椭圆各类题型分类汇总

1、椭圆经典例题分类汇总1. 椭圆第一定义的应用例 1 椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程例 2 已知椭圆22x2 y 2 k 8 911 的离心率 e，2求 k 的值22例3已知方程 x y1表示椭圆，求 k 的取值范围k 5 3 k例4 已知 x2si n y2cos 1(0 )表示焦点在 y轴上的椭圆，求 的取值范围例5 已知动圆 P过定点 A 3，0 ，且在定圆 B：x 32 y2 64的内部与其相内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程2. 焦半径及焦三角的应用22例 1 已知椭圆 x y 1， F1 、 F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使 M

2、到左准43线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项？若存在，则求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由22例 2 已知椭圆方程 x2 y2 1a b 0 ，长轴端点为 A1 ， A2 ，焦点为 F1， F2，P是椭 ab圆上一点， A1PA2， F1PF2求： F1PF2的面积（用 a、 b、 表示）3. 第二定义应用22例 1 椭圆 x y 1的右焦点为 F ，过点 A1，3 ，点 M 在椭圆上，当 AM 2MF 为 16 12最小值时，求点 M 的坐标22例2 已知椭圆 x2 y2 1上一点 P到右焦点F2的距离为b (b 1) ，求P到左准线的距 4b 2 b 22离22

3、P是例 3 已知椭圆 x y 1内有一点 A(1 , 1) ， F1 、 F2分别是椭圆的左、右焦点，点 95椭圆上一点(1) 求 PA PF1 的最大值、最小值及对应的点 P 坐标；(2)求 PA3 PF2 的最小值及对应的点2P 的坐标4. 参数方程应用2例1 求椭圆 xy2 1上的点到直线 x y 6 0的距离的最小值3例 2 (1)写出椭圆 x y 1 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积9422xy例 3 椭圆 2 2 1 (a b 0) 与 x 轴正向交于点 A ，若这个椭圆上总存在点 a2 b2OP AP ( O为坐标原点 )，求其离心率 e的取值范围5. 相交情况下 -

4、弦长公式的应用例1 已知椭圆 4x2 y2 1及直线 y x m(1)当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？( 2)若直线被椭圆截得的弦长为 2 10 ，求直线的方程P ，使5例2已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为13 的直线交椭圆于 A， B两点，求弦 AB的长6. 相交情况下 点差法的应用2x2例2 已知椭圆y2 1，求过点2例 1 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x y 1 0 交于 A 、 B 两点， M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程P 1，1 且被 P 平分的弦所在的直线方程

5、22例 3 已知椭圆1）求过点 P 1，1 且被 P 平分的弦所在直线的方程；222）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；3）过 A 2，1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1 4）椭圆上有两点 P、 Q ， O为原点，且有直线 OP、OQ 斜率满足 kOP kOQ2 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程22xy例 4 已知椭圆 C：1，试确定 m的取值范围，使得对于直线 l：y 4x m，椭圆43C 上有不同的两点关于该直线对称22例 5 已知 P（4,2）是直线 l 被椭圆 x y1所截得的线段的中点，求直线 l 的方程36 9椭圆经典例题分类汇总1. 椭圆第一定义的应用例 1

6、椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 A 2，0 为长轴端点时， a 2， b 1，22椭圆的标准方程为： x y 1 ；41（2）当 A2，0 为短轴端点时， b 2， a 4，22椭圆的标准方程为： x y 1 ；4 16说明： 椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不能确定椭圆 的横竖的，因而要考虑两种情况x2y 21例2 已知椭圆 x y 1的离心率 e 1 ，求k的值k 8 92分析： 分两种情况进行讨论1解：当椭圆的焦点在 x轴上时， a2 k 8，b2 9，得

7、c2 k 1由e ，得k 42 当椭圆的焦点在 y轴上时， a2 9，b2 k 8，得 c2 1 k1 1 k 1 5由 e，得 ，即 k 2 9 4 45满足条件的 k 4或 k 5 4说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 k 8与 9的大小关系不定，所以椭 圆的焦点可能在 x轴上，也可能在 y 轴上故必须进行讨论22例5 已知方程 x y1表示椭圆，求 k 的取值范围 k 5 3 kk 5 0,解： 由 3 k 0, 得 3 k 5，且 k 4 k 5 3 k, 满足条件的 k 的取值范围是 3 k 5，且 k 4说明： 本题易出现如下错解：由k 5 0,3 k 0,得 3 k 5

8、，故 k 的取值范围是 3 k 5 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a b 0这个条件， 当 a b时，并不表示 椭圆例6 已知 x2si n y2cos 1(0 )表示焦点在 y轴上的椭圆，求 的取值范围 分析： 依据已知条件确定 的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出 的 取值范围解： 方程可化为1因为焦点在11y 轴上，所以1 10 cos sinsin cos3 因此 sin 0且 tan1从而( , ) 24说明： (1)由椭圆的标准方程知0，sin1 cos0 ，这是容易忽视的地方1 sin(3)求 的取值范围时，应注意题目22(2)由焦点在 y 轴上，知 a2，b

9、2cos 中的条件 0例5 已知动圆 P过定点 A 3，0 ，且在定圆B：x 3 2 y2 64的内部与其相内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程分析： 关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式解：如图所示，设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点，即定点 A 3，0 和定圆圆心 B 3，0 距离之和恰好等于定圆半径，即 PA PB PM PB BM 8点 P的轨迹是以 A， B为两焦点，22半长轴为 4，半短轴长为 b42 327 的椭圆的方程： x y 1 16 7说明： 本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方 程这是求轨迹方程的一种重要思想方

10、法2. 焦半径及焦三角的应用x2 y2例 1 已知椭圆1， F1 、 F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使 M 到左准4 3 1 2线 l 的距离 MN 是 MF1 与 MF2 的等比中项？若存在，则求出点 M 的坐标；若不存在， 请说明理由左准线 l 的方程是 x 4 ，解：假设 M 存在，设 M x1， y1 ，由已知条件得 a 2，b 3， c 1，e 1 MN 4 x1 又由焦半径公式知：MF1 a ex1 2 x1 ，MF2 a ex12 2 x1 MN 2 MF1MF2 ，x14 2 2 1 x12 1 x11 21 2 1 2 1整理得 5x12 32x1 48 0 解之得

11、 x1 4 或 x1125另一方面 2 x1 2 则与矛盾，所以满足条件的点 M 不存在22例 2 已知椭圆方程 x2 y2 1a b 0 ，长轴端点为 A1 ， A2 ，焦点为 F1， F2，P是椭 ab圆上一点， A1PA2， F1PF2求： F1PF2的面积（用 a、 b、 表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边， 从而利用 S 1 ab sinC 求面积2解：如图，设 P x，y ，由椭圆的对称性，不妨设 P x， y ，由椭圆的对称性， 不妨设 P在第一象限由余弦定理知：F1F22PF1 2 PF222PF1 PF2 cos4c2 由椭圆定义知： PF1 PF2 2a则

12、 2 得PF1 PF22b21 cos1故 S F1PF2PF1 PF2 sin2b22sin b tan 21 cos 23. 第二定义应用22例 1 椭圆 x y1的右焦点为 F16 12，过点 A1，3 ，点 M 在椭圆上，当 AM 2MF 为最小值时，求点 M 的坐标分析： 本题的关键是求出离心率e 1 ，把 2MF 转化为 M 到右准线的距离，从而得2e1 解： 由已知： a 4 ， c 2 所以 e ，右准线2：x 8 均可用此法最小值一般地，求AM 1 MF过A作AQ l，垂足为Q，交椭圆于 M，故MQ 2MF 显然 AM 2MF的 最小值为 AQ ，即 M 为所求点，因此 yM

13、3 ，且 M 在椭圆上故 xM 2 3 所以M2 3，31说明： 本题关键在于未知式 AM 2MF 中的“ 2”的处理事实上，如图， e ，2即 MF 是 M 到右准线的距离的一半， 即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点 M ，使 M 到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值22例2 已知椭圆 x2 y2 1上一点 P到右焦点F2的距离为b (b 1) ，求P到左准线的距 4b 2 b 2 2离分析： 利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解x2 y2 3解法一： 由 x 2 y2 1，得 a 2b，c3b， e 34b 2 b2 2由椭圆定义， PF1 PF2 2a 4b

14、 ，得PF1 4b PF2 4b b 3bPF1由椭圆第二定义， 1 e ， d1为 P 到左准线的距离，d11 d1 PF1 2 3b ，e即 P 到左准线的距离为 2 3b PF2c 3解法二： 2 e，d2为 P到右准线的距离， e ，d22 a 2PF2 2 3a2 8 3d22 b 又椭圆两准线的距离为 2 be3c3 P 到左准线的距离为 8 3 b 2 3 b 2 3b 33说明： 运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解 椭圆有两个定义， 是从不同的角度反映椭圆的特征， 解题时要灵活选择， 运用自如 一般地， 如遇到动点到两个定点的问题， 用椭圆第一定义；

15、 如果遇到动点到定直线的距离问题， 则用 椭圆的第二定义22例 3 已知椭圆 x y 1内有一点 A(1 , 1) ， F1 、 F2分别是椭圆的左、右焦点，点 P是95椭圆上一点(1) 求 PA PF1 的最大值、最小值及对应的点 P 坐标；(2) 求 PA 3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标分析：本题考查椭圆中的最值问题， 通常探求变量的最值有两种方法： 一是目标函数当， 即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：(1)如上图， 2a 6， F2(2,0) ， AF22 ， 设 P 是

16、椭圆上任一点，由PF1 PF2 2a 6 ， PA PF2 AF2， PA PF1 PF1 PF2 AF2 2a AF2 6 2 ，等号仅当 PA PF2 AF2 时成 立，此时 P、 A、 F2共线由 PAPF2AF2， PAPF1PF1PF2AF22aAF26 2 ，等号仅当 PA PF2 AF2 时成立，此时 P、 A、 F2共线x y 2 0,建立 A、 F2的直线方程 x y 2 0 ，解方程组 2 2 得两交点5x2 9y2 45P1(9 15 2,5 15 2)、 P2(9 15 2,5 15 2)1 7 14 7 14 2 7 14 7 14综上所述， P点与 P1重合时， P

17、A PF1 取最小值 6 2 ， P 点与 P2重合时， PA PF2 取最大值 6 2 (2)如下图，设 P是椭圆上任一点， 作 PQ垂直椭圆右准线， Q为垂足，由a 3，c 2，2PF223e由椭圆第二定义知e ， PQPF23PQ323PAPF2 PA PQ，要使其和最小需有 A、P 、Q共线，即求 A到右准线距离 右9准线方程为 x A 到右准线距离为21，代入椭圆得满足条265件的点 P坐标 (6 5 ,1)51说明：求 PAPF2 的最小值， 就是用第二定义转化后， 过 A 向相应准线作垂线段 巧e用焦点半径 PF2 与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段4. 参数方程应用2

18、例 1 求椭圆y2 1上的点到直线 x y 6 0的距离的最小值3分析： 先写出椭圆的参数方程， 由点到直线的距离建立三角函数关系式， 求出距离的最 小值3cos ，sin ，则点到解：椭圆的参数方程为 x 3cos ，设椭圆上的点的坐标为 y sin .直线的距离为3cos sin 622sin 63当 sin31时， d最小值说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程例 2 (1)写出椭圆 x y 1 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积94分析： 本题考查椭圆的参数方程及其应用 为简化运算和减少未知数的个数， 常用椭圆 的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化

19、归为三角问题x 3cos解： (1) ( R)y 2sin(2)设椭圆内接矩形面积为 S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于 x轴和 y 轴，设(3cos ,2sin )为矩形在第一象限的顶点， (02)，则 S 4 3cos 2sin 12sin 2 12 故椭圆内接矩形的最大面积为 12说明： 通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最 值问题，用参数方程形式较简便22例 3 椭圆 x2 y2 1(a b 0)与 x轴正向交于点 A ，若这个椭圆上总存在点 P，使 a2 b2OP AP ( O为坐标原点 )，求其离心率 e的取值范围分析： O 、 A为定点， P

20、为动点，可以P点坐标作为参数， 把OP AP ，转化为 P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b 、 c的一个不等式，转化为关于e的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程x acos解：设椭圆的参数方程是 (a b 0) ，y bsin则椭圆上的点 P(acos ,bsin )， A(a ,0)， OP AP ，bsin bsin acos acos a即(a2 b2)cos2a2 cos b2 0，解得 cos 1或 cosb2a2 b2b2 1 cos 1 cos 1(舍去)， 1 a2bb2 1，又b2 a2 c20 a22 2，e 2 ，又0 e 1， 2 e 1 c

21、22 22说明： 若已知椭圆离心率范围 ( ,1) ，求证在椭圆上总存在点 P使 OP AP 如何2证明？5.相交情况下 -弦长公式的应用 例1 已知椭圆 4x2 y2 1及直线 y x m （ 1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？2）若直线被椭圆截得的弦长为2 10 ，求直线的方程5解：（ 1）把直线方程 y x m代入椭圆方程 4x2 y2 1得4x2 x m 2 1 ，即 5x2 2mx m2 1 02m 2 4 5 m2 1 16m2 20 0 ， 解 得55 m222）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 ，x2，由（1）得 x1 x222m m 1 ，x1x255根据弦长公式

22、得： 1 1225mm2 12 10解得 m 0 方程为说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决直线与椭圆的交点问题，般考虑判别式 ；解决弦长问题， 一般应用弦长公式，可大大简化运算过程用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系）例2 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 x轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为3 的直线交椭圆于 A， B两点，求弦 AB的长分析： 可以利用弦长公式 AB 1 k2 x1 x2（1 k2 ）（ x1 x2）2 4x1x2 求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： （法

23、1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解AB 1 k2 x1 x2（1 k 2 ）（ x1 x2）2 4x1x2 因为 a 6，b 3，所以 c 3 3 因为焦点在 x 轴上，22所以椭圆方程为 x y 1，左焦点 F（ 3 3,0） ，从而直线方程为 y 3x 936 9由直线方程与椭圆方程联立得：13x2 72 3x 36 8 0 设 x1， x2为方程两根，所以72 3x1 x21 2 1336 8x1x2， k 3 ，13从而AB 1 k2 x1x22 2 48(1 k2 )(x1 x2 )2 4x1x2 1438（ 法 2）利用椭圆的定义及余弦定理求解2由 题 意 可 知 椭 圆 方 程

24、 为 x y 1 ， 设 AF1 m ，BF212n在AF1F22(12 m) 2m所以m6中2436 3 2 m 6 3 2 ；2 y 36 9BF1 n ， 则AF2 12 m ，AF2 2 AF1 2 F1F2 2 2 AF1 F1F23o ，s 即同理在 BF1F2 中，用余弦定理得 n 6 ，所以 AB m n 481 2 4 3 1343（ 法 3）利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程 13x2 72 3x 36 8 0 求出方程的两根 x1， x2 ，它们分别是 A， B的横坐标再根据焦半径 AF1 a ex1， BF1 a ex2 ，从而求出 AB AF1 BF1 6.相交

25、情况下 点差法的应用例 1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线 x y 1 0 交于 A 、 B 两点， M 为AB 中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程2解： 由题意，设椭圆方程为 2 y2 1，a2x y 1 0 ax22 y2 1 ，得 1 a 2 x2 2a 2x 0 ，x1 x21a 2 ，1xM2，yM 1 xM2 ，2a1 a2yM112kOM2 a 4 ，xMa4 x y2 1 为所求42例2 已知椭圆 x y22说明：（ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦

26、斜率问题1，求过点 P 1，1 且被 P 平分的弦所在的直线方程22分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 k ，利用条件求 k 11解法一： 设所求直线的斜率为 k ，则直线方程为 y 1 k x 1 代入椭圆方程，并22 整理得1 2k2 x2 2k2 2k x 1k2 k 3 022由韦达定理得x1 x222k2 2k21 2k21 P 是弦中点， x1 x2 1 故得 k1 2 2所以所求直线方程为 2x 4y 3 0 分析二： 设弦两端坐标为 x1， y1 、 x2，y2 ，列关于 x1、 x2 、y1、y2 的方程组，从而求斜率：y1 y2解法设过 P 1 ，1 的直线

27、与椭圆交于22A x1，y1 、 B x2， y2 ，则由题意得2 x1 2y12 1，2x222y2 1，x1 x2 1， y1 y2 1.22得 x1 x2 y12 y22 0 2 1 2将、代入得 y1 y21 ，即直线的斜率为 1 x1 x222所求直线方程为 2x 4y 3 0 说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点 轨迹；过定点的弦中点轨迹（ 2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（ 3）有关弦及弦中点问题常用的方法是： “韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲 线问题也适用例 3 已知椭圆2x 2 1 y

28、1 ，21）求过点 P 1，1 且被 P 平分的弦所在直线的方程；222）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；3）过 A 2，1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；4）椭圆上有两点 P、 Q ， O为原点，且有直线 OP 、 OQ斜率满足 kOP kOQ求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为M x1，y1 ， N x2， y2 ，线段 MN 的中点 R x，y ，则x12 2y12 2， x22 2y22 2， x1 x2 2x， y1 y2 2y，得 x1 x2 x1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0

29、 由 题 意 知 x1 x2 ， 则 上 式 两 端 同 除 以 x1 x2 ， 有x1 x2 2 y1 y2 y1 y2 0 ，x1 x2将代入得 x 2y y1 y2 0 x1 x2（1）将 x1 ，y1 代入，得 y1y21 ，故所求直线方程为：2x 4y 3 0 22 x1x222 2 2 1 1 将代入椭圆方程 x2 2y2 2得 6y2 6y 0， 36 4 6 0符合题意， 442x 4y 3 0 为所求2）将 y1 y2 2 代入得所求轨迹方程为： x1 x2x 4y 0 （椭圆内部分）3）将 y1 y2 y 1 代入得所求轨迹方程为： x1 x2 x 222x2 2y2 2x

30、 2y 0 （椭圆内部分）4)由得22x1 x2122y12 y22 2 ，将平方并整理得2 2 2x1 x2 4x2x1x2 ，2 2 2y1 y2 4y 2y1y2 ，将代入得：4x2 2x1x244y2 2y1y2 2 ，再将 y1y21x1x2 代入式得：2122x221x1x2 4y 2x1x22 ，22yx2112此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决22例4 已知椭圆 C：xy 1，试确定 m的取值范围，使得对于直线 l：y 4x m，椭圆43C 上有不同的两点关于该直线对称分析： 若设椭圆上 A ， B两点关于直线 l对称，则已知条件等价于： (1

31、)直线 AB l；(2) 弦 AB 的中点 M 在 l 上利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m 的取值范围22x 2 y 2 1,438nx1 x24n13 于 是 x0213y 1 x n,n 由方程组4 消去 y 得解：(法1)设椭圆上 A( x1 , y1) ，B(x2 , y2)两点关于直线 l对称，直线 AB与l交于 M(x0,y0) 点1 l 的斜率 kl 4 ，设直线 AB 的方程为 y x422 13x2 8nx 16n2 48 0 。 x1 x21 12n y04x0 n 13 ，4n 12n4n即点 M 的坐标为 ( , )点 M 在直线 y 4x m 上， n 4 m

32、解得13 131313 nm 4将式代入式得 13x2 26mx 169m2 48 0 A ， B 是 椭 圆 上 的 两 点 ， (26m)2 4 13(169m2 48) 0 解 得2 13 2 13 m13 4 13(法 2)同解法 1 得出 nm ， x0( m)m，4 0 13 4113113y0x0m ( m) m 3m，即 M 点坐标为 ( m, 3m) 4444 A，B为椭圆上的两点，M 点在椭圆的内部，( m) ( 3m) 1解得 432 13 2 13 m13 13(法 3)设 A( x1 , y1) ， B(x2 , y2)是椭圆上关于 l对称的两点，直线 AB与l的交点 M 的坐标为 (x0 , y0) A ， B 在 椭圆 上，22 x1 y1 1 ， 4322x2 y2 1 两 式 相 减 得433(x1 x2 )( x1 x2) 4(y1 y2)(y1 y2) 0，即 3 2x0(x1 x2 ) 4 2y0(y1 y2) 0y1 y23x0 (x1 x2) x1 x24y0又直线 AB l ， kAB kl1，3x0 41，即 y0 3x0 。4y0又M 点在直线 l上， y0 4x0 m。由，得