高中数学导数压轴题专题拔高训练(一)

1、高中数学导数压轴题专题拔高训练一.选择题(共16小题)1,已知函数f (x) =ax3+bx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与 x-3y=0垂直，又f (x)在区间m , m+1上单 调递增，则实数 m的取值范围是()a.mw 3b.m 用c.mv3 或 m0 d.mw 3 或 m可考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；两条直线垂直的判定.专题：计算题；压轴题.分析：求出f (x),根据切线与x-3y=0垂直得到切线的斜率为-3,得到f( - 1) =-3,把切点代入f (x)中得 至ij f ( - 1) =2,两者联立求出a和b的值，确定出f (x)的解析式，然后求出

2、 f (x)大于等于0时x的范 围为(-8, - 2或0, +8)即为f (x)的增区间根据f (x)在区间m, m+1上单调递增，得到关于 m的 不等式，即可求出 m的取值范围.解答： 解：f(x) =3ax2+2bx,因为函数过(-1,2),且切线与x - 3y=0垂直得到切线的斜率为- 3,得至1j： f ( - 1 -2li) =-3,则 f (x) =x3+3x2f(x) =3x2+6x=3x (x+2)用解得：x0 或 xw- 2,即 x%或 xw- 2 时，f (x)为增函数；所以m , m+1 ? ( - 8, 2或m , m+1 ? 0, +0)即 m+1 1 时，g (x)

3、 0；当 0vxv 1 时，g (x) 0且a力)在第二象限的部分都在不等式( x+y - 1) (x-y+1) 0表不 的平面区域内，则 a的取值范围是()b.a .10 v a5- e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二元一次不等式(组)与平面区域.专题：计算题；压轴题.分析：先画出不等式(x+y-1) (x-y+1) 0表示的平面区域，然后根据曲线y=ax (a 0且a力)在第二象限的部分都在不等式(x+y - 1) (x - y+1 ) 0表示的平面区域内， 则考虑零界位置，直线x- y+1=0与曲线y=ax 相切与点(0, 1)是零界位置，求出此时 a的值，从而得到结论.解答：

4、解：回出不等式(x+y - 1) (x-y+1) 0表布的平面区域飞%曲线y=ax (a0且a力)在第二象限的部分都在不等式( x+y-1) (x-y+1) 0表示的平面区域内 ，a 1,直线x-y+1=0与曲线y=ax相切与点(0, 1)是零界位置而(ax) =axlna,贝u lna=1 即 a=e- 1 a通故选c.点评：本题主要考查了二元一次不等式(组)与平面区域，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题.y=f (x)的导数，若方程f(x) =0有实任何一个三次函数都有拐点；任何一个解答问题：若函数 g (x) jx3-x2+3x324.对于三次函数 f (x) =ax3+bx

5、2+cx+d (a加)，定义：设f (x)是函数数解xq,则称点(xc, f (x。)为函数y=f (x)的拐点”.有同学发现：三次函数都有对称中心；且 拐点就是对称中心.”请你将这一发现为条件,+贝u 号(-)(-j +百(-)+ (-) + +. ()的值是(1220112011& 2011 s 2011* 20111a . 2010b. 2011c. 2012d. 2013考点：实际问题中导数的意义.专题：综合题；压轴题；新定义.构造h (x) =x3 5x2+3x 后，m (x) = -、,贝u g (x) =h (x) +m (x),分别求得对称中心，禾u用o乙jl /y 一2(x)

6、 +g (1-x) =h (x) +h (1-x) +m (x) +m (1 - x) =2,可得结论.解答:解：由题意，令 h (x) =1x3-,x2+3x-2，m (x)贝u h (x) =x2- x+3, ，h (x) =2x - 1,令 h (x) =0,可得 x=l忸h (工)=1,即h (x)的对称中心为(，1),221- h (x) +h (1 - x) =2- m (x) = 的对称中心为r -zo) m (x) +m (1 x) =0g (x) =h (x) +m (x)1- g (x) +g (1x) =h (x) +h (1x) +m (x) +m(1 x) =2= =

7、)(l) +9一)4-g ()+十冬(21l) =2010$ 2011 苍 2011% 2011 s 2011& 2011故选a.点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档 题.5.若函数 f (x) = (a- 3) x - ax3 在区间-1,1上的最小值等于-3,则实数a的取值范围是()a . ( 2, +)d. ( - 2, 12考点：导数在最大值、最小值问题中的应用.专题：计算题；压轴题；分类讨论.分析：由函数f (x) = (a- 3) x - ax3在区间-1, 1上的最小值等于-3,由函数解析式先求其导函数，进而可判 断函

8、数在区间-1, 1上的单调性，从而可求函数的最小值，即可解答： 解：由函数 f (x) =(a-3) x-ax3 求导函数为：f (x) =-3ax2+(a- 3),当a=0时，f (x) =-3x,此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f (1) =-3,符合题意,所以a=0符合题意； 当 a用时，f (x) =0,即 3ax2=a- 3(i)当 0va7 时，f (x) = - 3ax2+ (a-3)为开口向下的二次函数，且 4=122 (a-3)4，f (x)4恒 成立所以函数f (x)在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f (1) =-3,此时符合题意;(ii)当 a3

9、时，f (x) =0,即 3ax2=a- 3函数f (x)在-1,-但二当上单调递增，在一卜上杷二上单调递减，在v 3av 3a v 3&调递增,解得：a当-力匕殳-1且| v 3a vst即-时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f (1) =-3,符合题意.综上所述：当即 一浓 且(12时符合题意.故选b点评：此题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了学生在函数字母的不等式分类讨论思想及学生的计算能力.6.已知函数f二卷+之甚2+比什0的两个极值分别为f (xl), f(x2),若xl, x2分别在区间(0, 1)与(1, 2)内，则b-2a的取值范围是()a. (4

10、, 2)b. (8, 2) u (7, +8)c. (2, 7)d. ( 5, 2)考点：利用导数研究函数的极值.专题：计算题；压轴题.分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可.解答：-v3 1 今解：:函数f (工)二片+看2支亡，f (x) =x2+ax+2b=0 的两个根为 xi, x2,xi, x2分别在区间(0, 1)与(1, 2)内%0“ a+k+2qh2b+l0，f 0产(1) 0 得 x2,又因为 xq 2, 2因此f (x)在-2, 0上是增函数，在0, 2上是减函数，所以f (x)在区间-2, 2的最大值为f (

11、x) max=f (0) =a=3由以上分析可知函数的最小值在x= - 2或x=2处取到，又因为f (-2) =-37, f (2) =-5,因此函数的最小值为- 37.故应选d点评：本题考查了函数的导数的应用，以三次的多项式类型函数为模型进行考查，以同时考查函数的单调性为辅, 紧扣大纲要求，模型典型而又考查全面，虽是基础题，却是一个非常好的题目.8 .已知f(x)=x3- 3x+m,在区间0,2上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f (b), f(c)为边长的三角形,则m的取值范围是(c. m6a . m2考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.专题 分析:解答:

12、计算题；压轴题.三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，小值与最大值，从而可得不等式，即可求解.解：由 f(x) =3x2 - 3=3 (x+1) (x1) =0 得到 xi=l , x2= - 1 (舍去) .函数的定义域为0, 2 函数在(0, 1)上 f (x) v 0, (1, 2)上 f (x) 0, .函数f (x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1, 2)单调递增，贝u f (x) min=f (1) =m - 2, f (x) max=f (2) =m+2 , f (0) =m由题意知，f (1) =m-20 ；f (1) +f (1) f (2),即4

13、+2m2+m 由 得到m6为所求.故选c故只需求出函数在区间0, 2上的最点评:本题以函数为载体,考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间0, 2上的最小值与最大值9. (2011?开封二模)已知f (x) =ln (x2+1), g (x) = (j) x m,若？xi q。3?x2 qi,2,使得 f (x1)乃(x2),则实数m的取值范围是(-+ oo)c. rl 、%，+0)d.(-8,考点： 专题： 分析： 解答:利用导数求闭区间上函数的最值.计算题；压轴题.先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数的取值范围.解：因为 x1q0, 3时,f (x1

14、) x2q1, 2时，g (x2) qfmq0, ln4;7；-m.故只需0-m? m4故选a.点评:本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题.10.若不等式x2+2xy4(2x2+y2)对于一切正数a. 2b. v2 + 1x、y恒成立，则实数 a的最小值为()c. 3d. 12考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；基本不等式. 专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用.分析:不等式整理为（2a- 1）（逑）2-2?+a可对于一切正数x, y恒成立，换元，再分离参数，求出函数的最值,解答:即可求得结论.解：由题意可得：不等式 即不

15、等式（2a- 1） x2-x2+2xy4（2x2+y2）对于一切正数x, y恒成立, 2xy+ay2可对于一切正数x, y恒成立，即不等式（2a-1）（3）2-2?e+a可对于一切正数x, y恒成立,令t=三 则有t0,所以（2a-1） t2-2t+a再对于一切tc （0, +引 恒成立,f (t)=t e（o, +8）恒成立,-2 (t-1) (2h1)点评:.te（0, 1）时，f（t） 0,函数单调递增，te（1, +8）时，r （t） v 0,函数单调递减t=1时，函数取得最大值 1a *实数a的最小值为1故选d本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中

16、档题.4-b（2011?上饶二模）已知定义在 1, +8）上的函数f（k）当 xq2n! 2n (ncn*)时, a .函数f （x）的图象与x轴围成的图形面积为 s,则s=（b. 2c.d. 4考点：定积分在求面积中的应用；函数的图象与图象变化；函数的周期性. 专题：压轴题；数形结合.分析:解答:本选项题利用特殊值法解决.取n=1,由题意可知当xq1, 2时,一个三角形，然后根据三角形的面积的运算公式进行求解即可.解：令 n=1 得，2n 1, 2n=1 ,2,当 xq1 , 2时，函数f （x）的图象与x轴围成的图形是函数f (x)的图象与x轴围成的图形是一个三角形，如图所示,其面积为:s

17、= m4=2,2/i y= 4 - 3点评:本题考查函数的图象与图象变化、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.12.设函数f (q二1口工，g (x) =ax+-,它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x1时，f (x)与g(x)的大小关系是()a . f (x) g (x)b . f (x) v g (x)c. f (x) =g (x)d. f (x) g (x)与 g (x)的大小不确定考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；对数函数的图像与性质.专题 分析:计算题；压轴题.f (x)与x轴的交点(1, 0)在g (x)上，所以a+b

18、=0,在此点有公切线，即此点导数相等，可求出 a与b解答:的值，令h (x) =f (x) - g (x),然后利用导数研究该函数在(1 解：f (x)与x轴的交点(1, 0)在g (x)上，所以a+b=0,在此点有公切线，即此点导数相等，+ 8)上的单调性，从而得到正确选项.gz (x) =a- x以上两式在x=1时相等，即1=a- b,又因为a+b=0,所以 a=一 b= -l2即 g (x)=-2 2工=lnx ,定义域x|x 0,令 h (x) =f (x) - g (x)=lnx 对x求导，得h ( x) =ikx 1h (x)41- h (x)在(1, +2)单调递减，即 h (x

19、) v 0 . f (x) v g (x)故选b.点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的基本性质，同时考查分析问题的能力，属 于中档题.,、sinvsinxisinx213.若函数f(k)二三叵，且0vx1vx21,设君=,b=，则a, b的大小关系是()rk x?b. a bd. b的大小关系不能确定考点：利用导数研究函数的单调性.专题：综合题；压轴题.分析：求出函数的导函数，根据 x的范围和正切函数的图象判断出导函数的正负即可单调函数的单调性，利用函 数的单调性即可判断出 a与b的大小. 0vx4工时，xv tanx2f (x) f (x2)即 ab故选a点评：此题

20、考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调性，会根据函数的单调性由自变量的大小判断出其对应 的函数值的大小，是一道中档题.14.已知函数f (x) =x2+mx+lnx是单调递增函数，则 m的取值范围是()a . m - 2血b . m9 2、回c. m 2巧d . m2/2考点：利用导数研究函数的单调性.专题：计算题；压轴题.分析： 先求出导函数，然后将函数f (x) =x2+mx+lnx是单调递增函数，转化成f(x)用在(0, +8)上恒成立,然后将m分离出来，利用基本不等式求出另一侧的最值，即可求出所求.解答： 解：f (x) =x2+mx+lnx f (x) =2x+m+ x函数f (x

21、) =x2+mx+lnx是单调递增函数，f (x) =2x+m+ 0 在(0, +0)上恒成立即-m2x+1在(0, +00)上恒成立而 xc (0, +8)时 2x+-：22v2，-m 2故选b.点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题，同时考查了转化的数学思想，属于中档题.一乂)在-2, 一上的值域为()dhmc. 22一亨315.已知奇函数f (x)在x0时，f (k)=尺3 一考点： 专题： 分析：a -|, 0b利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数奇偶性的性质.计算题；压轴题.利用导数先求函数f (x)在x可1, 2时的单调性，然后根据单调性可求函数在2上

22、的最值，根据奇函解答:数的对称性可求函数在 -2, -上的值域解：当x e琅，2时，f (冥)二1j - k，- f (x) =x2 - 1当xq1 , 2时，f (x)我f (x)在1 , 2单调递增；当x 二一1时,f (x)磷，f (x)在焉，1 上单调递减当x=1时，函数有最小值f (1) = ,而 f(4)v f =.函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称f(x)在- 2, - 上的值域为-,芭 j j故选c点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，奇函数的对称性的应用是求解本题的关键.0虫 g (x)有解，若存在，求出 k的范围；若不存在，说明理由.考点：导数

23、在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法.专题：计算题；综合题；压轴题；换元法.分析：(1)把2x、x+2代入f(x)=2x中，即可求得g (x)的解析式，利用复合函数定义域的求法可得 j(0i+2 g(x)有解，即k2f(x)+g (x)有解，构造函数 f(x)=2f(x) +g (x) = (2x) 2-2?2x, (0今得)，利用换元法，转化为二次函数在定区间上的最值问题，即可求得结果.解答： 解：(1) g (x) =f (2x) - f (x+2) =22x2x+2= (2x) 24?2x,其定义域须满足(萌3 ,解得0双4，l 0x+23g (x) = (2x) 2

24、_ 4?2x,函数g (x)的定义域为0,1;(2) . g (x) = (2x) 2-4?2x (0今局)，令 t=2x,. 0a司，iq g (x)有解，即k2f (x) +g (x)有解，令 f (x) =2f (x) +g (x) = (2x) 2-2?2x, (0虫4),令 t=2x,. 0 a司，14 - 1.点评：本题只要考查代入法求函数的解析式和复合函数的定义域，以及利用换元法求函数的最值问题，体现了换 元的数学方法和转化的数学思想，特别注意新变量的取值范围，同时也考查了二次函数在定区间上的最值 问题，属中档题.18.已知函数f (x)es-l (x0)工 * (ku)j1(i

25、 )讨论函数f (x)的极值情况；(n )设 g (x) =ln (x+1 ),当 x1x2 0 时，试比较 f (x1 - x2)与 g ( x1 - x2)及 g (x1)- g (x2)三者的大小;并说明理由.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想；综合法.分析：(i )对函数的解析式进行研究，当 x0时，函数是增函数，且函数值为正，故极值只可能存在于x0, m0 时，f (x) =ex-1 在(0, +8)单调递增，且 f (x) 0; 当 x4时，f (x) =x2+2mx .(i )若 m=0, f (x) =x2

26、用，f (x) =trx3在(-, 0上单调递增，且 f (x)弓x3电 jjx3+mx2在(一,0)单调递增,又f (0) =0, f (x)在r上是增函数，无极植；(ii )若 m0,贝u f (x)同可知f (x)在r上也是增函数，无极值；(4分)(iii)若 m0, f (x)在(- oo,一 2m上单调递增，在(-2m, 0)单调递减，又f (x)在(0, +8)上递增，故f (x)有极小值f (0) =0, f (x)有极大值f (- 2m)建m3. (6分)1_(n )当x0时，先比较ex - 1与ln (x+1 )的大小，设 h (x) =ex - 1 - in (x+1) (

27、x0)h，( x) =ex - 1- o恒成立h (x)在(0, +8)是增函数，h (x) h (0) =0ex - 1 - in (x+1) 0 即 ex - 1 in (x+1)也就是f (x) g (x),对任意x0成立.故当 x1-x2 0 时，f (x1-x2) g (x1-x2) (10 分)再比较 g (x1 一 x2)=ln (x1x2+1)与 g (x1) g (x2)=ln (x1+1) in (x2+1)的大小.g (x1 x2) g (x1) - g (x2) =ln (x1 x2+1) in (x1+1) +ln (x2+1) =ln0=ln1 +- g (x1 -

28、 x2) g (x1)- g (x2)，f (x1 x2) g (x1 x2) g (x1) g (x2). ( 12 分)点评：本题考查利用导数研究函数的极值，求解的关键在第一小题中是根据导数的解析式对参数进行分类，在第 二小题中通过观察灵活选择比较大小的方法是解本题的关键，很重要，前两者的比较选用了函数法，后两 者的比较选用了作差法，根据不同情况作出不同选择，体现了数学解题的灵活性.本题考查了观察能力及 灵活转化的能力以及分类讨论的思想，较难！19.已知函数求函数函数ff (x)的单调区间；(x)在区间1, 2上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由;(出)若任意的x1 , x2

29、( 1 , 2)且x1次2,证明：if (工今)一 f (j |-.(注:ln20.693)考点： 专题： 分析：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值. 压轴题.(i )先求导函数，根据1a0；在区间(2，2)上f(x) v 0,由此可得f (x)的单调递增区间与单调递减区间;(n)确定f (x)在xq1, 2的最大值，即可判断不存在符合条件的(出)证明一：当工曰1时，f2只需证明一4, f上单调递增，在a,使得 f (x) =0;2 a上单调递减,-f 都成立，即可得证命题成立;证明二：当工时，p (冥)=ax+- - c2a+1)2x,xc (1,

30、 2) f (x)在(l12)上单调递减,在,2)上单调递增，确定00). il_0). (2 分)在区间（0,1）和（2a+）上，f（x）0；在区间（1，2）a上 f (x) v 0,故f （x）的单调递增区间是(n)先求 f (x)在 xqi（0,争2的最大值.和（2, +）,单调递减区间是(工 2) .(4分)a由（i ）可知，当工时,2f (x)在1, 1上单调递增，在1, 2上单调递减，故f一小二-2-看21帕.(6分)由日可知1口41口士1二1,所以2lna2,所以2lnav2,所以，-2-2lnav0,所以f故不存在符合条件的 a,使得e(x) maxv 0 ,f (x) =0.

31、 (8 分)（出）证明一：当上色1时，f 2只需证明 （!） -f（o 1, a2(x)在1, i a上单调递增，在上单调递减,- 且都成立，即可得证命题成立.（10分）2f中 _弯一看1小设s（公二笄- 1 - 21na(3a- 1) (a- 1)2a20,.g （a）在 1）上是减函数，* 0a2a2a2 a/h （a）在 弓，1）上是增函数，h （匕）h 二4一 21缶一 1口4号综上述命题成立.（12分）证明二：当工30,f（2）=0,f （护）=-2a+2v-l=-2 （孤-斗） /q，or（d f （x）在（0, +8）上恒成立.（i ）求证：函数g（）=f （x）在（0, +oo

32、）上是增函数； 当 xl0, x20 时，证明：f （x1） +f（x2） vf（x1+x2）;（n ）已知不等式ln（x+1） v x在x- 1且x为时恒成立，求证：袅口岛与一卡）二1）出2）（代w） 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系.专题：压轴题.分析：（i） 先利用导数的四则运算，求函数 g（x）的导函数，结合已知证明导函数g（x） 0在（0, +8）上恒成立，即可证明其在（0, +8）上是增函数；利用的结论，且x10, x20时，x1+x2x1,且x1+x2x2,从中解出f（x1）、f（x2）即可证得结论；（ii）构造一个符合条件的函数f （x） =xl

33、nx ,利用（i）的结论，得x1inx1+x21nx2+txnlnxnv(x1+x2+txn) 1n (x1+x2+-+xn)（n或），令一-一号,再将（nh） 2$的二-+工7+x=当+a+h-放缩，即可证得所证不等式n 12 n 2之 3，（n+1） 2解答:,xf （x） f （x）,，g （x） 0在（0, +8）上恒成立，f （y）从而有 书（k）=在（0, +00）上是增函数. 由知g （工）=在（0, +8）上是增函数，当 x1 0, x20时，有于是有：e ( x ) y-f， f t xn) /-f(盯 + x7)，两式相加得：f(x1)+f (x2)0, x20)恒成立由数

34、学归纳法可知：xi0 (i=1 , 2, 3,，n)时，有：f(x1)+f(x2)+f(x3)+f (xn) vf (x1+x2+x3+xn)(n注)恒成立设 f (x) =x1nx ,则,贝u xio (i=1 , 2, 3,，n)时，x11nx 1+x21nx2+- +xn1nxnv (x1+x2+- +xn) 1n (x1+x2+- +xn) (n注)(*)恒成立(n+1) 21n+1(xl+x2+xn) -总(x1+x2+ +xn) ln ( x1+x2+txn) ( x1+x2+ +xn) ln (1一一)一n+1 -)=：n .( *)n+22 (n+1) trrl-2)将(*)代

35、入(*)中，可知：-(41n22+-ln32+ln?+-l(n+1) 2)223?42(n+1) 2.it百k于是舞2%inf号ln4。i: 21n 皿,乙(廿1)” (n+2 蕨心点评：本题综合考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性证明不等式，以及利用函数性质构造数列证明数列不等式的方法，难度较大21.已知函数 f (x) =mln (x-1) + (m-1) x, mcr 是常数.(1)若 忌，求函数f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)存在最大值，求 m的取值范围；(3)右对函数 f(x)定义域内任意 x1、x2(x1次2), (丁工)恒成立，求 m的取值

36、范围.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性. 专题：综合题；压轴题.分析：(1)0和f/(x)即可求出函数的单调区间.m的取值范围.根据函数的增减区间确定函数的最大值，从而解出ml a (勺-1) 4 ml n ( k2 - 1)-mln ( g-1),利用基本不等式得出x j+ k 2( k j - 1) + (町 - i)再利用对数函数的性质，得出所以1n (工i j、i) 1 bj(篁2 - 1)，从而 mn需小于0即可.解答：解：(1) 制时,f (x)的定义域为(1+) , 1 1 分)f(k)=jin (k - 1)-11_ 1_ 2 - k2(k- 1

37、) - 2=2 ck- 1)(2分)解 f ( x) =0 得 x=2 .当 xc (1, 2)时，f (x) 0,即 f当 xc (2, +8)时，(x) v 0,即(x)在(1, 2)单调递增(3分)；f (x)在(2, +8)单调递减(4分).(3)若mm,则f (x) 0, f (x)单调递增，不存在最大值 (5分)若m0,则f (x) 0, f (x)单调递减，不存在最大值 (6分)若 0v m0, f(x)单调递增，1 - m当 (3, +8)时，f (x) v 0, f (x)单调递减 (8 分)1 - ic1所以f (x)在m的取值范围为(0, 1)分)(3)由ml a ( x

38、1 - 1) +mln (工厂 1)1 i + hinln (2- d (10 分)， 依题意xi - 1 0, x2- 1 0且x1 t次2- 1 ,所以xi + kn ( k i - 1) + c xn - 1),2 -1=-1(11 分)3f - -r 梵，l、y=lnx 是增函数，所以 in ( 1 *-1)j1)(篁.-1)(12 分)=-jln(町-1)(工2-1)二,1口 (黑-1) +ln (町-1)(13 分), 所求m的取值范围为(-8, 0)(14分).点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性 的方法及推理和运算能

39、力.9 222.已知函数 f (k) -lnx,目(x)二一t-，设 f (x) =f (x) +g (x).(1)求f (x)的单调区间；(2)若以h (玲二f (工)+国心厂,图象上任意一点 p(x0, y0)为切点的切线的斜率 k司恒成立，求实数a 的最小值；(3)是否存在实数 m,使得函数p (工)二名4旦)十口-1的图象与q (x) =f (1+x2)的图象恰好有四个不同 1 一十1的交点？若存在，求出 m的取值范围，若不存在，说明理由.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性.专题：综合题；压轴题；转化思想.分析：(1)先由f(x)和g(x)

40、构造得到f (x)的解析式，利用导数大于0得增区间，小于0得减区间.(2)切线的斜率k司恒成立即导数小于等于 1恒成立，从而建立起 a与x的关系式，利用恒成立求得a.(3) p (x)与q (x)的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，分离出 m后，转化成新函数 的最大值和最小值.解答：2解.(1) f(k)=f (n)+g (工)=1口工+蚩(q。)r二二与一： coo)a0,由 f (x) 0?xc (2a, +8),由 f (x) v 0? xc (0, 2a). f (x)的单调递减区间为(0, 2a),单调递增区间为(2a, +8)(2)h (x)=f (工)(x) =lnx

41、+,h 960),则/+工,又y, + k4三故2已), 4q k所以实数a的最小值为.8(3)若 p(k,二g(j 4 口 ) +m-1二)乂工+加 - 4 的图象 v /+122与q (x) =f (1+x2) =ln (x2+i)的图象恰有四个不同交点，即工j+n-工1口( j+1)有四个不同的根，亦即m=ln ( j+1) -行有四个不同的根. iuim令 g (q =ln j+1)- j j/;,当x变化时g (x). g (x)的变化情况如下表:xc-oo, -1)1-l 0)(0,1(1, +8 )口侬的符号+一g的单调性由表格知：g (二g (1)二g ( 1)二1口20. 2

42、又因为g =g (-2) =1 口5 2吗卷可知，当me 1刍1门2)时，方程m=l口( j+1) -,有四个不同的解.当 ine(2, ln2) e寸j y=s (雪一)十m 1=3r支/皿 一、的图象与21由2 士 2y=f (1+x2) =ln (x2+l)的图象恰有四个不同的交点.点评:本题是个难题，主要考查了导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题.注意函数的定义域，分离参数在解决恒成立问题中的应用.23.已知函数 f (x) =x2alnx, xc (1, 2),(1)判断函数f (x)的单调性;(2)若f (x)在(1, 2)为增函数，sr - 在(0, 1)上为减函数.求证：方程f (x) =g (x) +2在(0, +8)内有唯一解；(3)当b - 1时，若f (式)- 一在x(。，1)内恒成立，求实数 b的取值范围.考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性.专题：计算题；证明题；综合题；压轴题.分析：(1)由f (x)的解析式求出f (x)的导函数，分 a夜和am以及2vav8三种情况，分别令导函数大于 0列出关于x的不等式，求出不等式