第4章第1,2节

1、第四章第四章 正弦稳态分析正弦稳态分析4-1 4-1 正弦量及其描述正弦量及其描述4-2 4-2 正弦电路中的电阻、电感和电容正弦电路中的电阻、电感和电容4-3 4-3 电路定律的相量形式电路定律的相量形式 复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳4-4 4-4 正弦稳态功率正弦稳态功率4-5 4-5 正弦稳态电路分析正弦稳态电路分析4-6 4-6 最大功率传输最大功率传输4-7 4-7 串联谐振电路串联谐振电路4-8 4-8 并联谐振电路并联谐振电路4-9 4-9 三相电路三相电路在这一章中，将研究线性电路在在这一章中，将研究线性电路在正弦信号正弦信号激励下的激励下的稳态响稳态响应应问题，即正弦稳态分析

2、问题，即正弦稳态分析在通讯、无线电技术以及电力系统，正弦电压、电流是在通讯、无线电技术以及电力系统，正弦电压、电流是最基本、最常见的，原因如下：最基本、最常见的，原因如下：（）正弦波形是周期波形中最简单、最平滑的波形。（）正弦波形是周期波形中最简单、最平滑的波形。（）正弦函数经积分及微分运算或几个同频率的正弦（）正弦函数经积分及微分运算或几个同频率的正弦函数相加、减，其结果仍是同频率的正弦函数。函数相加、减，其结果仍是同频率的正弦函数。（）正弦函数是最基本的信号。（）正弦函数是最基本的信号。根据傅立叶分析法，非正弦周期信号可分解成一系列频率根据傅立叶分析法，非正弦周期信号可分解成一系列频率成整

3、倍数的正弦信号的叠加。利用线性电路的叠加特性，成整倍数的正弦信号的叠加。利用线性电路的叠加特性，可将正弦稳态分析法推广到非正弦周期信号激励的线性电可将正弦稳态分析法推广到非正弦周期信号激励的线性电路。路。4-1 4-1 正弦量及其描述正弦量及其描述正弦量正弦量随时间按正弦或余弦规律变化的电随时间按正弦或余弦规律变化的电量，如电流，电压等。量，如电流，电压等。正弦稳态电路正弦稳态电路激励为某一频率的正弦量，激励为某一频率的正弦量， 时间时间t = =时的电路。时的电路。 此时，电路已工作在稳定状态下，且电路的响应此时，电路已工作在稳定状态下，且电路的响应 均是与激励同频率的正弦量，因此称为正弦稳

4、态均是与激励同频率的正弦量，因此称为正弦稳态 电路。电路。一正弦量的时域表示一正弦量的时域表示 正弦电流：正弦电流： )cos()( mitIti正弦电压：正弦电压： )cos()( mutUtut 2i(t)Im0 2 1波形表示波形表示2函数表示函数表示3正弦量的三要素：正弦量的三要素：)cos()( mitIti其中，其中，Im 振幅（最大值）振幅（最大值） ； 角频率角频率（rad/s）； i 初相角（初相位），初相角（初相位）， 它是正弦量在它是正弦量在t =0时刻的相角（相位）。时刻的相角（相位）。相角（位）相角（位）Tf22 Tf1 4周期周期T 、频率频率f 和角频率和角频率t

5、 2i(t)Imi0 2 小常识：小常识：* * 电网频率：电网频率： 中国中国 50 HzHz 美国美国 、日本、日本 60 HzHz初相初相i为坐标原点两边正弦量取得最大值时，对应为坐标原点两边正弦量取得最大值时，对应横轴坐标与原点之间的最短距离，规定横轴坐标与原点之间的最短距离，规定 |i| 。 O ti O ti i O ti i 5初相初相(角角)与相位差与相位差)cos()( mitItit 2i(t)Imi0 2 - -iuiuuitt ) () ( umimtUutIi cos cos相位差相位差 ：两个同频率正弦量间的相位之差，两个同频率正弦量间的相位之差，等于等于它们的初相

6、之差它们的初相之差( (与与t t无关的常数无关的常数) )。 i u ui t若若 ，则称，则称 u 超前于超前于i一个相角一个相角 ，即，即 u 比比 i 先达到最大值。如图先达到最大值。如图(b)所示。所示。0 ui ui iu（b） u i t0若若 ，则称电压、电流为同相。，则称电压、电流为同相。如图如图(a)所示。所示。0 iuui 若若 ，则称，则称 u 滞后于滞后于i一个相角一个相角 ，即，即 u 比比 i 后达到最大值。后达到最大值。0 ui ui i0 iu t（a） ui0u (d) u与与i 反相反相 ti0u(c) u与与i 正交正交 t计算不同频率的两个正弦量之间的

7、相位差无意义！计算不同频率的两个正弦量之间的相位差无意义！若若 , ,则称它们则称它们相位正交。如图相位正交。如图(c)所示所示: : 90ui 若若 , ,则称它们则称它们相位相反。如图相位相反。如图(d)(d)所所示示: 018ui iuiu例：例：指出下列几种情况下的指出下列几种情况下的相位差是否正确？相位差是否正确？ 1530-45 30 200100cos 45 10010cos .121 则则若若titi错误！应同频率！错误！应同频率！os2045314sin10221- t i ti . 则若若错误！应同错误！应同cos或或sin表示！表示！ 15153

8、015314sin1030314sin10.321- t u tu 则则若若错误！振幅前符号必须相同错误！振幅前符号必须相同6正弦量的最大值和有效值正弦量的最大值和有效值有效值：有效值：周期信号在一个周期内的方均根值。周期信号在一个周期内的方均根值。RiRI TdtiI02T1 有效值：有效值：若若一周期性一周期性电流电流i在一个周期在一个周期T内流过某电内流过某电阻阻R时所作的功，等于大小为时所作的功，等于大小为I的的直流电流直流电流流过同一电流过同一电阻阻R在相同时间内所作的功，则在相同时间内所作的功，则I就定义为就定义为i的有效值。的有效值。RIRdtiT202T1 TdtuU02T1R

9、TIRdtIRdtiTT20202 (2) 有效值与最大值的关系：有效值与最大值的关系：mm02m02m022m707. 024)22sin(2 2)22cos(1)(cos1 IIttTIdttTIdttITITiTiTi)cos()( mitIti )cos(2)( itIti 因此，正弦量也可写成如下形式：因此，正弦量也可写成如下形式：)cos(2)( utUtu (3)写法规定：写法规定： 瞬时值瞬时值小写字母表示，如小写字母表示，如i，u； 最大值最大值相应的大写字母加下标相应的大写字母加下标m表示，表示， 如如Im , , Um； 有效值有效值相应的大写字母表示，如相应的大写字母表

10、示，如I， U。 我国的照明用电的电压为我国的照明用电的电压为220V就是指交流电就是指交流电压的有效值，其最大值：压的有效值，其最大值： V3112202 mU交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值。交流表指示值、铭牌额定值通常指有效值。二正弦量的频域（相量）表示二正弦量的频域（相量）表示 研究在研究在频率频率域域如何表示一个正弦量。如何表示一个正弦量。正弦量表示方法：正弦量表示方法： 瞬时值表达式瞬时值表达式 正弦波形正弦波形 分析运算麻烦！分析运算麻烦！V)60cos(10V)30cos(5 21 tutu 例：已知电路中的两个分电压为：例：已知电路中的两个分电压为：求：总电压求：总电压u

11、=？V)60cos(10V)30cos(5 21 tutu 解：解： V)1 .50cos(5 .14 sin1 .50sincos1 .50cos5 .14 sin16.1133. 916.11cos16.1133. 933. 916.1133. 9 sin16.11cos33. 9 sin66. 8cos5sin5 . 2cos33. 4 )sin60sin60cos(cos10)sin30sincos305(cos )60cos(10)30cos(522222221 tttttttttttttttttuuu 用波形叠加的方法来求解用波形叠加的方法来求解u也同样麻烦！也同样麻烦！相量法相量

12、法用复数（相量）来表示正弦量的有效值用复数（相量）来表示正弦量的有效值 和初相位，使计算得到简化。和初相位，使计算得到简化。同时，正弦稳态电路具有以下特点：同时，正弦稳态电路具有以下特点： 激励和响应都是同频率的正弦量。激励和响应都是同频率的正弦量。因此，因此，只需考虑正弦量三要素中的两个要素：只需考虑正弦量三要素中的两个要素： 有效值（最大值）和初相位。有效值（最大值）和初相位。具体步骤：具体步骤：先将正弦量转化成用复数表示的相量，先将正弦量转化成用复数表示的相量， 然后进行复数运算，得到待求正弦量的然后进行复数运算，得到待求正弦量的 相量后，再将其转换为正弦量形式。相量后，再将其转换为正弦

13、量形式。用瞬时值表达式，正弦波形用瞬时值表达式，正弦波形分析运算麻烦！分析运算麻烦！1.复数（复习）复数（复习）1）代数形式（直角坐标形式）代数形式（直角坐标形式）jba A投投影影复复矢矢量量在在实实、虚虚轴轴上上的的均均为为实实数数的的虚虚部部的的实实部部,AIm,A:ARe,A: bbaa可将其在复平面上表示为：可将其在复平面上表示为： j1 abA二正弦量的频域（相量）表示二正弦量的频域（相量）表示 2）三角形式三角形式“复矢量复矢量”的长度的长度称为称为A的模（）；的模（）；|A|0|A| 复矢量与实轴的夹角复矢量与实轴的夹角 称为称为A的幅角的幅角的主值，的主值，一般幅角主值范围在

14、之间。一般幅角主值范围在之间。),( j1 ab|A| )sin(cos|A| sin|A|cos|A|A jjjba 与代数形式的关系：与代数形式的关系： sin|A|cos|A|ba abarctgba 22|A|或或3）指数形式指数形式利用欧拉公式：利用欧拉公式： sincosjej )sin(cos|A| A j 对对于于复复数数指指数数形形式式则则得得 |A| A: je4）极坐标形式极坐标形式 |A| |A|Aje指数形式简化记为：指数形式简化记为： 利用计算器可将复数的代数形式与极坐标利用计算器可将复数的代数形式与极坐标形式进行互换。形式进行互换。 |A| A4）复数的四则运算）

15、复数的四则运算相等相等两复数的实部和虚部分别相等两复数的实部和虚部分别相等加减加减平行四边形或三角形法则平行四边形或三角形法则 +1 o +j 1A2A21AAA 21AAA 2A- +1 o +j 1A2A21AAA 21AAA 2A-加、减法宜用代数形式：加、减法宜用代数形式： )()(AAA,A212121222111bbjaajbajba 乘除乘除乘除法宜用极坐标形式乘除法宜用极坐标形式 22221111AAAA |jba|jba214）复数的四则运算）复数的四则运算相等相等两复数的实部和虚步分别相等两复数的实部和虚步分别相等加减加减平行四边形或多边形法则平行四边形或多边形法则2121

16、21212121AAAAAAAA| 5) 5) 旋转因子和旋转矢量旋转因子和旋转矢量 旋转因子旋转因子t1t jetje -模为模为1 1，幅角，幅角 随时间随时间t增大而增大增大而增大t 此复数矢量在复平面上以角速度此复数矢量在复平面上以角速度 逆时针旋转，故逆时针旋转，故称之为旋转因子。称之为旋转因子。 tjAe -称为称为旋转矢量旋转矢量 |A|A 设设+1+1+j+j | |A| |At t jAe| |A| |常用的旋转因子有：常用的旋转因子有： jjej 2sin2cos2 212 jej j 901即：即： 可见：可见：j、- -j、- -1 1均可记为旋转因子。均可记为旋转因子

17、。11801 即：即：1 je二正弦量的频域（相量）表示二正弦量的频域（相量）表示 . .相量相量1) 用相量表示正弦量用相量表示正弦量 ) sin() cos( ) sin(2) cos(22) (imimiiijtjItItIjtIIet )cos(2)cos(iimt It Ii 设设2Re2Re ) (tjjtjeIeIeiii 1.1.复数（复习）复数（复习）ijIIeIi 正弦量正弦量i的的有效值相量有效值相量 |A| |A|Aje极坐标形式极坐标形式2Re tjeIi 2Re tjjeIeii 2Re tjjeIeii 正弦时间函数正弦时间函数复指数函数复指数函数)cos(2it

18、 Ii I而正弦量的有效值和初相则用一个复指数表示，而正弦量的有效值和初相则用一个复指数表示，我们把这个复数称为正弦量的相量，记为：我们把这个复数称为正弦量的相量，记为： 。I 与与i 之间是相互对应的关系，但不能认为两者相等。之间是相互对应的关系，但不能认为两者相等。I +1 2RetjeI +j O t O t1 t2 2ImtjeI t1 t2 t 图图 旋旋转转相相量量与与正正弦弦量量示示意意图图 一个初始相位为、 为角频率逆时针旋转的相量，在实数轴上的投影的长度将按照余弦函数规律变化，而在虚数轴上的投影的长度将按照正弦函数规律变化。 旋转相量与正弦量旋转相量与正弦量 )sin(2)c

19、os(222)(tIjtIIeeItjtj2Re)cos(2)(tjeItIti大写字母大写字母I上加小圆点上加小圆点是为了使之与是为了使之与有效值有效值I相区别，相区别，相量不同于一般的复数，是相量不同于一般的复数，是针对正弦电流针对正弦电流i或正弦电或正弦电压压u而言的复常数而言的复常数, ,反映其幅值和相位。反映其幅值和相位。2Re2Ret jt jjeUeUeuu imjmmIeIIi 正弦量正弦量i的的最大值相量最大值相量ijIIeIi ujUeUUu ，同样地练练1: 1: 已知已知试用相量表示试用相量表示 i、u 。)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .1

20、41oouti解：解：A30100o IV60220o U601 311 304 141 .U.Imm或或练练2:试写出电流和电压的瞬时值表达式。试写出电流和电压的瞬时值表达式。VU fImo6550, 50Hz A,1550 已知已知解：解：A A ) )1 15 5t tc co os s( (3 31 14 42 25 50 0i io o)V)V656550cos(314t50cos(314tu u二正弦量的频域（相量）表示二正弦量的频域（相量）表示 2) 相量图相量图 在复平面上表示相量的图在复平面上表示相量的图3) 用用相量法进行正弦量的加减和微分积分运算相量法进行正弦量的加减和微

21、分积分运算. .相量相量1) 用相量表示正弦量用相量表示正弦量相量法：相量法：先将正弦量转换为相应的相量，先将正弦量转换为相应的相量， 经复数运算，得到待求正弦量的相量后，经复数运算，得到待求正弦量的相量后， 最后再将其转换为正弦量。最后再将其转换为正弦量。ijIIeIi j 1 i II 222111cos2cos2 t Ii t Ii 设设21iii 求求：2Re2Re2211t jt jeIieIi i1和和i2可写成可写成)(2Re2Re2Re212121t jt jt jeII eIeIiii 可见：两同频率正弦量相加后仍为同频率的正弦量。可见：两同频率正弦量相加后仍为同频率的正弦量

22、。加减运算加减运算则则有有令令 ,eIi t j2Re )(2Re2Re21t jt jeIIeI )(2Re2121t jeIIiii 21III 213III 同理，若同理，若 则则213iii 微分、积分运算微分、积分运算 则则设设, t Ii i cos2)(2Re)2(Re)2Re()cos(2tjtjtjieIjeIdtd eIdtdt Idtddtdi 表明：表明：正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦 量，其相量为原正弦量的相量乘以量，其相量为原正弦量的相量乘以 。 j即：所得导数相量即：所得导数相量的模为原相量的的模为原相量的 倍，倍， 初相

23、超前于原相量初相超前于原相量90。 类似地，类似地， 的相量为：的相量为： idt 9011iIj 总结总结: 相量的性质和运算法则相量的性质和运算法则(1)同频率正弦量的和差运算就变成了对应相量的同频率正弦量的和差运算就变成了对应相量的和差运算和差运算(2)一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应一个正弦量对时间求导的运算，就变成了对应相量乘以相量乘以j的运算的运算(3)一个正弦量对时间积分的运算就变成了对应相一个正弦量对时间积分的运算就变成了对应相量除以量除以j的运算的运算21 UUU21uuu Ijdtdi Ijidt1 Ii Ii2U 超前于超前于1U1U2U超前超前 滞后滞后？ 22

24、2111sin2sin2 t Uu t Uu例例1：将将 u1、u2 用相量表示用相量表示相位：相位：幅度：幅度：相量大小相量大小12UU 12 设：设：012 相相位位差差+11U12U2+j例例2：已知：已知V)30314cos(25V)60314cos(21021 tutu解：解：V305 V,601021 uu4 .3318.11 16. 633. 9 )5 . 233. 4()66. 85( )sin(-30)5cos(-30)sin6010(cos60 305601021jjjjjuuu +1 o +j 1u 2u 21uuu 4 .3310518.11求：求：u=u1+u2=?)

25、33.4cos(314t211.18u4-2 4-2 正弦电路中的电阻、电感和电容正弦电路中的电阻、电感和电容一电阻元件一电阻元件三种基本元件伏安关系的相量形式三种基本元件伏安关系的相量形式 )(cos2)(cos2 uRiRRRtU tRI iRu 则则iR0 iuR t（a）电压、电流波形电压、电流波形 uRRIRURRI RU相量模型相量模型R Rm mR Rm mI IR RU U或或 i =uRURI（b）相量图）相量图 同同相相位位相相位位有有效效值值：RRRIURIU, :RRRi Ru时域模型时域模型关联参考方向关联参考方向 )t(IiiRR cos2给给电电阻阻通通入入一一个

26、个电电流流：iRuRiRRIUUII 二电感元件二电感元件dtdiLuLL L LuLi时域模型时域模型2 LIUiuLL )(cos2 )2(cos2uLiLLLtUtLIdtdiLu 90 LLLLiuLIU超超前前于于相相位位：有有效效值值： )t(IiiLL cos2给给电电感感通通入入一一个个电电流流： L LuLi时域模型时域模型iL0uL 电感电感uL与与iL 波形波形 t/2u i )2(cos2 iLLLtLIdtdiLu2 iLuLLiLLLIUU IILLILjU LiLI jI 2 )t(IiiLL cos22 LIU iuLL 90 LLLLiuLIU超超前前于于相相

27、位位：有有效效值值： LLILjU LLLLIjXULX , 则则单单位位：（感感抗抗）令令 jL LULI相量模型相量模型LILUi 向量图向量图 90 LLLLIULIU超超前前于于相相位位：模模： 特性：特性：通低频，阻高频通低频，阻高频成成正正比比与与 LX三电容元件三电容元件2 CUIuiCC 时域模型时域模型CiCuC+ + )cos(2 )2cos(2: iCuCcctItCUdtduCi 则则dtduCiCC 90 CCCCiuCUI滞滞后后于于相相位位：有有效效值值： 压压：给给电电容容两两端端加加上上一一个个电电)cos(2 ucCtUu iC0uC 电容电容uC与与iC 波形波形 t/2i u 90 CCCCiuCUI滞滞后后于于相相位位：有有效效值值： CiCuC+ + 时域