2019年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷(文科)

1、2019 年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.已知集合 A= x|x2-4x 0 ，B= xZ|-2 x 2，则 AB=（）A. 0， 1，2B. 1，2C. -1 ， 0， 1D. -1 ， 0， 1， 22.已知复数 z满足，则 z=（）A. 1-iB. 1-2iC.1+iD. 1+2i3. 已知命题 p： ?x（ 0， ）， tanx sinx；命题 q： ? x 0， x2 2x，则下列命题为真命题的是（）A. pqB. （ pq）C. p（ q）D. （ p）q4.已知角 的终边经过点 （ 2，-3

2、），将角 的终边顺时针旋转后得到角，则 tan =（）A.B. 5C.D. -55.已知向量=（，| |=，且（-），则（+ ）?（ -3 ）=（）A. 15B. 19C.-15D. -196.已知， c=0.3lg1，则（）A. c abB. b c aC. c b aD. a c b7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A.B.C. 20-12D. 28-248. 函数fx=的大致图象为（）（ ）第1页，共 20页A.B.C.D.9. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（）A.B.C.D.10.已知圆 C：与 y 轴相切，

3、抛物线E： y2=2px（ p 0）过圆心 C，其焦点为 F，则直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于（）A.B.C.D.11.f x =sinx+ 0）的最小正周期为，已知函数（）（）（，且图象过点要得到函数的图象，只需将函数 f（ x）的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度第2页，共 20页12. 若函数 f（ x）与 g（x）满足：存在实数 t，使得 f（ t） =g（t ），则称函数 g（ x）为 （f x）的“友导”函数 已知函数为函数 f（x）=x2lnx+x 的“友导”函数，则 k 的取值范围是（）A. （ -，

4、1）B. （ -， 2C. （ 1， +）D. 2， +）二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 已知双曲线经过点M22e=_（ ， ），则其离心率14. 已知实数xy满足约束条件，则z=2x+y的最大值为_，15. 刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释九章算术，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛如数式是一个确定值x（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式 =x，则，即 x2-2x-1=0 ，解得，取正

5、数得用类似的方法可得=_ 16.在 ABC 中，AC=2，ABC 的面积为，点 P 在 ABC 内，且，则 PBC 的面积的最大值为_三、解答题（本大题共7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列 annnn）（ nN*）是曲线上的 的前 n 项和为 S ，点P （ n，S点数列 bn 是等比数列，且满足b1=a1+1 ，b2 =a3-1（ ）求数列 an ， bn 的通项公式；（ ）记，求数列 cn 的前 n 项和 Tn18.如图，多面体 ABCDPQ 中，平面 APD平面 ABCD ，且 PA=PD，BCAD ，CDAD，E 为 AD 的中点，且， PQBE ，且 PQ=BE， QB=3

6、（ ）求证： EC平面 QBD ；（ ）求该多面体ABCDPQ 的体积第3页，共 20页19. 2018 年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护 某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业2012 年至 2017 年在环保方面投入金额（单位：万元）的柱状图（ ）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；（结果保留整数）（ ）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金额不超过200 万元，则该年不奖励；若企

7、业一年的环保投入金额超过 200 万元，不超过 300 万元，则该年奖励 20 万元；若企业一年的环保投入金额超过 300 万元，则该年奖励 50 万元（ ）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；（ ）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于70 万元的概率第4页，共 20页20.在平面直角坐标系中，直线n 过点且与直线m： x+2y=0 垂直，直线n与 x 轴交于点M，点 M 与点 N 关于 y 轴对称，动点P 满足 |PM |+|PN|=4（ ）求动点P 的轨迹 C 的方程；（ ）过点 D（ 1，0）的直线l 与轨迹 C 相交于 A， B 两点，

8、设点E（ 4， 1），直线 AE， BE 的斜率分别为 k1，k2，问 k1+k2 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21.已知函数（ ）当 a0时，判断函数f（ x）的单调性；（ ）当 a=-2 时，证明：（ e 为自然对数的底数）22. 在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（ t 为参数）以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆2 sinC 的极坐标方程为 =2（ - ）（ 1）求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程；（ 2）若点 P 在直线 l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PQ，求 |PQ|的最小值23. 已知函数 f（ x） =2|

9、x|+|x-3|（ ）解关于 x 的不等式 f（ x） 4；（ ）若对于任意的 xR，不等式 f（ x） t2-2t 恒成立，求实数 t 的取值范围第5页，共 20页第6页，共 20页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：集合 A=x|x 2-4x 0=x|0 x 4 ，B=x Z|-2 x 2=-1，0，1，2 ，A B=1，2 故选：B先分别求出集合 A ，B，由此能求出 AB本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】 C【解析】解：设 z=a+bi（a，bR），由，得（a+bi）（2+i）=a-bi+4i ，即（2a-b）+（a+2b）

10、i=a+（4-b）i，即a=b=1z=1+i故选：C设 z=a+bi（a，bR），代入，利用复数代数形式的乘除运算化 简，再由复数相等的条件求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数相等的条件，是基 础题3.【答案】 D【解析】解：命题 p：?x（0，），tanx sinx；当 x=时，命题不成立故命题 p 为假命题 命题 q：?x 0，x22x，当 x=3 时，命题为真命题故 pq 为真命题 第7页，共 20页故选：D直接利用命 题的应用，真值表的应用求出结果本题考查的知识要点：命题的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型【答案】 A4.【解析】解：根据角 的

11、 终边经过 点（2，-3），可得tan =- 终边按顺时针方向旋转后，与角 终边重合， 的的tan =tan（）=故选：A利用任意角的三角函数的定 义求得 tan ，再由 tan =tan（），展开两角差的正切求解本题主要考查任意角的三角函数的定 义及两角差的正切，属于基 础题5.【答案】 D【解析】解：向量=（，|=，且（-），可得，（+）?（-3）=-=-4-15=-19故选：D利用向量的垂直以及向量的模，数量积化简求解即可本题考查向量的数量 积的求法，向量的模，考查转化思想以及 计算能力6.【答案】 B【解析】解：log231，0 log321，lg1=0；，0.3lg1=0.30=1；

12、bca故选：B第8页，共 20页可以看出 log231，0 log32 1，lg1=0，从而得出，从而得出 a，b，c 的大小关系考查对数函数和指数函数的 单调性，增函数和减函数的定 义7.【答案】 A【解析】解：由三视图还原出几何体知，该几何体是 圆柱挖去一个正四棱柱，上部是半球，且长方体的底面棱 长为 2，高为 3，圆柱底面半径 2，高为 3，半球的半径 为 2，则此几何体的体 积为V=故选：A由三视图知该几何体是 圆柱挖去一个正四棱柱，上部是半球， 结合图中数据求出该几何体的体 积本题考查了根据几何体三 视图求体积的应用问题，是基础题8.【答案】 C【解析】解：函数f （x）=，当x=0

13、 时，y=-3，排除选项 A ，B，D即可判断 选项 C 正确，故选：C利用特殊 值对应点的坐标排除选项，判断即可本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数 值的应用，考查分析问题解决问题的能力9.【答案】 A【解析】解：模拟程序的运行，可得程序框 图的功能是 计算并输出 S=1-的值，第9页，共 20页可得程序运行后 输出的结果为：S=1-=故选：A由已知中的程序 语句可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框 图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题10.【

14、答案】 C【解析】解：圆 C：与 y 轴相切，可得圆心 C（，2），半径r=2，且m=4，抛物线 E：y2=2px（p 0）过圆心 C，其焦点为 F，4=4p，解得 p=1，即C（2，2），F（ ，0），准线方程为 x=-，直线 CF：y=（x-），代入抛物 线 y2=2x 可得 8x2-17x+2=0，可得 x1+x2=，由抛物线的定义可得弦 长为 x1+x2+p=+1=，故选：C求得圆的圆心和半径，由条件可得 m=4，抛物线的方程和焦点坐 标、准线方程，直线 CF 的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦 长公式，计算可得所求值本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，以

15、及联立直线方程和抛物 线的方程，运用韦达定理、弦长公式，考查运算能力，属于中档题11.【答案】 B【解析】第10 页，共 20页解：函数 f（x）=sin（x+）（0，）的最小正周期为=， =2，f（x ）=sin（2x+ ）图象过点，sin（-+）=1，=-，f （x）=sin（2x-）要得到函数=sin（2x+图）的 象，图个单位长度即可，只需将函数 f （x）的 象向左平移故选：B利用正弦函数的周期性求得，根据图象过点，求得 ，可得 f（x）的解析式，再利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论 本题主要考查正弦函数的周期性，函数图变换规律，属于y=Asin（x+）的 象基础

16、题12.【答案】 D【解析】解：g（x）=kx-1，由题意 g（x）为函数 f （x）的“友导”函数，即方程 x2lnx+x=kx-1 有解，故 k=xlnx+ +1，记 p（x）=xlnx+ +1，则 p（x）=1+lnx-=+lnx ，当 x1 时， 0，lnx 0，故 p（x）0，故p（x）递增，当 0x1 时， 0，lnx 0，故 p（x）0，故p（x）递减，故 p（x）p（1）=2，故由方程 k=xlnx+1 有解，得：k2，故选：D求出函数的 导数，问题转化为方程 k=xlnx+1 有解，记 p（x ）=xlnx+1，第11 页，共 20页根据函数的 单调性求出 k 的范围即可本题

17、考查了函数的 单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题13.【答案】【解析】解：双曲线经过点 M （2，2）， =1，解得 m=4e=故答案为：双曲线经过点 M （2，2），代入可得=1，解得 m利用离心率计算公式即可得出本题考查了双曲线的标准方程及其离心率 计算公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题14.【答案】 12【解析】约作出可行域如图，解：由 束条件联立，解得A （4，4），化目标函数 z=2x+y为图可知，当直线y=-2x+z过A时线y=-2x+z ，由，直 在 y轴上的截距最大，第12 页，共 20页z 有最大值为 12故答案为：12由约束条件作出可行域，

18、化目 标函数为直线方程的斜截式，数形 结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15.【答案】 3【解析】解：由题意，可令，则，两边平方，得：6+x=x 2，即x2-x-6=0解得：x=3，或x=-2取正数得 x=3故答案为：3本题可按照已列出的例子的思路进行同样道理的解 题，即可得出结果本题主要根据 题目中给出的解题思路类比算出另一个 题目的结果，属基础题16.【答案】【解析】解：AC=2，ABC 的面积为=AB?AC?sinBAC=，可得：AB=4 ，在ABC 中，由余弦定理可得：BC2=AB 2+AC2-2AB?AC?co

19、sBAC=12，在BPC 中，由余弦定理可得：BC2=BP2+CP2-2BP?CP?cosBPC，可得：12=BP2+CP2+BP?CP 2BP?CP+BP?CP=3BP?CP，即：BP?CP4，当且仅当BP=CP 时等号成立，第13 页，共 20页S = BP?CP?sinBPC仅时等号成立，= ，当且 当 BP=CPBPC即 PBC 的面积的最大值为故答案为： 由已知利用三角形面 积公式可求 AB=4 ，在ABC 中，由余弦定理可得 BC 的值，在BPC 中，由余弦定理，基本不等式可求 BP?CP4，进而根据三角形的面积公式可求 PBC 的面积的最大值本题主要考查了三角形面 积公式，余弦定

20、理，基本不等式在解三角形中的 综合应查计算能力和转化思想，属于基础题用，考 了17【.答案】解：（ ）数列 an 的前n项和为SnPn n Snn N*）是曲线，点（ ，）（ 上的点，故：，当 n=1时，当 n2时， an=Sn-Sn-1 =3n-2，所以数列的首项符合通项，故： an=3n-2数列 bn 是等比数列，且满足b1=a1+1，b2=a3 -1所以： b1=a1+1=1+1=2 ，b2=a3-1= （33-2） -1=6 ，所以公比 q=3（ ）由于，所以：数列 （-1） nnna 的前 n 项和记作 A ，所以：当 n 为奇数时 An=-a1+a2-a3+ +an-1 -an，=

21、（ -a1+a2） +（ -a3+a4） + +（ -an-2 +an-1 ） -an，），=当 n 为偶数时An=An-1+an=，第14 页，共 20页所以：【解析】（）直接利用递推关系式求出数列的通 项公式（）利用分组法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及 应用，分组法在求和中的 应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型18.【答案】 （ ）证明：连接PE，在 PAD 中， PA=PD ， AE=ED， PEAD ，平面 APD 平面 ABCD ，平面 APD平面 ABCD =AD ， PE平面 ABCD ，PQBE，且 PQ=BE ，四边形 PQBE 为

22、平行四边形，则 PEQB故 QB平面 ABCD ，则 QBEC在四边形ABCD 中，可知 BC DE ，且 BC=DE ，四边形 BCDE 为平行四边形，又 CD AD， BC=CD ， 四边形 BCDE 为正方形，故BD CE，又 QBBD =B， EC平面 QBD；（ ）解：由（ ）知，四边形 BCDE 为正方形，BEAD，又 PEAD ， BEPE=E， AD 平面 BEPQ，如图多面体 ABCDPQ 是由四棱锥 A-PQBE 和直三棱柱 QBC -PED 构成，又矩形 PQBE 的面积 S=BE?QB=23=6；四棱锥 A-PQBE 的体积；直三棱柱 QBC -PED 的体积多面体 A

23、BCDPQ 的体积 V=V1 +V2=4+6=10 【解析】（）连接 PE，在PAD 中，由已知可得 PEAD ，再由平面 APD平面 ABCD ，利用面面垂直的性 质可得 PE平面 ABCD ，证明 PEQB，得到 QB平面ABCD ，则 QBEC再证明四边形 BCDE 为正方形，得到 BD CE，由线面垂直的判定可得EC平面 QBD ；（）由（）知，边四形 BCDE 为正方形，得到 BEAD ，进一步证明 AD 平面BEPQ，分别求出四棱 锥 A-PQBE 和直三棱柱 QBC-PED 的体积，作和可得多面体 ABCDPQ 的体积 第15 页，共 20页本题考查直线与平面垂直的判定，考 查空

24、间想象能力与思 维能力，训练了利用等积法求多面体的体 积，是中档题19.【答案】 解：（ ）由柱状图知：甲企业这六年在环保方面的投入金额分别为150， 290， 350， 400，300， 400，其平均数为：（ 150+290+350+400+300+400 ） =272（万元）（ ）（ i ）根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励 t（ x）（单位：万元）是关于该年环保投入 x（单位：万元）的分段函数，即 t（ x） =，甲企业这六年获得奖励之和为：0+20+50+50+20+50=190 （万元）乙企业这六年获得的奖励之和为：0+0+20+20+50+20=110 （万元）（ ii ）由

25、（ i）知甲企业这六年获得的奖金数如下表：年份2012 年2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年奖励（单位：万02050502050元）奖励共分三个等级，其中奖励0 万元的只有2012 年，记为 Ai ，奖励 20 万元的有2013 年， 2016年，记为 B1， B2，奖励 50 万元的有2014 年， 2015 年和 2017 年，记为 C1， C2， C3，故从这六年中任意选取两年，所有的情况有15 种，分别为： A，B1 ， A， B2 ， A，C1 ， A，C2 ， A， C3 ， B1， B2 ， B1， C1 ， B1，C2 ， B1，C3 ， B2， C1

26、 ， B2， C2 ， B2，C3 ， C1，C2 ， C1， C3 ， C2， C3 ，其中奖励之和不低于70 万元的取法有9 种，分别为：B1， C1， B1， C2， B1， C3 ， B2， C1 ， B2，C2 ， B2， C3 ， C1， C2 ， C1， C3 ， C2，C3 ，这两年获得的奖励之和不低于70 万元的概率P=【解析】（）由柱状图求出甲企 业这六年在环保方面的投入金 额，由此能求出其平均数（）i（推）导出企业每年所获得的环保奖励 t（x）（单位：万元）是关于该年环保投入 x（单位：万元）的分段函数，由此能求出甲企业这六年获得奖励之和和乙企业这六年获得的奖励之和（ii

27、 ）由（i）知甲企业这六年获得的奖金数列表，得到奖励共分三个等 级，其中奖励 0 万元的只有 2012 年，记为 A i，奖励 20 万元的有 2013 年，2016 年，记为B1，B2，奖励 50 万元的有 2014 年，2015 年和 2017 年，记为 C1，C2，C3，从这第16 页，共 20页六年中任意 选取两年，利用列举法能求出 这两年获得的奖励之和不低于 70 万元的概率本题考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方 图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题20.【答案】 解：（ 1）由已知设直线n 的方程为2x-y+t=0，因为点 Q（， 4）在直线n 上，所以2-+t=

28、0，解得 t=所以直线n 的方程为2x-y+2=0 另 y=0 解得 x=- ，所以 M（ - ，0），故 N（ ，0） |PM |+|PN |=4 |MN |由椭圆的定义可得，动点P 的轨迹 C 是以 M， N 为焦点的椭圆，长轴长为4所以 a=2， c=， b=，所以轨迹C 的方程为（ 2）当直线l 的斜率不存在时，由解得 x=1， y=不妨设 A（ 1，）， B（ 1，），则 k1+k2=当直线 l 的斜率存在时，直线l 的方程为 y=k（ x-1），由，消去 y 得（ 4k2222+1） x -8k x+4k -4=0依题意，直线l 与轨迹 C 必相较于两点，设A（ x1，y1）， B

29、（ x2， y2），则 x1+x2=， x1x2=又 y1=k（ x1-1）， y2=k（ x2-1）所以 k1+k2=综上可得， k1+k2 为定值【解析】（1）求出直线 n 的方程，进而得到 M ，N 两点坐标，再根据椭圆的定义，即可得到点 P的轨迹 C 的方程线l 斜率是否存在讨论，当l斜率不存在时，能得到，当l 斜（2）分直率存在时联线和椭圆韦达定理得到则 x1+x2=，x1x2=， 立直方程，由第17 页，共 20页以及又 y（），（）所以=1=k x1-1 y2=k x 2-1k1+k2=本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于难题21.【答案

30、】 解：（ ）函数 f（ x）的定义域为（0， +），当 a=0 时，当 0 x1 时， f（ x） 0， f（ x）递增；当 x 1 时， f（ x） 0，f（x）递减；当 0 a 1 时，当 0 x1 时， f（ x） 0， f（ x）递增；当 1时， f（ x） 0， f（ x）递减；当 x时， f（ x） 0， f（ x）递增；当a=1 时， f（ x） 0恒成立， f（ x）在（ 0，+）递增；当a1 时，当时， f（ x） 0， f（ x）递增；当时， f（ x） 0， f（ x）递减；当 x 1 时， f（ x） 0，f（x）递增综上，当 a=0 时， f（ x）在（ 0， 1）

31、上递增，在（1， +）递减；当 0 a1 时，；当 a=1 时， f（ x）在（ 0，+）上递增；当 a 1 时，在；（ ）证明：当 a=-2 时，不等式化为，令，则，显然， g（ x）在（ 0， +）上递增，且 0，=2e2（ 1-） 0，第18 页，共 20页g（ x）在（ 0， +）上有唯一的零点 t，且 t（ 1， 2），当 x（ 0， t）时， g（ x） 0，g（ x）递减，当 x（ t， +）时， g（x） 0， g（x）递增由 g（ t）=0，得 2et=e （），g（ x） g（ t） =2et-e （ lnt- ）=e （）-e （ lnt - ）=e （）易知 y=在（ 1， 2）上递减， 0， （） 0，g（