双变量恒成立题型的思路探求2

1、为已知.比如，图象的开口向上，对称轴为Kx =，最大值为2max f 1 , f -1 /,最小值需分类讨论:或为f（当1时）等.这2双变量恒成立题型的思路探求陕西师范大学数学系（710062710062）罗增儒20122012年高考数学陕西卷文、 理科最后一题（第2121题）都有一问是“双变量恒成立题型” 我们将其整理为：例1 1 已知二次函数f x产 x bx ,c若对任意的x!，x 1-1,1，有它与下述竞赛题形式上有点类似（都是二次函数在闭区间上给出一个绝对值不等式，求 某个系数的取值），但内在的数学结构很不相同:例2 2已知f (x )=ax +bx2 +cx +d (a鼻0 )，当

2、0兰x兰1时，f(x 兰1.试求a的最大值.（20102010年高中数学联赛第 9 9题）本文的重点是探讨 “双变量恒成立题型”（例1 1）的解题思路（同时也会涉及 考试技术）, 分4 4步作讲解如下.1 1.弄清条件是什么，一共有几个，其数学含义如何？我们说条件有2 2个：（1 1）给出1-1,1 上的二次函数f x2 bx c .这时，二次函数的相关性质可以视些性质在尔后的解题中可能用到、也可能用不到，没关系，理解题意时都要进行广泛的收集与动员.（2 2）这个二次函数满足：对任意的x1,x 1-1,1】，有f（X1）-f（X2*4 这句话可以运算为（为2 -X22 ）+b（X1 -X2 $

3、 W4，但不便于继续操作，因此，对这句话的数学含义作I更便于操作的理解是本题求解的一个关键.我们说，其中一个等价解释是：f （捲）- f （x2 ）在丨_1,1 1上的最大值不超过4x严单,订f（%）f % * 4,（第一步转化）而f（xjf（X2 j在-1,1】上的最大值，等于f （x ）在一1,1】上的最大值减去f（x ）在1-1,11上的最小值，又有等价条件f X 一卩pf. X -4 .（第二步转化）-4，求b的取值范围.这时,差卩閃十xx只与b有关c会在求差运算中消去),实质上是b的函数，记为G b 二乂叩纤 x -xminif x，有 G b 乞4(第三步转化)”2b,当 b2时下

4、文会进一步揭示 G (b) =lb f丫1+凹当b兰2时ll 2 丿2 2 弄清结论是什么，一共有几个，其数学含义如何？题目的结论是一句话： 求b的取值范围.包含充分性与必要性两个方面, 个结论.(1) 必要性：满足条件的 b都在这个“范围”里；(2) 充分性：这个“范围”里的 b都满足条件.3 3 弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构.不妨理解为两前就出现这样一个数学结构：建立并求解b的不等式；也可以说，找出一个有上界 4 4的函数问题是，不等式 f(Xif(X2 兰4中有两个变量x1, x2在-1,1】上任意取值，如何处理“两个变量恒成立”构成了本题的难点和关键，也区别于

5、“一个变量恒成立”问题(如例2 2).我们认为至少有两个途径可以化解难点、抓住关键：(1 1) 一步到位，找“充要条件” 如上所说条件“任意的x1,x2 = 1-1,，有f(X1)-f(X2庐4 ”，等价于M二丁畠沖 x -xminj x -4问题转化为求maxjf x , mpif x , maxf x - mpj x，这是可操作的.由maxfx =max、f 1 , f -1 ；f+仁-门+卩-f(T|-1c b . minf 1 , f -1 ?f(1)+f(-1) |f(1)-f(-1条件间接提供b的不等式G b 1 时(1+c)-|b|,当 b 1 时当b兰1时2记 G b jmax

6、qf X1 - f X2 ，有G b 二xmaxf x -xmf x2b, 当b2时2 b ,当b2时=b 2|1+当b兰2时匕2丿这实际上是确定了函数 G b的表达式，然后便可由值域去确定自变量的范围显然有G(b )兰4台b兰2 f -1 - f 1，f -1 -f 4 , f )-f 匚2，I 2丿当b ： -2时当-2汕：0时当0乞b 2时，抛物线的对称轴位于区间1,1】外部，f(x)在1,1】上2为单调函数，最大、最小值在区间端点取到，有M = f (1)f (1)=2b A4，与题设矛盾.1，即b辽2时，抛物线的对称轴位于区间1-1,1内部，有-IU1 c b -Ic -一4丿1也M

7、二坦務十以心嗥叶。)Faxg1), f(Jf ；2 j=卫+引+|叮c 4 4丿=1+冋 4恒成立. 2丿综上得，b的取值范围为2,2 .解法2 2(必要性)因为对任意的 为公2乏-1,1】，有f (捲f(X2 j兰4，更有f (1 )-f (-1 j=2b 兰4 ,得b兰2 .(充分性)当b兰2时，有一兰1，知抛物线的对称轴位于区间-1,1】内部，对任意的2Xj,x21-1,11,有f b )vaxff1，f -f -2综上得，b的取值范围为-2,2 1.说明 1 1令 g(x )= f (x )c = x2+bx，由f(X1)fX 2)=9 x(1g x(2j ,可转而讨论g(x )，这就

8、更清楚表明 mif(xi )-f (x21 = mgx寸g(为)-g(x2 )是b的函数 G b .说明2 2 找出G b的表达式-4恒成立.114 I 2丿当b2 时可以揭示问题的深层结构，并使G(b)兰4二b兰2成为显然.(画出G(b)的图象也很显然)说明3 3下述一些解法，由于缺少充分性的步骤，均为考试的“会而不对、对而不全”.当 既有知识性错误，又有逻辑性错误.因为对任意的x1,x2 e 1-1,1，有f(X1)f(X24，更有-4 1 b 4 ,b =|f (1 )f (0)1 勻 f (1)f (0 j + 1 乞4+1 = 5,在 | -1,1 上取值 o，及 t -1)U(0,

9、1，有f 0 =c,2f t = t bt c,消去c，可解得兰彳+t，对任意的 1)U(0,1恒成立.4但函数y t ( 0 :：t -1 )在t =1时取到最小值，故得tl4min中5.相减有得即b xi - x2-所以，b的取值范围为1-5,5 .误解4 4对任意的xi,x21-1,11,有2bxi = f xi - f -为，2bx2 = f x2 - f _x2 h2b Xi - X2 = f xi - f x2 - f _xi - f _ x2 Jf 人 一 f x2 f -xi - f -X2Jf(Xi)f(x2”|f(Xi)f(X2)- 2空44 = 4，对任意Xi,x l-i

10、,i 1恒成立,22 b = max b( -x2 仁 4，x _x _r I百所以，b的取值范围为-2,2.联系地址陕西省 西安市长安南路i99i99号 陕西师范大学雁塔校区444444信箱 邮编7i00627i0062手机 i3609297766i3609297766E-mailE-mail zrluosnnuzrluosnnu . eduedu. cncn约稿函罗老师：您好！我是课程导报编辑赵冠军，也是您曾经的学生（陕西师范大学数 学系973973班）。20122012年全国高考已经结束，各地开始研究今年高考试题。课程导报教研周刊是一份服务于全国初高中教师的教研报纸。值此高 考结束，我教

11、研部打算在近期教研周刊上刊发一篇关于20122012年高考试题研究的文章。应各地老师要求，特向您约稿。稿件题目自拟。稿件主题：20122012年高考全国卷（或陕西卷）试题分析。稿件字数：35003500字左右。稿费标准：300300元/ /千字。交稿时间：初定6 6月2525日。未尽事宜，电话沟通。联系电话：1358178721713581787217编辑：赵冠军20122012年6 6月1111日北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。望长城内外，惟余莽莽；大河上 下，顿失滔滔。山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试 比高。须晴日，看红装素裹，分外妖娆。 江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。 惜秦皇汉武，略输

12、文采；唐宗宋 祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射 大雕。俱往矣，数风流人物，还看今朝。丿克出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂， 今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有

13、所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也； 亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。 先帝在时, 每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、 灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣， 愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉 屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于 败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，