第5章弯曲变形

1、材料力学材料力学2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形2NoImage姜姜 诗诗 三三 孝孝 感感 天天诸诸 葛葛 双双 忠忠 动动 地地2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形3NoImageNoImage虞舜孝心感动天曾参跪问痛心源仲由衣锦思负米闵损芦衣无怨言涌泉跃鲤姜庞氏卖身董永遇天仙2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形45.1 5.1 梁的弯曲变形梁的弯曲变形一、梁的弯曲变形参数一、梁的弯曲变形参数1. 1. 挠度和转角挠度和转角tanvdxdvxv=f(x)vyxF F第第5 5章章 弯曲变形弯曲变形2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形52. 2. 挠曲线近

2、似微分方程挠曲线近似微分方程EIM12/3211vv 1vv EIMv 左手坐标系，应取负号左手坐标系，应取负号或或MvEI MvEI 近似之近似之所在！所在！xyo2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形6二、计算弯曲变形的目的二、计算弯曲变形的目的v刚度校核刚度校核v为施工提供依据为施工提供依据v为超静定计算打下基础为超静定计算打下基础 变形协调条件变形协调条件2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形7一、微分方程积分一、微分方程积分1. 1. 近似微分方程近似微分方程)(xMvEI CxxMEId)(DCxxxxMEIv dd)(5.2 5.2 积分法求梁的变形积分法求梁的变形2

3、. 2. 微分方程的解微分方程的解xyo2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形8二、确定积分常数二、确定积分常数1. 1. 积分常数个数积分常数个数2. 2. 积分常数确定积分常数确定A0AAv0AvAB0BAvvBAC右左CC右左CCvv2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形9三、求解步骤三、求解步骤1. 1. 内力函数内力函数2. 2. 积分求挠曲函数积分求挠曲函数3. 3. 变形结果变形结果2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形10v 例题例题5.15.1v 解：解：)(xMvEI l lB Bq qF FA AF FB BA Ax xx xy y反力反力qlFFBA2

4、1弯矩弯矩221)(qxxFxMA22121qxqlx挠曲线微分方程挠曲线微分方程22121qxqlx2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形11：0, 0vxD0：0, vlxDClqlql4424112100D3241qlC CqxqlxvEI326141DCxqxqlxEIv43241121l lB Bq qF FA AF FB BA Ax xx xy y22121qxqlxvEI 积分积分边界条件确定积分常数边界条件确定积分常数解得解得2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形122/ lxcvv0 xAlxB（顺）（顺）（逆）（逆）l lB Bq qF FA AF FB BA

5、Ax xx xy y挠函数和挠函数和转角函数转角函数3322416141qlqxqlxEIxqlqxqlxEIv343241241121EIql43845EIql3241EIql32412021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形13v例题例题5.25.2v解解MMlBAMxM)(CMxvEIMxMvEI )(DCxMxEIv221:0, 0vxC0:0, 0vxD0EIMlvvlxB221|EIMlvlxB|抛物线？圆曲线？抛物线？圆曲线？22xEIMv x xy yx x2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形14v例题例题5.35.3v解：解： l lB BF FR RA AR RB

6、 BA Ax xy yC Ca ab bx x支座反力支座反力:0)(FMA0 FalRB:0)(FMB0lRFbAlFbRAlFaRB根据外力情况，分根据外力情况，分两段写弯矩函数两段写弯矩函数: :ACAC段段xRxMA)(xlFbCBCB段段)()(axFxlFbxMx x2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形15xlFbvEI ACAC段段122CxlFbEI1136DxCxlFbEIv分段积分分段积分)(xMvEI l lB BF FR RA AR RB BA Ax xy yC Ca ab bx xx x2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形16)(axFxlFbvEI

7、222)(212CaxFxlFbEI2233)(616DxCaxFxlFbEIv边界条件边界条件:0, 0vx01D:0, vlx0)(6162232DlCalFlFbl lB BF FR RA AR RB BA Ax xy yC Ca ab bx xCBCB段段2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形17C C处光滑、连续条件处光滑、连续条件:,rlax221222CalFbCalFb:,rlvvax22311366DaCalFbDaCalFb解得解得：)(62221bllFbCC021 DD)(6bllFabl lB BF FR RA AR RB BA Ax xy yC Ca ab b

8、x x2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形18EICA1)0(22)(2121)(CalFlFbEIlB)(6alEIlFab)(3)(baEIlFabac)(6blEIlFab2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形191221CxlFbEIv0)(312222blxEIlFab322blxl lB BF FR RA AR RB BA Ax xy yC Ca ab bx x2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形203/ )(max22blxvv:577. 0, 0lxb0maxv2/, 2/lxlbaEIFlv3max481l lB BF FR RA AR RB BA Ax

9、 xy yC Ca ab bx x322)(39blEIlFb简支梁的最大挠度总是在跨中附近取得，工程上为简支梁的最大挠度总是在跨中附近取得，工程上为方便计算，通常就将跨中挠度作为最大挠度验算。方便计算，通常就将跨中挠度作为最大挠度验算。2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形21v例题例题5.45.4v解解ABlCP Pl/2PRA21（）PRB23（）PxxMvEI21)( ABAB段（段（0 0 x x l l）1241CPxvEI113121DxCPxEIv2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形22)(2321)(lxPPxxMvEI BCBC段（段（l l x x 3 3l

10、 l/2/2）222)(4341ClxPPxvEI2233)(41121DxClxPPxEIv:0, 0vx10D:0,vlx1131210DlCPl2231210DlCPl:,右左vvlx22124141CPlCPlABlCP Pl/2P P/23P3P/22021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形23ABlCP Pl/2221121PlCC021 DD2/3lxCv222234323411CllPlPEIEIPl22472/3lxCvv0232341231211233lCllPlPEIEIPl3812021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形245.3 5.3 叠加法求梁的变形叠加法求梁

11、的变形一、叠加的条件一、叠加的条件1. 1. 外力与变形成正比外力与变形成正比2. 2. 外力引起的变形相互独立（互无关系）外力引起的变形相互独立（互无关系）二、叠加法求变形二、叠加法求变形1. 1. 一组载荷分解成若干单独载荷一组载荷分解成若干单独载荷2. 2. 计算各独立载荷引起的位移（查表）计算各独立载荷引起的位移（查表）3. 3. 位移叠加位移叠加 = = 最后结果最后结果2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形25v例题例题5.55.5v解：解：m mq ql/2ABCl/2q ql/2ABCl/2EIqlvCq43845EIqlBq32412021-7-30第第5章弯曲变形章弯

12、曲变形26l/2ABCl/2m m22262/lllEImlvCmm mq ql/2ABCl/2EIml2161EImlBm31（3 3）叠加得结果）叠加得结果CmCqCvvvEImlEIql241613845CmCqCEImlEIql312413（向下移动）（向下移动）（逆时针转）（逆时针转）2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形27v例题例题5.65.6v解：解：CABF F2EIEIl/2l/2BEICF F（1 1）ABAB刚化，刚化，BCBC变形变形EIlFC21)2/(21EIFl281EIlFvC31)2/(31EIFl32412021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形2

13、8（2 2）BCBC刚化，刚化，ABAB变形变形EIlFB2)2/(2122B B处处EIlFl2)2/)(2/(EIFl2163EIlFvB2)2/(3132EIlFl2)2/)(2/(212EIFl3965BCBC不变形，不变形，C C处仍然有位移处仍然有位移EIFlBC222163ABF F2EIEIl/2l/2MMe e= =Fl Fl/2/2C2222lvvBBC216396523lEIFlEIFlEIFl34872021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形29（3 3）叠加结果）叠加结果ABF F2EIEIl/2l/2C21CCCEIFl281EIFl2163EIFl216521C

14、CCvvvEIFl3241EIFl3487EIFl31632021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形305.4 5.4 梁的刚度条件梁的刚度条件一、挠度与转角之一般结论一、挠度与转角之一般结论v与刚度与刚度EIEI成反比成反比v与荷载与荷载F F、q q、MMe e 成正比成正比v挠度与跨度的挠度与跨度的n n次方成正比，转角与跨度次方成正比，转角与跨度的的n n-1 -1次方成正比次方成正比 2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形31二、提高梁刚度的途径二、提高梁刚度的途径v减小跨度减小跨度v调整加荷方式调整加荷方式v合理选择截面形状合理选择截面形状v合理选材合理选材2021-7-3

15、0第第5章弯曲变形章弯曲变形32 三、刚度条件三、刚度条件v 刚度条件刚度条件钢结构吊车梁钢结构吊车梁混凝土结构吊车梁混凝土结构吊车梁maxvv仍然可以仍然可以求解三类求解三类问题问题v容许挠度容许挠度混凝土结构房屋梁混凝土结构房屋梁2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形33v例题例题5.75.7v解解ABlq qF F2021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形34ABlq qF F225.81kN.mFqlV2121max282198 . 1211 .22kNFlqlM41812max9284198 . 18122021-7-30第第5章弯曲变形章弯曲变形35zWMmaxmax8 .921087510225.8136N/mm2 = 160 N/mm2):(maxmaxxxSIdV2 . 730710101 .223N/mm2 荷载引起