VAR模型与向量VECM模型

1、第7章 向量自回归模型(VAR与向量误差修正模型(VEC 7.1向量自回归模型(VAR(p)传统的经济计量学联立方程模型建摸方法，是以经济理论为基础来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论 含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是内生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有内生多个内生变量，当将某一内生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余内生变量，由于它们与扰动

2、项相关，从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型(Vector Autoregression Model)。VAR莫型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR莫型在经济计量学中的应用，VAR莫型不是以经济理论为基础描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为 基础，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相

3、 关关系的多变量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA模型、ARM模型，也可化为VAR莫型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。7.1.1 VAR 模型的一般形式1、非限制性VAR模型(高斯VAR模型)，或简化式非限制性 VARI型设yt(y1t y2t.ykt)为一 k维随机时间序列,时间序列，且有结构关系p为滞后阶数，Ut(u1t U2t.Ukt)为一 k维随机扰动的Y1t(1) a 1kykt 1a 11y1t 2(2)a 12y2t 2.(2)a 1k ykt 2a(P)ya(P)ya(p) ya11y1t pa12y2

4、t p.a1k ykt pU1t(1) (1)a 11 y1t 1 a 12y2t 1(2)a22 y2t 2(1) a 2k ykty1t 22k ykt 2(p)(P)a 21y2t p a 122t py2t(1) (1)a 21 y1t 1 a 22y2t 1a(2)(p)a2k ykt p U2tykt(1) (1)a k1y1t 1 a k2y2t 1kkykt 1a(2)k1 y1t 2a(2)12y2t 2a(2)1k ykta k1y1t p a k2y2t pa kkykt pUktt 1,2,.,T(7.1.1)若引入矩阵符号，记(i)(i)a 11 a 12a(i)a(

5、i)A2122(i).a 1 ka(i)2k-,i1,2,., pJi)J)a(i)a k1a k2.a kk可写成ytA yt 1A2yt 2.Apyt p Ut ,t 1,2,.,T(7. 1. 2)进一步，若引入滞后算子L,则又可表示成A(L)yt ut,t 1,2,.,T(7. 1.3)其中：A(L) lk AL AL2.ApLP,为滞后算子多项式.如果模型满足的条件： 参数阵Ap0, p 0； 特征方程detA(L) | Ik AL AL2 . ApLp |0的根全在单位园外； uiidN(0, )，t 1,2,.,T，即ut相互独立，同服从以E(uJ 0为期望向量、Cov(ut)E

6、(utut)结构性经济含义，也被称为冲击向量;为方差协方差阵的k维正态分布。这时，ut是k维白噪声向量序列，由于 ut没有Cov(utXt j)E(utXt j) 0, j 1,2,.，即 ut 与 xt 及各滞后期不相关。则称上述模型为非限制性 VARI型(高斯VAR模型)，或简化式非限制性VAR莫型。受d维外生的时间序列xt(x1t x2t.xdt)2、受限制性VAR莫型，或简化式受限制性 VAR莫型如果将y(丫牡y2t.ykt)做为一 k维内生的随机时间序列,影响(限制)，贝U VAR莫型为ytAyt 1A2yt 2Ap yt p Dxtut , t 1,2,，T(7 1. 4)或利用滞

7、后算子表示成A(L)ytDxtut, t 1,2,.,T(7. 1. 5)其中:d11 d12 . d1d d 21 d 22 . d 2ddk1 dk2 . dkd此时称该模型为受限制性VAR莫型，简化式受限制性VAR莫型。对于受限制性VAF模型，可通过yt (y1t 丫玄丫戏)对人 佃乂”心)作OLS归，得到残差估计% yt?，从而将 变换成(15.1.2 )或(15.1.3 )形式的非限制性 VARI型，即% A1%1A2% 2 . Ap % p ut , t 1,2,., T(7. 1 . 6)A(L)% ut, t 1,2,.,T(7. 1.7 )这说明受限制性 VAf模型可化为非限

8、制性 VAR莫型。 简化式非限制、受限制 VAR莫型，皆简记为 VAR(p)。3、结构式非限制性VARI型如果y (yit 丫/丫戏)中的每一分量受其它分量当期影响，无d维外生的时间序列 人(x x.Xdt)影响(限制)，则模型化为Ayt 1A2yt 2.Ap% p q , t1,2,.,T(7. 1. 8)或利用滞后算子表示成A(L)yt ut, t 1,2,.,T(7.1.9)1 a(0)12a(0)1ka(0)1其中：A21a(0)2k ,这时的A(L) A ALA.L2.ApLp(0) (0)a k1 a k2 . i此时称该模型为结构式非限制性VAR莫型。如果A可逆，既逆阵1yta

9、o A yt 11 1 1Ayt 2. a Apyt p a 0Ut, t(7. 1 . 10)A1o存在，则结构式非限制性 VAR莫型可化为简化式非限制性 VAR模型这时，其中的A(L)A；ALA 10A2L2. A 10ApLp或利用滞后算子表示成A(L)yt(7.1.11)4、结构式受限制性VAR模型如果将 yt(y1t y2t.ykt)做为一 k维内生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受d维外生的时间序列Xt(X1t X2t.Xdt)影响(限制)，则VAR模型为A0 ytA1yt1 A2yt 2.Apytp Dxtut , t 1,2,., T(7. 1 . 12)或

10、利用滞后算子表示成A(L) ytDxtut, t1,2,.,T(7. 1. 13)此时称该模型为结构式受限制性VAR莫型。如果A可逆，既逆阵A 10存在，则结构式受限制性 VAR莫型可化为简化式受限制性 VAR模型1 1 1 11yt a Ayt1 a 0A2% 2 . a Apyt p a Dxt a, t 1,2,.,t (7. 1. 14) 或利用滞后算子表示成1 1A(L)ytA 0DXt A。5, t 1,2,.,T(7. 1. 15 )这时，其中的 A(L) I A 10A1L A 10A2L2 . A 10ApLp结构式非限制、受限制 VAR莫型，皆简记为|SVAR(p)。7.1

11、.2 简化式VAR莫型的参数估计VAR模型参数估计，简化式VARI型比较简单可采用 Yule-Walker估计、OLS古计、极大似然估计法等进 行估计，且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR莫型参数估计比较复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构 式模型参数估计，但这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种 途径是直接对结构式模型参数进行估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有 众多内生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。对于

12、简化式VAf模型(15.1.1)( 15.1.3 )，在冲击向量满足假设 UtiidN (0, )，t 1,2,.,T， 即ut相互独立，同服从以 E(u0为期望向量、Cov(uJ E(utuj 为方差协方差阵的k维正态分 布。这时，Ut是k维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵A,A,.,Ap及 也可采用Yule-Walker估计、OLS古计、极大似然估计。设yt(y1t y2t.ykt) , t 1,2,t为长度为T的样本向量1、Yule-Walker 估计在T充分大时,首先估计自协方差阵T?hytyth/T(7.1.16)t h1?.? “p 1?1A?.? ?A令？1T 2? 2,A.M

13、M? 1p 1?p2.? pAP则可得模型参数阵的Yule-Walker估计(矩估计)为A?0?.? 1p 1?A&M? 1? 1?0 ?p 2篦M，(7.1.17 )A?p 1?p 2?0?p2、OLS估计模型参数阵A, A?,，Ap的OLS古计，即求使1 TpPQ(A,A2,Ap) -(ytjt j)(y jt j)1 j p 1 j 1j 1min下的A；,広,Ap作为aa,，Ap估计。记?Tytytt p 1h/T(7.1.18)由此可推得A?o?1?p 11 ?A?AA2M?1 ?1op 22M，(7.1.19 )A?p 1?p 2?0? p由此可见，模型参数阵Al , A2,.,A

14、p的 OLS古计(7.1.15)与 Yule-Walker 估计(7.1.13)形式相同但式中的的计算不同但是，当T充分大时，(7.1.16)与(7.1.18)相差很小，这时(7.1.17)与(7.1.19) 相差也很小，这时二者的估计及估计量的性质等价。因此， 在T充分大时，可直接采用Yule-Walker估计比较简单方便。而的估计为為 A?A 1TTUtUtT t 1(7.1.20 )其一步预测误差为% ytyt 1(1) e步预测误差的方差阵为E% Eet S的估计为1997.1.pp199 ),(7.1.21 )p1(?0A?)i 1(7.1.22 )在已知yt 1, yt 2,.时,

15、如果利用模型参数的估计量氏忆,Ap, 对yt进行一步线性预测，则yt的实际一步线性预测为? 1(1)AYt1 S.Ap yt p(7.1.23 )其一步预测误差为% yt? 1(1)步预测误差的方差阵为E%7.1.4 VAR 模型阶数p的确定(A&)Y1 (AEetet D的估计为(11(?0A2) yt 2.(ApRp )yt petpA?)i 1(7.1.24 )其中：？yt ?yt 1At 2 . Ap% p3、极大似然估计可证明,模型参数阵A,A2,., Ap的极大似然估计与OLS古计完全等价。除此之外，还有递推估计法（参见：马树才，经济时序分析，辽宁大学出版社, 这里不在赘述。7.1

16、.3 简化式VAR莫型的预测在已知yt 1, yt 2,时，对yt的一步线性预测?t 1(1)AYt 1A2 yt 2. Ap yt pVAf模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p的确定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方 面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，否则, 阶数p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以 既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原则确定阶数VAR莫型的定阶方法有多种:1、FPE准则（最小最终预测误差准则）FPE准则（最小最终预测误差准则），即利用一步预测误差方差进

17、行定阶。因为，如果模型阶数合适,则模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，则相反。设给定时间序列向量长度为T的样本向量为yt（y1t ye.Jkt） , t 1,2,T ,则其一步预测误差方差 阵的估计量为（7.1.24 ）式，它是一个k k阶阵，因此可定义其最终预测误差为(7.1.25 )FPEk(p) detD? (1 怛k(1 kP) kdet(?o卩 A? ?)T Ti i显然，FPEk(p)是p的函数。所谓最小最终预测误差准则，就是分别取 p=1, 2,，M,来计算FPEk(p),使FPEk(p) min值 所对应的p,为模型合适阶数。相应的模型参数估计

18、A,定，Rp为最佳模型参数估计。其中， M为预先 选定的阶数上界，一般取M T/10kT/5k之间。在实际计算过程中，可如下判断： 如果FPE/p)的值，随着p从1开始逐渐增大就一直上升，则可判定p=1; 如果FPE/p)的值，随着p从1开始逐渐增大就一直下降，则可判定该随机时间序列不能用 AR( p)模型来描述； 如果FPEk(p)的值，在某一 p值下降很快，而后又缓慢下降，则可判定该p值为所确定的阶数； 如果FPE,p)的值，随着p从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样 本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进行定阶、估计模型参数，建立模型。利用FPE言息准则还

19、可以用来检验模型的建立是否可由部分分量，比如前r(r k)个分量y1t y2t.yrt ,t 1,2,T来进行，方法如下：pA?)rr则前r个分p记(7.1.21 )式中的k k阶矩阵(？0A?)的左上角r阶子方阵为(鸟i 1量y1t y2t.yrt, t 1,2,., T的最终预测误差为FPEr(p) detD?r(1 kp)r(1 也)rdet(?0卩 A?)r rT Ti 1(7.1.26 )当 r k 时，(7.1.26 )为(7.1.25)式。如果，mi nF PE(p) mi nF PE,p)，则可认为仅用前r个分量y1t y2t.yrt , t 1,2,.,T建立模型即可，没有必

20、要采用k维随机时间序列yt(y1t y2t.ykt)建立模型，因为从最小最终预测误差准则角度,用k维随机时间序列yt(y1t y2t.ykt)建立模型比仅采前r个分量y2t.yrt , t 1,2,., T建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，则相反。2、AIC(Akaike In formation Criterio n)与 SC ( Bayes In formation Criterio n)信息准则AIC、SC言息准则，也称最小信息准则，定义AIC 2l/T 2n/T , SC 2l/T nlnT/T(7.1.27 ).亠TkT2其中：l (1ln2 )-l n?,n为模型需要估计参数

21、个数，对(7.1.1 ) ,n pk2 ；对于2 2 1.4), n k(d pk);对于(7.1.8), n (p 1)k2 ；对于(7.1.12 ) , n k(d pk) k2。所谓最小信息准则，就是分别取p=1, 2,来计算aic或者sc,使aic或sc min值所对应的p,为3、似然比检验法(Likelihood Ratio,LR 检验)：由于ut iidN (0, ) , t 1,2,T，即ut相互独立，同服从以 E(uJ 0为期望向量、Cov(uJ E(UtUt)为方差协方差阵的k维正态分布。因此，yt 1yt 2记YM|, AA?LAp，则在给yt 1,yt2,，y p 1的条

22、件下，y (%丫玄丫减)的yt p条件分布为yt yt 1, yt2,., y p 1 n(ay,)于是，在给yt 1, yt 2,., yp 1的条件下，力，y2,，y的联合分布密度,即似然函数为对数似然函数为将参数估计代入,因此，有L(A, )(2 )In L(A,则有In L(A,)In L(A,Tk/2T /2exp(Tk尹(2T)iInTin2)TkIn(2 )现在，欲检验假设H o :样本数据是由滞后阶数为T(yt AYt)T(yt111(ytAY)(i? ? 1Ut)，Tk2p的VAR莫型生成;AYt)1(yt AYt)(7.1.28)H1 :样本数据是由滞后阶数为p 1的VAR

23、莫型生成取似然比统计量为LR 2lnL(A, ?pj In L(A, Q T(lnIn2 2(k )分布(7.1.29)(7.1.30)Gran ger因果关系，这也是建Ho，表明增加滞后阶数，可显著增大似然函数值;在给定的显著性水平下，当LR 2 (k2)，则拒绝否则，则相反。LR检验在小样本下，可取似然比统计量为LR (T m)(In|?p11 In ?p1) :2(k2)分布其中，m d kp.7.1.5 VAR 模型的Gran ger因果关系检验VAR莫型的另一重要应用是可用来检验一个变量与另一变量间是否存在 立VAR模型所需要的。1、Granger因果关系的涵义设yt (y1t y2

24、t)为一 2维随机时间序列，如果在给定y、畑 的滞后值下y的条件分布与仅在给定 的y1t的滞后值下y1t的条件分布相同，即Gran ger因果性关系涵义的另一表述：在其条件不变下，如果加上y的滞后值，并不对只由y1t的滞后值下对yit进行预测有显著改善，则称y2t对yit存在Gran ger非因果性关系，否则，y2t对yit存在Gran ger因果性关系。2、Gran ger因果关系检验设y (yit y2t)为一 2维随机时间序列,p为滞后阶数，ut(Uit U2t)为一 2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR莫型为(i)a ii yit i(i)a i2y2t i(2)aiiYit 2(2

25、)a i2y2t 2.a ii Yit pa i2y2t pUit(i)a 2i yit i(i)a 22y2t i(2)a 2i yit 2(2)a 22y2t 2a2i y2t pai2y2t pU2tyity2tt i,2,T(7. i. 3i)显然，欲检验y2t对yit是否存在Gran ger非因果性关系，等价地,检验假设 H o : a)i2a)i2 .a P)i20 ； H i: a幕,a幕,.aP)i2 中至少有一个不为 0。其用于检验的统计量为(SSRi SSRi ,y2 ) / PSSRi/(T 2p i)F(P,T2p i)(7. i. 32)其中，SSFyi,y2为模型(

26、7.i.3i )中第i方程残差平方和，SSFyi为模型(7.i.3i )中第i方程去掉y2各期滞后项后拟合残差平方和。在给定的显著性水平下，当F F (p,T 2 p i)时，拒绝Ho。如果模型(7. i. 3i)满足ut iidN (0, ) , t i,2,.,T，即Ut相互独立，同服从以 E(ut) 0为期望向量、Cov(uJ E(utut)为方差协方差阵的k维正态分布条件，则也可米用如下统计量进行检验2T(SSRiSSR y2)2(、(P)(7.33)SSRi，y2在给定的显著性水平下，当22 (p)时，拒绝Ho ,上述Granger因果性关系检验，可推广到对任意k维VAR莫型以及SV

27、AF模型中的某一或某几个随机时间序列(包括内生、外生变量)是否对另一时间序列具有Gran ger因果性的检验上去。 7.2 VAR ( p)模型的脉冲响应函数与方差分解在实际应用中，由于通常所设定的 VAR莫型都是非经济理论性的简化式模型，出它无需对变量作任何先验性约束，因此，在分析应用中，往往并不利用VAf模型去分析某一变量的变化对另一变量的影响如何，而是分析当某一扰动项发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响，这钟分析方法称为脉冲响应函数方法(Impulse Respo nse Fun ctio n,IRF)。7.2.1脉冲响应函数基本思想对VAR莫型采用脉冲响应函数分析扰动项

28、发生变化，或者说模型受到某种冲击时，对系统的动态影响,就是分析扰动项发生变化是如何传播到各变量的。设yt(y1t y2t)为一 2维随机时间序列，滞后阶数P=2,Ut (U1t U2t)为一 2维随机扰动的时间序列，则有2元VAR莫型为y1ty2t(1)a 11 y1t 1ra 21 y)t 1(1)a 12 y2t 1ra22 y2t 1小a 11 y1tra 21 y1t 2(2)a12y2t 2o(2)a 22 y2t 2U1tU2tt 1,2,T(7. 2. 1)扰动项满足白噪声假设条件，即E(uJ 0,tCov(ut) E(utut)ij , t h 2,T ；Cov(ut, Us)

29、 E(UtUs)0(t s),t,s 1,2,，T现在假设上述VAR莫型系统从t 0时期开始运行，并设 y1, 1 y1, 2 y2, 1y2, 20，在t 0时给疋扰动项Up1、U200,并且其后口牡U2t0,(t1,2,.)，即在t 0时给定y1t 一脉冲，我们来讨论%t、y2t的响应。由于U10 1、U200,由(7. 2. 1)，在t 0时，于是有,y1,01 y2,0将上述结果再代入(7. 2. 1),在t 1时，于是有，a11(1). y2,1a 21 ；再将上述结果代入(15. 2. 1),在t 2时，于是有,(1) 2 (1) y1,2(a 11) a 12 a 11a 21,

30、(1) y2,2a 21a(1)11(1) (1)a 22 a21a21如此下去，可求得结果1,0, y“，,2, %,3,.,称此结果为由y的冲脉冲引起的y1t的响应函数;所求得的y2,0 , y2,1 , y2,2 , y2,3 ,.，称为由y1的冲脉冲引起的y2t的响应函数。反过来，也可求得在t 0时，给定扰动项U100、U201,并且其后U1tU2t0,(t1,2,.)，即在t 0给定y2t 一脉冲时，由 y的冲脉冲引起的y1t、y2t的响应函数。7.2.2 VAR模型的脉冲响应函数假设有 VAR(p)模型yt A,yt 1 A2yt2.Apyt pUt , t 1,2,., T(7.

31、 2. 2)引入滞后算子B，表示成A(L)ytUt, t 1,2,.,T(72 3 )其中：A(L) Ik AL AL2 . ApLp,为滞后算子多项式.在满足特征方程detA(L)Ik ALAL2.ApLp0的根全在单位园外 条件下，则VAR(p)是可逆的，即可将 yt表示成白噪声Ut滑动和形式其中：C(L) A(L) 1 Co GL C2L2，Co L(k 阶单位阵)(7.2. 4 )中第i方程为kyitj 1/ (0) (1)(C jUjtC jUjt 1C)ij u jt 2)，t 1,2,.T(7. 2. 5)k 2 时,(7.2.4)为、，c（）c(),小(1)小(2)yitc 1

32、1c 12 u1tc 11C 12U1t 1c 11C 12U1t 2w (0)(0) ,(1)(1) .(2) .y2tC 21C 22 U2tc 21C 22 u2t 1C 21C 22 u2t 2t 1,2,T(7. 2. 6)现在假定在基期给 y1 一个单位脉冲，即1,t 0Uit门丄c而U2t0,t0,1,2,0,t 0则可求得由y1的脉冲引起 y的响应函数为:t 0,(0) y20C 21t 1,(1)y21C 21t 2,(2) y22C 21M由此可看出，对于（7.2. 4 ）式的一般情形，由yj的脉冲引起y的响应函数 为:t0,y。c(0) C ijt1,yi1c(1) C

33、ijt2,yi2CC ijM由yj的脉冲引起yi的累积响应函数为：c(q)q 0由（7. 2. 4 ）式，其中的Cq中的第i行、第j列元素可表示为c(qLijyit q / Ujt, q 0,1,2,.; t 1,2,.,T(7. 2. 7)作为q的函数，它描述了在时期 t,其他变量和早期变量不变的情况下，yit q对Yjt的一个冲击的反应，称为脉冲响应函数。用矩阵可表示为Cq = yt q / Ut(7. 2. 8)即Cq中的第i行、第j列元素等于时期t的第j变量扰动项增加一个单位，其它时期扰动项为常数时，对 时期t q的第i个变量值的影响。7. 2. 3 方差分解VAR莫型的脉冲响应函数是

34、用来描述 VAR莫型中一个内生变量的冲击给其它内生变量所带来的影响的， 它是随时间的推移，观察模型中各变量对于冲击是如何反应的。而方差分解是要通过分析每一结构冲击对内生变量变化（通常用方差来度量）的贡献度，进一步评价不同结构冲击的重要性的 ，与脉冲响应函数相比，方差分解是一种比较粗糙的把握变量间关系的方法，它给出的是对VAR莫型中的变量产生影响的每个扰动项的相对重要信息。方差分解的基本思想是：由(7. 2. 5)式kyit(c(0)jUjt cM 1 c(2)jUjt 2 .), i 1,2,., k;t 1,2,.T(7. 2. 9)j i可知，左边括号内为是第j扰动项uj从过去无限远至现在

35、时点对第i内生变量引影响的总和。在E(uj)0，Uj无序列相关的假设下，对其求方差，可得E(c(0)jujtc(1)ijujt 1 c(2)Mt 2.)2(c(q)ij)2 jj, i, j 1,2,., kq 0(7. 2. 10)它是把第j扰动项uj从过去无限远至现在时点对第i内生变量yi影响总和，用方差加以评价的结果。如果Cov(ut)E(utUt)为对角阵，贝U yit的方差为kVar(yJ(c(q)j)2 J,j 1,2,.,k;j 1 q 0(7. 2. 11)由此可知，yit的方差可分解成k个不相关的(c(q)ij )2q 0jjj 1,2,., k )的影响。由此，可测定出各个

36、扰动项对 yit方差的相对方差贡献率为(c(q)RVCj i() q0(cq 0yit)(c(q)ij)2jj0(7. 2. 12)i,j 1,2,.,k在实际应用计算中，不可能从过去无限远的 c(q)ij来评价。在模型满足平稳性条件下,由于c(q)ij随着q的增大是按几何级数衰减的，故只要取前 s有限项计算即可。其近似相对方差贡献率为RVCj i(s)1(c01, i,j 1,2,., k(c(q)ij )2 jj0(7. 2. 13)RVCji (s)有如下性质: 0 RVCj i(s) 1(7. 2. 14)k RVCj i(s)1,j 11,2,., k(7. 2. 15)如果RVCj

37、i (s)大，则意味着第j变量(第j扰动项)对第i变量yi影响大，反之，则相反。 7.3 Johansen协整检验与向量误差修正模型(VEC)前面我们已经介绍了单方程的协整检验与误差修正模型。且其协整检验方法是以回归模型为基础的 基于回归残差序列的 ADF佥验法进行检验的。现在我们把它推广到VAR莫型上去，并给出以 VAR莫型为基础基于回归系数的协整检验方法。在单方程协整检验中，由于是基于回归残差序列进行，故在第一阶段需要采用OLSS行回归分析，应用很不方便。为此，Johansen (1988)及Juselius(1990) 提出了一个 以VAR莫型为基础的基于回归系数的 特别适合于多变量的协

38、整检验法。7. 3. 1 Johansen 协整检验1、协整定义：设y (%t ,y2t,，yQ为一 k维随机时间序列，t 1,2,.,T，如果 yt 1(d),且每一 yit 1(d), i 1,2,., k 存在非零向量=(1, 2,., k),使yt I (d b), 0 b d则称yt为协整，记为|yt CI(d,b),为协整向量。若yt为协整，则最多存在k 1个线性无关的协整向量。即若记由yt的所有协整向量组成的矩阵为A ,则 A秩，0rant(A) r k 1。例如，k=2， yt (y1t , y2t) , y1t, y2t I (1)，若有G使削玄1(0)，按照上述，最多存在k

39、 1 2 1 1个线性无关的协整向量，则协整向量(1 &)2)唯一。因为若有C2也使得y1t C2Y2t I(0),则(y1t C1y2t) - ( y1t C2Y2t)( C2 C1) y2t I (0)这与已知y2t I (1)矛盾，故C1C2，即 (1 G), C|)唯一。2、Johansen协整检验基本思想设yt(y1t, y2t,., ykt)为一 k维随机时间序列，t1,2,.,T，且 yt I(1),即每一 y, I(1),i 1 2k，受d维外生的时间序列xt(X1t X2t.Xdt)影响(限制)，则首先可建立VAR莫型ytA1yt 1A2yt 2.Apyt pDxtUt ,t

40、 1,2,.,T(7. 3.1)将上式进行差分变换，也称为协整变换，可写成ytytp 11ii 1yt iDxtUt(7. 3.2)其中，pAi 1I, ijpAji 1(7. 3.3)在(7.3. 2)中，由于 yt I (1),所以yt 1(0)、ytj I (0), j0,1,.,p 1p,iyt i I (0)i 1因此，只要yt 1 I(0),则y1t 1 ,y2t 1,., ykt 1，亦即y1t从,，ykt之间具有协整关系，而y1t 1 ,y2t 1,., ykt1之间是否具有协整关系取决于k k阶矩阵 的秩rank ()。因为，与模型全部参设rank () r，则r有3种情况：

41、 如果rk，这意味着是一列满秩阵，则只有当y1t 1 ,y2t 1,., ykt 1 I (0)时，才能保证y i 1(0),但这与已知yt I (1)相矛盾，故r k,只能有rk. 如果r0，则 0,由(7. 3. 2),这时用不着讨论y1t1 ,y2t1，ykt1之间是否具有有协整关系。除上述两种极端情形外，一般情况是： 如果0 r k，这意味着丫牡，y2t,，ykt中一定存在r个协整关系(协整组合)，其余 k r个关系仍然为1(1)关系。在这种情况下，可将分解成两个k r阶阵、 的乘积且 rank ( ) r、rank ( ) r 。将其代入到(7. 4. 2)式中，有p 1ytyt 1

42、i yt i Dxt ut(7. 3. 4)i 1上式要求，yt 1 I (0)向量，其每一行都是I (0)变量，即 (1 2r)的每一列都是一协整向量，所以 决定了 y1t 1 , y2t 1，ykt 1之间协整向量的个数和形式，故称称为协整向量阵，r为协整向量个数。的每一行是出现在上述每一方程中的r个协整组合的一组权数，故称为调整参数阵，或修正参数阵。显然，在yt 1(1)假定条件下，最大可能 r k 1，这就是对于k维向量(%t ,y2t,，y最大可能存在k 1个线性无关的协整向量的道理。根据上述分析，可知欲检验yt (y1t ,y2t,., ykt)是否具有协整关系，就转化为对矩阵的秩

43、数的检验，由于rank()= 的非零特征根的个数，因此，就可以通过检验的非零特征根的个数，来检验rank()，从而来判定 y (%t , y2t,，ykt)是否具有协整关系。这就是 Johansen协整检验的基本思想。3、Johansen协整检验现在假设的k个特征根为Joha nsen协整检验有两种方法:1、特征根迹检验(trace检验)k r个非协整组合而言，应该有0 ,因此，检验rank ()是否等于r ,等价地由于r个最大特征根可得到 r个协整向量，而对于其余r 10, r 0,1,2,., k 1检验假设 H r0 : r 0, r 10; Hr1可用于检验的特征根迹统计量为(7. 3

44、. 5)kT ln(1 i), r 0,1,2,., k 1i r 1具体显著性检验程序如下：当某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即不显著时，接受H(r 0)，表明有k个特征根，o个协整向量，即 y (%t, y2t,，yQ不存在协整关系。当o某一显著性水平下的Johansen分布临界值，即显著时，拒绝H(r 0)，表明至少有1协整向量。这时必须接着检验1。当i某一显著性水平下的整向量。依次进行下去,直到接受H r0，特征根所对应的经过正规化的特征向量。显然整个检验过程应该是序贯进行的Joha nsen分布临界值，即不显著时，接受 说明存在r个协整向量时为止。 这时, 整个序贯检验

45、过程如下：当o某一显著性水平下的向量(即不存在协整关系)。当o某一显著性水平下的量。这时必须接着检验1。当i某一显著性水平下的 向量。当i某一显著性水平下的 量。M当r某一显著性水平下的2、最大特征根检验由于r个最大特征根可得到k o,因此,H ro : r 1o； Hr1Joha nsen分布临界值，即不显著时，接受Joha nsen分布临界值，即显著时，拒绝Joha nsen分布临界值，即不显著时，接受Joha nsen分布临界值，即显著时，拒绝Joha nsen分布临界值，即不显著时，接受r个协整向量，而对于其余k最大特征根检验用于检验假设r 0,1,2,., k 1Hio(r 1)，表

46、明只有1个协这r个协整向量就是最大的r个Hoo(r o)，表明只有o个协整Hoo(r o)，表明至少有1协整向H1o(r 1)，表明只有1个协整H1o(r 1)，表明只少2个协整向Hro，表明只有r个协整向量。r个非协整组合而言，应该有o,用于检验的最大特征根检验的统计量为rTln(1r 1), r 0,1,2,., k 1(7. 3 6)具体显著性检验程序如下：当0临界值，不显著时，接受H 00(r0)，表明最大特征根为0,无协整向量；当0临界值，显著时，拒绝Hoo(r0)，接受H10，表明至少有1个最大特征根不为0，至少有1个协整向量。须接着检验1。当1临界值，不显著时，接受H10(r1)

47、，表明最大特征根不为0，其余特征根皆为0，只有1个协整向量；检验截止。当1临界值，显著时，拒绝H1o(r1)，接受Hn，表明至少有两个最大特征根不为0,至少有2个协整向量。须接着检验依次进行下去，直到接受 Hro，共有r个协整向量时为止。4、协整方程形式7. 3. 2向量误差修正模型（VEC）由（7.3.1）式可知，设y（yit ,y2t,，ykt）为一 k维随机时间序列，t 1,2,.,T，且丨（1）,即每一 丫止1（1），i 1,2,., k，如果yt不受d维外生的时间序列 人（心影响（限制），VAR模型变为yt AyA?% 2将上式进行协整变换，可写成p 1yt yt 1i 1 P其中，

48、Ai 1Apyt p ut , t h2,., T(7. 3. 7)yt iut(7. 3. 8)pA7ijj i 1(7. 3. 9)如果yt存在协整关系，则（7.3.8 ）的yt 1 I （0）,这时可写成p 1ytyt 1i yt i 山（7- 3- 10）i 1其中，yt 1 ecmn即为误差修正项，反映的是变量之间的长期均衡关系。即，上式可写成p 1ytecg 1i 1iyt iUt(7.3. 11)3.11）即为向量误差修正模型（VEC ,其中每一方程都是一个误差修正模型（ECM。VEC莫型中的参数向量， 反映的是变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度，

49、故称其为调整参数阵，或修正参数阵。所有作为解释变量的差分项yt i（i 1,2,., p 1）的系数向量i（i 1,2,., p 1），反映的是各变量的短期波动yt i对作为被解释变量 yt的短期变化yt的影响。在实际应用中，对于影响不显著的那些短期波动yt i的项可以从模型中剔除。上述只是讨论了简单的 VE（模型，我们也可以象 VAR莫型那样构造结构式 VE（模型，也可以对 VE（模型讨 论Gran ger因果关系检验、脉冲响应函数和方差分解等等。关于这些更详细的内容，可参见Davidson和Mackinnon（1993）以及汉蜜而顿（1999）的著作。 Davids on ,Russell and James G.Mack innon .Estimati on and Inference inEcono metrics.Oxford:Oxford Uni versity Press,1993,715-730. 詹姆。汉密尔顿：时间序列分析（刘明志译），中国社会科学出版社，1999，第19章。 7.4 SVAR