高中数学422圆与圆的位置关系练习新人教A版必修2

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.【成才之路】 高中数学 新人教a版必修2基础巩固一、选择题1 .圆 c: x2+y2+4x4y+7 = 0 和圆 c2: x2+y24x10y + 13= 0 的公切线有()a. 1条b. 3条c. 4条d.以上均错答案b分析先判断出两圆的位置关系，然后根据位置关系确定公切线条数.解析. (2,2) , r=1, g(2,5) ,2=4,. | cq| =5= ri+2, .两圆相外切，因此公切线有3条，因此选b.(t规律总结：如何判断两圆公切线的条数首先判断两圆的位置关系，然后判断公切线的条数：(1)两圆相离，有四条公切线；(2)

2、两圆外切，有三条公切线，其中一条是内公切线，两条是外公切线；(3)两圆相交，有两条外公切线，没有内公切线；(4)两圆内切，有一条公切线；(5)两圆内含，没有公切线.2 .已知圆c: (x+1)2+(y3)2=25,圆。与圆c关于点(2,1)对称，则圆。的方程是 ()a.(x-3)2+(y 5)2=25b.(x5) 2+(y + 1) 2=25c.(x-1)2+(y 4)2=25d.(x3) 2+( y + 2) 2=25答案b解析 设。g上任一点p(x, y),它关于(2,1)的对称点(4 -x, 2-y)在上，(x -5) 2+(y+1)2=25.3 .若圆(xa)2+(yb)2=b2+1

3、始终平分圆(x+1) 2+(y+1)2=4 的周长，则 a、b 应 满足的关系式是()a. a22a2b3= 0b. a2+2a+2b+5=0c. a2+2b2+2a+2b+ 1 = 0d. 3a2+2b2+2a+2b+1 = 0答案b解析利用公共弦始终经过圆(x+1)2+(y+1)2=4的圆心即可求得.两圆的公共弦 所在直线方程为：(2a+2)x+(2b+2)y-a2-1= 0,它过圆心(一1, 1),代入得a2+ 2a + 2b+ 5=0.4.两圆x2+y2=16与(x 4)2+(y+3)2= r2( r0)在交点处的切线互相垂直，则()b. 4a. 5c. 3d. 2 2答案c 2222

4、22解析 设一个交点 p(x0, yo),则 x0+y0=16, (xo-4) +(yo+ 3) = r , . . r =41 8x0+ 6y% 两切线互相垂直，yoxoyo + 3xo 41, 3yo 4xo= 16.r2=41 + 2(3 yo-4xo) =9,，r=3.5.已知两圆相交于两点a(1,3) , b(m 1),两圆圆心都在直线 xy+c=0上，则m十 c的值是()a. - 1b. 2c. 3d. 0答案c-t _i _、，一 r , ,、，一 .一 4解析 两点a b关于直线x-y+ c= 0对称，kab=-=-1.mr-11. mi= 5,线段ab的中点(3,1)在直线x

5、 y + c=0上，c= 2,c= 3.6 .半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x3)2+y2= 1内切，则此圆的方程为()a. (x 6)2+(y 4)2=6b. (x 6) 2+(y 4) 2= 6c. (x- 6)2+(y 4)2=36d. (x 6)2+(y4) 2= 36答案d解析半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a, b),则a=6,再由 正+ 32 = 5可以解得b=4,故所求圆的方程为(x6)2+(y4) 2=36.二、填空题7 .若点a(a, b)在圆x2+y2=4上，则圆(x a)2+y2=1与圆x2+(y- b)2=1的位置关玄旦不 th.答案外切解析,一点a(a,

6、 b)在圆x2+y2=4上，a2 + b2 = 4.又圆 x2+(yb)2=1 的圆心 c(0, b),半径=1, 圆(x a)2+y2=1 的圆心 g(a,0),半径2=1,则 d = | gc2| = y1a + b? = 4= 2, d= ri +2.，两圆外切.8 .与直线x+y 2=0和圆x2+y212x12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.答案(x2)2+(y2)2=2解析已知圆的标准方程为(x 6) 2+ ( y 6)2 = 18,则过圆心(6,6)且与直线x+ y 2 =0垂直的方程为 xy=0.方程x y=0分别与直线x+y2 = 0和已知圆联立得交点坐标 分别为

7、(1,1)和(3,3)或(一3, 3).由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2),半径为 短，即圆的标准方程为(x2)2+(y2)2=2.三、解答题9 .求以圆 g： x2 + y212x 2y13=0 和圆 q: x2+y2+12x+16y 25= 0 的公共弦为 直径的圆c的方程.解析方法1:联立两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.4x+3y-2=0,再由 x2+y212x 2y13=0,联立得两圆交点坐标(一1,2) , (5, - 6).所求圆以公共弦为直径，圆心c是公共弦的中点(2, 2),半径为 62 2=5.圆 c的方程为(x2)2+(

8、y+2) 2=25.方法2：由方法1可知公共弦所在直线方程为4x+3y2=0.设所求圆的方程为 x2+y2-12x-2y- 13+ 入(x2+y2+12x+ 16y-25) = 0(人为参数).可求得圆心”216 入22 1+入） ,圆心c在公共弦所在直线上,.4 2=0,12 入12 c 16 入一2+ 3 2 1+入2 1+入解得x =2.，圆 c的方程为 x2+y2-4x + 4y- 17=0.10. (2015 江苏天一中学模拟)已知半径为5的动圆c的圆心在直线l : x-y+ 10=0上.(1)若动圆c过点(一5,0),求圆c的方程；(2)是否存在正实数r,使得动圆c满足与圆o： x

9、2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个?若存在，请求出r；若不存在，请说明理由.解析(1)依题意可设动圆 c的方程为(xa)2+(y b)2=25,其中(a, b)满足ab+ 10 = 0.又因为动圆c过点(一5,0), 故(5a)2+(0 -b)2=25.a-b+10=0, 解方程组25a +.20-b =25,a= 10,b= 0a= - 5, 或b= 5,故所求圆 c 的方程为（x+10）2+y2=25 或（x+5）2+（y5）2=25.(2)圆o的圆心(0,0)到直线l的距离d =|10|_1+ 1=5 2.当满足r +5vd时，动圆c中不存在与圆 o x2+y2= r2相切的圆；当满足

10、r + 5=d,即r = 542 5时，动圆c中有且仅有1个圆与圆 q x2+y2=r2相 外切；当r满足r + 5d,即5。2 5时，与圆q x2+ y2= r2相外切的圆有两个.综上，当= 5/一5时，动圆c中满足与圆q x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个.能力提升一、选择题1.已知 m是圆 c: (x1)2+y2=1 上的点，n是圆 c ： (x 4)2+(y 4)2= 82上的点， 则|mn的最小值为()a. 4b. 4啦1c. 2 22d. 2答案d解析| cc | = 5r- r = 7,，圆c内含于圆c,则|mn的最小值为r|cc | -r = 2.2.过圆x2+y2 = 4

11、外一点m(4 , - 1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()a. 4x y4=0b. 4x+y4=0c. 4x+ y+4=0d. 4x-y+4=0答案a解析以线段om为直径的圆的方程为 x2+y2-4x+ y=0,经过两切点的直线就是两 圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得 4x-y-4=0,这就是经过两切点的直线方程.3.若集合 a=( x, y)| x2+y&16| , b= ( x, y)| x2+(y-2) 2a-1,且 an b= b,则 a的取值范围是()d. a 5a. a5c. 1 a1时，集合 a和b分别代表圆x2 + y2=16和圆x2+ （y 2）2 =a1

12、上及内部的点，容易得出当b对应的圆的半径长小于等于2时符合题意.由 0a-14,得1aw5；当a=i时，集合b中只有一个元素（0,2）,满足b? a；当a1时,集合b为空集，也满足 b? a.综上可知，当a5时符合题意.4. （2015 湖南长沙模拟）若圆（xa）2 + （ya）2=4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a的取值范围是（）a.当,*b.c一挈一u尊乎d.答案cy 2 2一二二2 2a）,半径r = 2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆，这个圆的圆心是原点q半径r= 1,则这两个圆相交，圆心距 d =解析圆（x a）2+（ya）2=4 的圆心 qa,a2+ a2

13、=姆| a| ,贝u |r r|dr+ r 贝u 172|a|3 ,所以 喙 a|0）的公共弦长为 2 则a=.答案1解析两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y=1,圆心（0,0）到直线ya=；的距离 d=|；|,于是由（w23）|：|2=22,解得 a= 1.6 . （2015 江苏扬州月考）已知两点 m1，。），n（ 3,0）到直线的距离分别为1和3,则满足条件的直线的条数是答案3解析二.已知m1，。），n（3,0） ,，|mn=4,分别以 m n为圆心，1,3为半径作两 个圆，则两圆外切，故有三条公切线.即符合条件的直线有3条.三、解答题7 .已知圆a： x2+y2+2x+2y-

14、2=0,若圆b平分圆a的周长，且圆 b的圆心在直线i： y=2x上，求满足上述条件的半径最小的圆b的方程.解析解法一：考虑到圆b的圆心在直线i上移动，可先写出动圆b的方程，再设法建立圆b的半径r的目标函数.设圆b的半径为r. 圆b的圆心在直线l : y=2x上， 圆b的圆心可设为(t, 2t),则圆b的方程是(x t)2+(y 2t)2=r2, 即 x2+y2 2tx 4ty + 5t2r2= 0. 圆 a的方程是 x2+y2+2x+2y-2=0,.一，得两圆的公共弦方程为(2 +2t)x+(2 +4t)y5t2+ r2-2=0. 圆b平分圆a的周长，圆a的圆心(一1, 1)必在公共弦上, 得

15、 r2=5t2+6t +6=5(3)2+得丹.于是，将x= - 1, y = -1代入方程并整理,此时，圆b的方程是(x+5)2+(y+5)2=21.解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解.如图，设圆 a圆b的圆心分别为 a, b,则a( 1, 1), b在直 线 l : y = 2x 上，连接ab,过a作minl ab，且mn便圆于 m n两点.mm圆a的 直径. 圆b平分圆a .只需圆b经过m n两点.圆a的半径是2,设圆b的半径为r,.r=|mb = m ab 2+ |am2=| ab 2+4.欲求r的最小值，只需求| ab的最小值.a是定点，b是l上的动点，当 abl l

16、,即 min/ l 时，| ab 最小.于是，可求得直线 ab方程为1y+1 = -2(x+1),133621即y = 2x 2,与直线l ： y=2x联立可求得b(圆b的方程是(x+5)2+(y+5)2=25-.8.在平面直角坐标系xoy中，已知圆 g：(x+3)2+(y1)2=4和圆g： (x-4)2+ (y-5) 2=4(1)若直线l过点a(4,0),且被圆c截得的弦长为2寸3,求直线l的方程；(2)设p为平面上的点，满足：存在过点 p的无穷多对互相垂直的直线 11和12,它们分 别与圆ci和圆c2相交，且直线1i被圆ci截得的弦长与直线12被圆c2截得的弦长相等，试求 所有满足条件的点

17、 p的坐标.解析(1)由于直线x=4与圆g不相交，所以直线1的斜率存在，设直线1的方程|1 k 3 4 |为y=k(x 4),圆g的圆心 c(3,1)到直线1的距离为d = -；2l,1 + k因为直线1被圆c截得的弦长为2v3，4=(/)2+d2, .k(24k + 7)=0,即 k = 0 或 k= - 24,所以直线1的方程为y = 0或7x+24y28 = 0(2)设点p(a, b)满足条件，不妨设直线11的方程为v b=k(x-a), kw0,则直线12一、一1一. 一 的方程为y-b=-(x-a),因为c和g的半径相等，及直线 1 1被圆c截得的弦长与直线 k12被圆g截得的弦长相等，所以圆 c的圆心到