连续时间系统地时域分析报告

1、第二章 连续时间系统的时域分析 2-1弓I言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。一、建立数学模型主要应用电路分析课程中建立在KCL和KVL基础上的各种方法。线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为：*dtnr(t)an -1dndtn_1r(t).qr(t) a0r(t)d md md仏丽弾)bmdtt)，5e(t) be二、求解（时域解）1、时域法将响应分为通解和特解两部分：1）通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得 到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自 由响应）；2）特解：由激励项得到系统的受迫响应；3）代入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。经典解法

2、在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易， 这时候很难确定特解的形式。2、卷积法（或近代时域法，算子法） 这种方法将响应分为两个部分，分别求解： 1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况 下，仅仅由系统的初始状态引起的响应 rzi（t） ；2）零状态响应 : 状态为零（没有初始储能） 的条件下，仅仅由输入信号引起的响应 rzs（t）。系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是 用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计 算，可以求出任意信号激励下的响应 （数值解） 卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无法确

3、定初始状态。零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响 应之间并不相等，具体对比见2-9经典法在高等数学中已有详细介绍。本课程 中重点介绍近代时域法。 2-2 系统微分方程的算子表示一、算子通过微分算子可以简化微分方程的表示。dn dn微分算子：令P二石，p =_df，1t积分算子：；（）=（）d利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：Ul =LdkdtP IIgw即可以将电感和电容记成阻值为L p和订的电阻即感抗和容抗。利用算子可以将线性时不变系统的微分方程:dtnr(t) an_!dn-1dtn_1r(t)计t)aor(t)dmdmd=bm-me(t) bm_ie(t)b e(tr

4、be(t) dtdtdt表示为:Pnr(t) an_iPnr(t)dpr(t) ar(t)二 bmPme(t) bm_ipZe(t)dpe(t) be(t) 按照代数运算法则，提取公因子，可以将上式简 化为：(pn an_iPn aiP a)r(t)二(bmPm ，心Ep bo)e(t)或进一步简化为：(bmPm 口一沖宀EP b。)r(t) 一ne(t)(p +a np +.+ aip+ a。)定义：H(p) = (bPm bmipg biP b。)N(p)(pn an_ipZ aiP a。)D(p)则：r(t) = H(p)e(t)注意上面只是微分方程的一种简单记法，并 不代表能进行这样的

5、计算。二、算子运算法则1、mp np = (m n)p，其中 m,n为任意常数。2、 pmpn二pm n,其中m,n同为任意正整数(或 负整数)。13、P_ X = X，p但是：11) p px不一定等于X 微分和积分的次序不能交换：plx3xdxp dt -但是:1 px 二p:聲J 八即，11p x pxpp2)如果px(t)二py(t),不一定能够推出x(t)二 y(t)，只能得到 x(t)二 y(t) C ,即等式两边的公共因子不能抵消。可见，大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用。 2-3 系统的零输入响应零输入响应是下列齐次方程的解：D(p)r(t) = (pn an_ipn

6、 印卩 a)r(t)二 0对它有两种解法：1) 经典解法2) 等效源法(或初始条件法)一、经典解法用经典法求解零输入响应由如下两步构成：1、确定系统的自然频率：令D(p)=0，将 p看成一个代数量，解得其 n个特 征根 1, 2,，n。2、确定零输入响应的形式解：1) 如果D(p)=0俱为单根时，则可以确定其形式 解为：*(t)二 Cie ltC2e 2t C“e nt 二 Ge讯i=1其中CiG,Cn为待定常数。2)如果D(p)=O有重根时，假设i是一个k重根，则形式解为:rzi(t)二 CieMtC2te itCst2e亠C e Ck ie7 k 龜 +Cn entkn八 Citi_iei

7、t -Cie iti Ti =kihit + C t ket即，1 二，2 =k，3、根据初始条件，确定待定系数:一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数 r(O),r(O),r(O),.,r(T(O)，代入形式解中就可以确定待定系数。当D(p)=0俱为单根时：r(0) = Ci C2 Cnr(0)= iG2 nCnr(0)2G22C2 n2Cn-(i)C nr(nT)(o)= i(n-i)C 厂叱厂 由上面的n个方程就可以确定n个待定系数 或者记为矩阵形式:r(0)1r(0) r(0)二1C1. IIC InC2nS C3一严)_nn_1n -1nn -1n-II -其它形式的初始条件，

8、以及特征方程中有重 根的情况下的待定系数也可以用相似的方法和过 程解出。举例:例1 .已知系统的转移算子及未加激励时的初始条件是:P 3p2 3p 2,r 0 - 1,0。b)(r)任意函数乘以(t)以后，其t0。冲激函数有很多种定义方法。常见的有两种：d1)定义为(t)的导数:(t)二二；(t)dt显然，该函数只在t=0处为非零值，其它各 处都为零；;(t)和(t)互为微分和积分t；(t)二 ()d(t)的几个特性：+0J ( )d ； : ( ) = 0,1 0 时。(t)八(-t)冲激函数是一个偶函数(t)f(t)(t)f(0)，或：(t-t)f(t)(t-to)f(t)_ f(t) (

9、t)dt 二 f(0)Od或：f (t) (t - t)dt = f (t。)该特性被称为冲激函数的取样特性2)定义为分配函数这是冲激函数的另外一种定义方法，它通过该函数对另外一个函数的作用来定义这个函数，利用上面的冲激函数的抽样特性作为冲激函数的定义，即：对于任意的函数 f(t),使满足公式：f(t) (t-t)dt = f(t。)oO性质的函数被称为冲激函数。参见本章附录。这种定义在数学上比较严格，但是难于理解。冲激函数的推广：冲激偶Jsf0)J(4)111D21T12*)07(a)矩形脉冲的导数(b)草位冲激偶举例：例 1.计算 f t = 3t T1 - t解：由于(t)= (-t)

10、, (t-to)f(t)= (t-to)f(to),则有:(3t 1) (1-t)(3t 1)- t-1- (3t 1)1t- 1 二 4 t-1qQ例 2 .计算 f t = cos t 2-2t dt解:由于：f(t)、(t)dt 二 f(0)，则有:-O0qQqQQOrncos3t-oO4J_oQ计算t dt。cos二 t (2 - 2t)dt 二 cos二 t -2(t - 1)dt 二例3.-cO10(JII sin2t + 0 2丿例4 .计算解:QO(JI 、(ji 、5 、J cos3t$ (t)dt = cos3tt=0 = cos-oOi4 ji4 j1 4丿。2t - d

11、t ;10(兀)解：吧+列甘5 = 0。例 5.计算 J” 少 It) (t)dt。_oO1-丿F解：原式二-仁亠)+ e2t=2+1=3t=0t=0bbb打 udv = UV d (或0)，则:f (k t)- f (k-1) t x t t-k t 二 f(k t) t- k ttf(tf(0)；(t)0 f()(t- )d这里，因为在t=0时发生状态的跳变，所以 必须对t=0左右的状态加以区分，这就引出了 两个特殊的时刻：0一一起始状态；0 - 初始状态；如果f(t)在t=0处连续可导，上式可以简化 为：tf (t)二 o_f()(t - )d这种分析方法在六十年代应用比较广泛，其时 冲

12、激函数没有得到应用。由于它需要计算函数 的导数，比较麻烦，现在，冲激函数应用以后， 这种分解方法就很少应用了。二、任意函数表示为冲激函数之和（积分）frf）.hh用久齐匡數壬和近似 地农示一任总甫敌将任意函数近似表示为一系列矩性脉冲函数之和，定义：0 t其它则：fo(t)二 f(O)u ：t(t)f心 f(g(tt)f2(t)二 f(2 t)u 4(2 t)fk(t)= f(kr)u：t(t-kU)求和，可得：f(t) fb(t)= f(t)fl(t)fk(t)=f(O)U t(t) f(卫- t) f (k t)u t(t - k t)f(0)晋t f ( t)u t(t t)也tf()+t

13、n=zkQf(5十 t令厶t d （或Q），则u ：t(t k t)(t - k t)（职3再用冲我示咏沖弘数tf（t）Qf（）（t-）d这个公式实际上可以直接从冲激函数的定义或性质中推导出，但是上面的推导更利于观察其含义。这种分解不仅可以用于有始信号，也可以用于一般信号，这时候公式可以改写成为：f(t)二 f( ) (t- )d这个公式更具有普遍性。公式中的积分上限也可以从 t改为：，这样不 会影响结果。这时候公式为：f (t)= 0 f ( ) (t - )d习题：.2.5( 1)；2.7(1)(4)* 2-6阶跃响应和冲激响应一、定义阶跃响应：系统对阶跃信号的零状态响应;冲激响应：系统对

14、冲激信号的零状态响应;一般用h(t)表示系统的冲激响应，r；(t)表示 阶跃响应；系统的冲激响应和阶跃响应之间有对应关系：dh(t)r；(t)或 r；(t)；_h( )ddt0所以两者只要知道其一就可以了。如前所述，现在很少将信号分解为阶跃信号， 所以一般没有必要求阶跃响应，只要求冲激响 应就可以了。二、系统冲激响应的求解方法根据前面对信号的分解，有：f (t)二 f ( ) (t - )d-nd信号可以分解为多个冲激信号f (匸(t - )的积分。如果知道信号对(t)的响应，利用线性移不变系统的线性和移不变特性，就可以得到系 统对任意子信号f ( ) (t - )的响应，从而就可以 得到系统

15、对整个信号的响应。求解系统冲激响应的方法有：1) 系统方程法：根据微分方程求解。书上P46页介绍了这种方法。2) 系数平衡法：比较等式两边相同函数的系数，得到解答。书中的例题(2-3、2-4、2-5)中都 使用了这种方法。3) 初始条件法：将冲激激励转化成0时刻的初始 条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题2-4中介绍了这种算法。4) LT变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法 最简单。在后面Ch5中介绍。本节中重点介绍系统方程法。三、冲激响应的系统方程求解方法系统方程法(或Heaviside部分分式分解方法)1、一阶系统的冲激响应的求解用算子表示的形式为：kh(t)(t)p -丸，h(

16、t) p-二 k (t)，h(t)p- h(t)二 k (t)，h(t)- h(t)二 k (t)，微分方程两边同时乘以e，可以得到：e“h(t)- eh(t)二 ke七(t)=i 泊 (e)h(t)二 ki応(t)=r 凸二 ki讥(t)dtt dt= e_ h( )d = ke_( )d0飞0=eh(t)- h(0) = k (t)=h(t) = ke(t)(注意：零状态，h(0)=0)或者简单记为：kth(t)(t)二 ke4 (t)p -九2、一般情况下，系统的特征根(D(p)=0的根)无 重根H( p)二 N(p)(bmPm bm“pmj biP bo)D(p) (pn aipz d

17、p a。)=(bmPm bm_ipZ biP bo)(P -1)(P-2).(P- n)p- 2Hlp- nht二(bmPm bm_iPm*biP to) t一般使用Heaviside部分分式分解法，它将复杂系统变为许多个简单系统的和。1) mn时，可以将H(p)分解为:H(p)=C pm+ m LC 二 pm +m 4 L.Sip Cnk1k22 + +knp- ip 2p n则：h(t)二CmC:.(心-1)Cm-1(t).Cn (t)k1eit (t)k2e 2t ； (t)-.W(t)3、般情况下，系统的特征根(D(p)=0的根)有重根假设mn的情况，也可以通过相似的过程得到。例：P5

18、3,例题2-3。 2-7 卷积积分本节讨论如何通过冲激响应或阶跃响应求解系统对信号的响应。一、通过阶跃响应求解一一杜阿美积分由 2-5节推导得到的公式：tf(t)= f(O)；(t)。f()(t- )d此时，其激励信号e(t)可以分解为一系列阶跃函数的积分：te(t)二 e(O) ；(t) e()(t -)d而系统对阶跃信号的响应：；(t)，r (t)= ；(t - 厂 r ；(t - )时不变性=e( )；(t-厂 e( )r (t-)齐次性tt= e( )；(t -)d e( )r；(t - )d叠加性te(O)g (t) + J0+e(t 2 (t _ t )dt=te(O)r；(t)

19、e( )r ；(t - )d所以：te(t厂 e(O)r；(t) e( )r；(t - )d杜阿美积分可见，如果得到了系统的阶跃响应，通过杜阿美积分，就可以计算出系统对任意连续可导的激励信号e(t)的响应。如果激励信号在t=0处可导，则上式为：te(t0_e( )r；(t - )d通过变化积分变量，可以得到杜阿美积分的另外一种形式为：te(t)、e(O)r；(t) e(t -)r；( )d因为需要计算信号的导数，需要激励信号连 续可导，所以这种方法目前不常用。二、通过冲激响应求解卷积积分由 2-5节推导得到的公式：tf(t)= f( ) (t- )d此时，其激励信号 e(t)可以分解为一系列冲

20、激函 数的积分：te(t) = e( ) (t - )d系统对冲激信号的响应：(tp h(t)= (t - 厂h(t - )时不变性=e( ) (t -e( )h(t - )齐次性tt= .q e尸(t )d t e( )h(t T )dT叠加性 所以：te(t0e( )h(t - )d卷积积分可见，如果得到了系统的冲激响应，通过卷 积积分，就可以计算出系统对任意信号e(t)的响 应。与杜阿美积分相比，这里并不需要信号连续 可导，所以其实用性大大优于杜阿美积分。通过变化积分变量，同样可以得到卷积积分 的另外一种形式为：te(t)e(t -)h( )d以上公式的应用条件是：有始信号作用于因 果系

21、统。卷积积分有另外一种更加通用的形式是：e(t) e( )h(t - )d时，该公式的积分限在“有始信号作用于因果系统” 与原公式的积分限等价。我们定义一种特殊的函数与函数之间的计算:卷积：x(t) y(t)： x( )y(t- )d则卷积积分可以表示为：r(X e(t) h(t)习题： 2.15 ;2.16 (2)、(4)。* 2-8 卷积及其性质一、卷积计算的几何解法te(t厂 e( )h(t -)d卷积积分的计算从几何上可以分为四个步骤:函数施门改变变殂*反霍和延时例题见P61 -62。二、卷积计算的解析法根据卷积的定义求解。例题见P62。三、卷积积分表P60页四、卷积的性质卷积的计算不

22、少类似于函数的乘法计算。它 的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些 不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。1、与乘法运算相同的性质：1) 交换律:u(t) v(t)二 v(t) u(t)2) 分配律：u(t) V(t) w(t)-u(t) v(t) u(t) w(t)3)结合律：u(t) V(t) w(t) = u(t) v(t)】 w(t)2、与乘法运算不同的性质：卷积的微积分1) 微分:au(t) v(t)丄 9u(t) v(t) = u(t) v(t)dt_dtdt2) 积分：tttu( ) v( )d 匕u( )d v(t) = u(t) _v( )d对上述两边求导数，得到:dd

23、ttu( ) v( )d-joOdt= dtu(t)( )du( ) v()二 dU(t) ；v( )d3) 多重微积分:u(t)(m 人 V(t)“u(t)w V(t)*m+n)3、函数延时后的卷积假设：u(t) v(t)二 f (t)则：u(t - ti) V(t - t2)= f (t - ti - t2)五、几个特殊函数的卷积：1、f(t) (t)=f(t)或：f (t)(t - to) = f (t - to)2、f (t) “ Jt)二 f(t)(见微分性质)或推广：f(t) (n)(t -to)= f(n)(t-to)t3、f(t)()d六、卷积积分的计算卷积积分的计算就是一般的

24、定积分的计算。 但是工程上遇到的卷积计算可能比较复杂。一般 可以借助于图形帮助确定积分函数和积分边界。例：P69-71，例题 2-9。习题:.2.19;2.20( 1)、(4)。* 2-9 线性系统响应的时域求解法一、近代时域法求解步骤1、求系统的转移算子 H(p)2、求系统的零输入响应求解方法：经典法，等效源法如果系统的初始条件为零，则本步可以省 略。3、求系统的零状态响应1) 求系统的冲激响应；2) 通过卷积积分，求系统对激励信号的响应； 如果积分难于计算，可以通过计算机数值积分 计算。4、将零输入响应与零状态响应相叠加，得到总响 应。二、系统对指数激励信号e(t)二est；(t)的响应

25、若系统的特征方程无重根时，系统的全响应为：nn、cje jt ； (t)、j T j W零输入响应r(t)(t) Q(t)八 Cje(t)、kj(ejt；(t) est；(t)jTjTk+(e - e ) (t) s - j零状态响应nj T st-est (t) s _ jc - jCjors-九j丿自然响应受迫响应j=1c - jj s _ j丿自然响应JjtE(t)+ H(s)e%(t)受迫响应若系统的特征方程有重根时，上式系统全响应的有关 项则为：r（t） = Co Gt Ckf e 七响应信号按照其数学特性可以分为自然响应和受迫响应，也可以按照物理特性分为零输入响应和零状态响应。其中

26、零输入响 应与自然响应、零状态响应与受迫响应从 表面上看相似，但是它们并不相同；1）零输入响应是自然响应的一部分，但是自 然响应还包括了零状态响应响应的一部 分；2）受迫响应是零状态响应的一部分，但零状 态响应还包括自然响应的一部分；3）总之，信号的响应包括三部分：(1) 既是零输入，又是自然响应；(2) 既是零状态，又有自然响应；(3) 既是零状态，又有受迫响应。系统响应又有另外一种分法：1) 瞬态响应：随时间增长而趋于零的部分；2) 稳态响应：随时间增长而不趋向零的部分。 对于稳定系统，自然响应必定属于瞬态响应， 受迫响应则可能为瞬态响应，也可是稳态响 应，具体情况视激励信号的形式而定。如果激励信号的指数s与系统的某个特征 根相同，即s= j，则卷积项为：it /. j tite e 二 te例1:电路如图所示，已知R，C=2F,电路的-1t初始状态uc o=iv，求激励为is t二e 2 ； t时， 以Uc t为输出的全响应。解：电路在节点处满足 KCL约束，即:而:SC； iR；。dtR将两个支路电流代入 KCL表达式，则该电路系统的方程为：Uc 丄 Uc =is，RC此方程为一阶常系数非齐次微