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文档简介
1、学科:数学教学内容:简单几何体【考点梳理】一、考试内容1棱柱(包括平行六面体)。棱锥。多面体。2球。3体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。二、考试要求1理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式,并能运用这些公式进行计算。3了解多面体的概念,能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。对于截面问题,只要求会解决与几种特殊的截面(棱柱、棱锥的对角面,棱柱的直截面,球的截面)以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。三、考点简析1棱柱2棱锥 3棱柱、棱锥的侧面积与体积s正棱柱侧=ch s正棱锥侧= ch v柱体=s h v锥体=sh4球s球=4r2 v
2、球=r3四、思想方法1割补法。它是通过“割”与“补”等手段,将不规则的几何体转化为规则的几何体,是一种常用的转化方法。2正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形,即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角,即侧棱与底面所成的线面角,侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”,它是解决棱锥计算问题的基本依据,必须牢固掌握。3正棱锥的侧面积与底面积的关系。正棱锥:s底=s侧cos4多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两点的最短距离,就是其平面展开图中,连结这两点的线段长度,这
3、是立体几何中求最短距离的基本依据(球面上两点间的距离除外)。5关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体,都由一些简单几何体所组成,这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种:其一是由几个简单几何体堆积而成,其体积就等于这几个简单几何体体积之和;其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成,其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。因此,组合体体积的求法,即为“加、减”法,关键是合理的分割,可使计算简化。6关于等积变换问题。等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。等积变换求体积或求点到平面的距离,都是在基本几何体四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后,
4、计算体积的方法不变,几何体仍为四面体和平行六面体,这样,我们就可以选择适当的面为底面,使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体,则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后,再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离,是用两种不同的体积计算方法,来建立所求距离的方程,使问题得解。异面直线间的距离,可转化为点到平面的距离,因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离,可绕过距离的作图,从而降低了题目的难度。【例题解析】例1 如图81,已知斜三棱柱abca1b1c1的底面是直角三角形,accb,abc=30,侧面a1abb1是边长为a的菱形,且垂直于底面,a1ab=60,e、f分别是ab1、b
5、c的中点。(1)求证:ef侧面a1acc1;(2)求四棱锥ab1bcc1的体积;(3)求ef与侧面a1abb1所成角的大小。 (1)连结a1b、a1ca1abb1是菱形,且e是ab1的中点,e是a1b的中点。又f是bc的中点,efa1c。又a1c平面a1acc1,ef平面a1acc1,ef面a1acc1。(2)平面a1abb1平面abc,交线为ab,在平面a1abb1内,过a1作a1oab于o,则a1o平面abc,且h=a1o=a,又accb,abc=30,v accbb=v柱v aabc=sh sh=sh=acbca1o=a aa =a3(3)在平面abc内,过f作fhab于h,则fh侧面a
6、1abb1。连结eh,则hef为ef与侧面a1abb1所成的角。在rtfhb中,fh=bf=a,bh=a;在heb中,he=a,在rtehf中,tanhef=,hef=arctan。例2 如图83,三棱锥pabc中,abc是正三角形,pca=90,d为pa的中点,二面角pacb为120,pc=2,ab=2。(1)求证:acbd;(2)求bd与底面abc所成的角(用反正弦表示);(3)求三棱锥pabc的体积。 解 (1)如图84,取ac中点e,连de、be,则depc,pcac,deac。abc是正三角形,beac。又de平面deb,be平面deb,debe=e,ac平面deb。db平面deb,
7、acdb。(2)法一:ac平面deb,ac底面abc,平面deb底面abc,eb是db在底面abc内的射影,dbe是bd与底面abc所成的角。又deac,beac,deb即为二面角pacb的平面角。在deb中,de=pc=1,be=ab=3,由余弦定理,得 bd2=12+32 213cos120=13,bd=,由正弦定理,得=,解得sindbe=,即bd与底面abc所成的角为arcsin。法二:ac平面deb,ac平面abc。平面deb平面abc,作df平面abc,f为垂足,则f在be的延长线上,dbf是bd与平面abc所成的角。deac,beac,deb是二面角pacb的平面角。在rtdbf
8、中,de=pc=1,be=ab=3,deb=120,def=60,df=。在deb中,由余弦定理得bd=,sindbf=,故bd与底面abc所成的角为arcsin。(3)ac平面deb,ac平面pac,平面deb平面pac,过点b作平面pac的垂线段bg,垂足g在de的延长线上。在rtbeg中,beg=60,be=3,bg=,vpabc=vbpac=spacbg=3。例3 如图85,三棱锥pabc中,已知pabc,pa=bc=l,pa、bc的公垂线de=h,求三棱锥pabc的体积。分析:思路一直接求三棱锥pabc的体积比较困难。考虑到de是棱pa和bc的公垂线,可把原棱锥分割成两个三棱锥peb
9、c和aebc,利用pa截面ebc,且ebc的面积易求,从而体积可求。解 如图851,连结be,ce。de是pa、bc的公垂线,pade。又pabc,pa截面ebc。vpebc=sebcpe,vaebc=sebcae。debc,sebc=bcde=lh,vpabc=vpebc+vaebc=sebc(pe+ae)=pasebc=l2h。注 本例的解法称为分割法,把原三棱锥分割为两个三棱锥,它们有公共的底面ebc,而高的和恰为pa,因而计算简便。思路二 本题也可用补形法求解。解 如图852,将abc补成平行四边形abcd,连结pd,则paad,且bc平面pad,故c到平面pad的距离即为bc和平面p
10、ad的距离。mnpa,又mnbc,bcad,mnad, mn平面pad。故 vpabc=vpadc=vcpad=spadmn=(paad)mn=l2h。注 本题的解法称为补形法,将原三棱锥补形成四棱锥,利用体积互等的技巧进行转换,以达到求体积的目的。本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想,怎样做?例4 如图86,在四棱锥pabcd中,底面abcd是边长为a的正方形,并且pd=a, pa=pc=a。(1)求证:pd平面abcd;(2)求异面直线pb与ac所成的角;(3)求二面角apbd的大小;(4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径。解 (1)pc=a,pd=dc=a,pdc是rt,且pd
11、dc。同理,pdad。而addc=d,pd平面abcd。(2)如图87,连bd,abcd是正方形,bdac。又pd平面abcd。bd是pb在平面abcd上的射影。由三垂线定理,得pbac。pb与ac成90角。(3)设acbd=o,作aepb于e,连oe。acbd,又pd平面abcd,ac平面abcd。pdac。而pdbd=d,ac平面pdb,则oe是ae在平面pdb上的射影。由三垂线定理逆定理知oepb,aeo是二面角apbd的平面角。pd平面abcd,daab。paab。在rtpab中,aepb=paab。又ab= a ,ap=a,pb=a,ae=a。 又ao=asinaeo=,aeo=60
12、二面角apbd的大小为60。(4)设此球半径为r,最大的球应与四棱锥各个面相切,球心为s,连sa、sb、sc、sd、sp,则把此四棱锥分为五个小棱锥,它们的高均为r。由体积关系,得vpabcd=r(spdc+ spda+ spbc+ spab+ s正方形abcd)=r(+a2+a2 + a2)。又,r(2a2+a2)= a3r=。例5 如图88,已知长方体abcda1b1c1d1中,ab=bc=4,aa1=8,e、f分别为ad和cc1的中点,o1为下底面正方形的中心。求:(1)二面角cebo1的正切值;(2)异面直线eb与o1f所成角的余弦值;(3)三棱锥o1bef的体积。解 如图89,(1)
13、取上底面的中心o, ogeb于g,连oo1和go1。由长方体的性质得oo1平面abcd,则由三垂线定理得o1geb,则ogo1为二面角cebo1的平面角。由已知可求得eb=2。利用abegeo(图810),可求得og=。在rto1og中,tano1go=4。(2)在b1c1上取点h,使b1h=1,连o1h和fh。易证明o1heb,则fo1h为异面直线eb与所成角。又o1h=be=,hf=5,o1f=2,在o1hf中,由余弦定理,得cosfo1h=(3)连hb,he,由o1heb,得o1h平面bef。vobef=vhbef= vebhf=sbhfabsbhf=32(18+34+44)=14bef
14、=144=例6 如图812,球面上有四个点p、a、b、c,如果pa,pb,pc两两互相垂直,且pa=pb=pc=a,求这个球的表面积。解 如图812,设过a、b、c三点的球的截面圆半径为r,圆心为o,球心到该圆面的距离为d。在三棱锥pabc中,pa,pb,pc两两互相垂直,且pa=pb=pc=a,ab=bc=ca=a,且p在abc内的射影即是abc的中心o。由正弦定理,得 =2r,r=a。又根据球的截面的性质,有oo平面abc,而po平面abc,p、o、o共线,球的半径r=。又po=a,oo=r a=d=,(ra)2=r2 (a)2,解得r=a,s球=4r2=3a2。注 本题也可用补形法求解。
15、将pabc补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径r=a,下略。例7 如图813所示,四面体abcd中,ab、bc、bd两两互相垂直,且ab=bc=2,e是ac的中点,异面直线ad与be所成的角为arccos,求四面体abcd的体积。解 如图814,过a引be的平行线,交cb的延长线于f,则daf是异面直线be与ad所成的角。daf=arccose是ac的中点,b是cf的中点,且bf=ab=2。abbc=2 af=2be=2df=da,dbba,dbbf,bf=ba,则三角形adf是等腰三角形,ad=,bd=4故四面体vabcd=abbcbd=,因
16、此四面体abcd的体积是。例8 如图815,在平行六面体abcda1b1c1d1中,已知ab=5,ad=4,aa1=3,abad,a1ab=a1ad=。(1)求证:顶点a1在底面abcd上的射影o在bad的平分线上;(2)求这个平行六面体的体积。解 (1)如图816,连结a1o,则a1o底面abcd。作omab交ab于m,作onad交ad于n,连结a1m,a1n。由三垂线定得得a1mab,a1nad。a1am=a1an,rta1narta1ma,a1m=a1n,从而om=on。 点o在bad的平分线上。(2)am=aa1cos=3=ao=amsec=。又在rtaoa1中,a1o2=aa12 a
17、o2=9 =,a1o=,平行六面体的体积v=54=30。例9 如图817,已知正四棱柱abcda1b1c1d1,点e在棱d1d上,截面eacd1b,且面eac与底面abcd所成角为45,ab=a。(1)求截面eac的面积;(2)求异面直线a1b1与ac之间的距离;(3)求三棱锥b1eac的体积。(1999年全国高考试题)解 (1)如图818,连结db交ac于o,连结eo。底面abcd是正方形,doac。又ed底面ac,eoac。eod就是面eac与底面ac所成的二面角的平面角,eod=45。又do=a, ac=a, eo=asec45=a,故seac=a2。(2)由题设abcda1b1c1d1是正四棱柱,得a1a底面ac,a1aac。又a1aa1b1,a1a是异面直线a1b1与ac之间的公垂线。d1b面eac,且面d1bd与面eac交线为eo,d1beo。又o是db的中点,e是d1d的中点,d1b=2eo=2a。d1d=a,即异面直线a1b1与ac之间的距离为a。(3)法一:如图81
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