，即合同，即 正定正定.mAmA（6）若）若B亦是正定矩阵，则亦是正定矩阵，则AB的充要条件是的充要条件是A与与B可交换；可交换；1）实对称矩阵实对称矩阵 正定正定 ()ijn nAa0,1,2, .iiain 取取(0,0, 1 ,0,0)iiX 第第 个个正定正定. . 证：证：若若A正定正定 ，则二次型，则二次型12(,)XAXnf x xx ()0,1,2,iii

18、iif XX AXain 则则反之不然反之不然. . 即，即， 为对称矩阵，且为对称矩阵，且()ijn nAa 但但A未必正定未必正定.如如0,1,2, ,iiain 11,1 1A 所以所以A不是正定的不是正定的.21212(,)() ,f x xX AXxx 当时，有当时，有12121(,)0.xxf x x 2) ) 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 det0AA但但 不是不是正定二次型正定二次型.2212X AXxx 1 0,1001AA 如如20.AC CC 证：证：若若A A正定，则存在可逆矩阵正定，则存在可逆矩阵C C ，使，使,AC C 从而从而反之不然反之不然. . 即实对称矩

19、阵即实对称矩阵A A，且，且 A未必正定未必正定.0,A 11111)(1,2, )kk kkkkaaAkRaa 称为称为A为第为第k k阶阶顺序主子矩阵顺序主子矩阵;()n nijAaR 设矩阵设矩阵11112)det(1,2, )kkkkkaaPAkaa称为称为A的第的第k k阶阶顺序主子式顺序主子式. .A的顺序主子式的顺序主子式 Pk 全大于零全大于零. .1211(,)nnnijijijf xxxa x xX AX 正定正定实二次型实二次型 1211(,)kkkkijijijfx xxa x x 1212(,) (1,2, )kkxxx xxAkx 证证: :必要性必要性. .设设

20、正定，对每一个正定，对每一个k12(,)nf x xx(1),kkn 令令 是正定的，从而是正定的，从而 正定正定.12(,)knfxxx(1,2, )Ak对任意一不全为零的数对任意一不全为零的数 有有12,kc cc1212(,)(,0,0)0kkkfc ccf c cc det(1,2, )0,1,2, .kPAkn k k充分性充分性： 对对n作数学归纳法作数学归纳法. n1时，时， 正定正定. 结论成立结论成立.211111110.()iaaf xa x 假设对于假设对于n1元二次型结论成立，下证元二次型结论成立，下证n元的情形元的情形. 又又A的顺序主子式全大于零，所以的顺序主子式全

21、大于零，所以A1的顺序主子式的顺序主子式由归纳假设，由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵正定，即存在可逆矩阵G，使，使令令 1111,1211,11,11,nnnnnnnnaaaaAaaa , ,= =则则 1nnAAa 11.nG AGE 也全大于零也全大于零.().ijn nAa 设设则则11121120()101nnnnnEGEEGCC AC CGaG 100nnnEaGG 令令 10,0 1GC 再令再令12,01nEGC 则则 1111000 10 11nnnEGAGGC ACGa 由判定充要条件由判定充要条件3). 知知A正定，所以正定，所以 正定正定.X AX 再令再令 12,n

22、nCC CaaGG 则有则有100nEC ACa 两边取行列式，得两边取行列式，得 2CAa 又又 0 ， 0a A即即 为正对角矩阵为正对角矩阵.1nEa 例例3 3、判定下面二次型是否正定判定下面二次型是否正定. . 其顺序主子式其顺序主子式 正定正定. . f1550,10,0.PA 2 23 3 2 2 P P P P2 2 1 12221231231213231) (,)55484f x xxxxxx xx xx x 解：解： 的矩阵的矩阵524212425A 123(,)f x xx解：解： 的矩阵的矩阵 12(,)nf x xx111221112211122A A A的第的第k

23、k阶顺序主子式阶顺序主子式Pk 212112)(,)nniijiij nf x xxxx x 1,2, .kn 正定正定. . f111111221111111222221111112222kkkkP 11111111 11000( )0,222220000kkkkkk 例例3 3、已知二次型、已知二次型. . 222123122322fxxxx xtx x 正定，求正定，求t的取值范围。的取值范围。设设n元二次型元二次型 12(,),n nnf x xxX AX AAR 若对任意一组不全为零的实数若对任意一组不全为零的实数12,nc cc都有都有 ，则，则 称为称为半正定二次型半正定二次型.

24、12(,)0nf c cc f ，则，则 称为称为半负定二次型半负定二次型. . f12(,)0nf c cc 则则 称为称为负定二次型负定二次型. . 12(,)0,nf c cc f 既不是半正定，也不是半负定，则既不是半正定，也不是半负定，则 称为称为ff不定二次型不定二次型.正定矩阵正定矩阵负定矩阵负定矩阵半正定矩阵半正定矩阵半负定矩阵半负定矩阵 不定矩阵不定矩阵相应于二次型的分类，相应于二次型的分类，n 级实对称矩阵可分类为：级实对称矩阵可分类为：实二次型实二次型 正定正定12(,)nf x xx12(,)nf xxx 负定；负定； 实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 A负定负定.半负定

25、；半负定；12(,)nf xxx 实二次型实二次型 半正定半正定12(,)nf x xx实对称矩阵实对称矩阵A半正定半正定 A半负定半负定. . 12(,),n nnf xxxX AXAAR 负定负定 ；12(,)nf x xxA的顺序主子式负正相间。的顺序主子式负正相间。负定，则下列有条件等价：负定，则下列有条件等价：设设n元实二次型元实二次型 定理定理9.7222121231223(,)2322nf x xxxxxx xx x 判断下面设判断下面设n元实二次型元实二次型的类型的类型例例12(,),n nnf xxxX AXAAR 半正定半正定 ；12(,)nf x xx( 或或 A半正定；

26、半正定； ) 秩秩 = 秩秩(A) = （正惯性指数正惯性指数）；）；fp半正定，则下列有条件等价：半正定，则下列有条件等价：设设n元实二次型元实二次型 结论结论12(,),n nnf xxxX AXAAR 半正定半正定 ；12(,)nf x xx( 或或 A半正定；半正定； ) 秩秩 = 秩秩(A) = （正惯性指数正惯性指数）；）；fp半正定，则下列有条件等价：半正定，则下列有条件等价：设设n元实二次型元实二次型 定理定理9.7 A合同于非负对角阵，即存在可逆阵合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使，使 存在存在 ，使，使n nCR ;AC C A的所有的所有主子式主子式皆大于或等于零皆大于

27、或等于零. . 由此可得，由此可得，A半正定半正定0A1,0,1,2,indC ACdind 1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二、正定（负定、半正定、半负定、不定）二 次型；次型；2、顺序主子式、主子式、顺序主子式、主子式正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、半正定、半负定、不定）性不变半正定、半负定、不定）性不变.负定（半负定）负定（半负定）. .12(,)nf xxx 2、实二次型实二次型 正定（半正定）正定（半正定）12(,)nf x xx3、实二次型、实二

28、次型 f (x1,x2,xn)X AX 正定正定A 与与 E 合同，即存在可逆阵合同，即存在可逆阵C，使，使AC C .f 的正惯性指数的正惯性指数 p 等于等于 nA 的各级顺序主子式全大于零的各级顺序主子式全大于零.实对称矩阵实对称矩阵 A 半正定半正定0.A4、实对称矩阵、实对称矩阵 A 正定正定0A 存在存在 ，使，使 n nCR AC C 5、实二次型、实二次型 f (x1,x2,xn)X AX 半正定半正定A 与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵C，使，使秩秩 f =秩秩(A)= p（正惯性指数）（正惯性指数）1,0,1,2,indC ACdind A

29、的所有主子式全大于或等于零的所有主子式全大于或等于零.A的顺序主子式的顺序主子式 Pk 全大于零全大于零. .1211(,)nnnijijijf xxxa x xX AX 正定正定实二次型实二次型 1211(,)kkkkijijijfx xxa x x 1212(,) (1,2, )kkxxx xxAkx 证证: :必要性必要性. .设设 正定，对每一个正定，对每一个k12(,)nf x xx(1),kkn 令令 是正定的，从而是正定的，从而 正定正定.12(,)knfxxx(1,2, )Ak对任意一不全为零的数对任意一不全为零的数 有有12,kc cc1212(,)(,0,0)0kkkfc ccf c cc det(1,2, )0,1,2, .kPAkn k k充分性充分性： 对对n作数学归纳法作数学归纳法. n1时，时， 正定正定. 结论成立结论成立.211111110.()iaaf xa x 假设对于假设对于n1元二次型结论成立，下证元二次型结论成立，下证n元的情形元的情形. 又又A的