第十二章选考部分(理)122坐标系与参数方程

1、n重点难点n重点：坐标系的概念n不同坐标系中坐标的互化，直线与圆的极坐标方程n参数方程的概念；直线、圆、圆锥曲线的参数方程n难点：直线与圆的极坐标方程n参数方程中参数的几何意义；解决实际问题时参数的选择n2极坐标系n(1)极坐标系的概念n在平面内取一个定点o为极点，引一条射线ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位及正方向(通常取逆时针方向)，就建立了一个极坐标系对于极坐标系内任意一点m，用表示线段om的长度，用表示从ox到om的角度，叫做点m的极径，叫做点m的极角，有序实数对(，)就叫做点m的极坐标如无特别说明时，0，r.n在极坐标(，)中，通常限定0，当0时，与极点重合，此时不确定给定点的

2、极坐标时，在平面上就唯一确定了一个点；但是给定平面上的一个点，它可以有无穷多个极坐标，一般地(，2k)，kz与(，)代表同一个点，有时为了使极坐标与平面上的点(极点除外)建立一一对应关系，规定0,02.n如果允许0，则当0时，点p(，)的找法是：先找到点p(|，)，再找p关于极点的对称点即为点p，因此(，)与(，)表示同一个点，除事先说明的情况下，一般都是0.n(3)求曲线的极坐标方程f(，)0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全相同特别注意的是求极坐标方程时，常常要解一个三角形n3柱坐标系n(1)如图，空间直角坐标系oxyz中，设p是空间任意一点，它在xoy平面上的射影为q，用(，)(0,0

3、2)来表示点q在平面oxy上的极坐标则点p的位置可用有序数组(，z)(zr)表示把建立了空间的点与有序数组(，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点p的柱坐标，记作p(，z)，其中0,02，z.n4球坐标系n(1)如图空间直角坐标系oxyz中，设p是任意一点，连结op，记|op|r，op与oz轴正向所夹的角为，设p在xoy平面上的射影为q，ox轴按逆时针方向旋转到oq时所转过的最小正角为，则点p用有序数组(r，)表示把空间的点与有序数组(r，)之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r，)叫做点p的球坐标，其中r0,0，02.n注：教材上

4、使用的球坐标是(r，)与一般用法不吻合通用记法为(r，)，也不是“夹角”，这可能是教材编排的失误n这时，参数t的几何意义是：以直线l上点m(x0，y0)为起点，任意一点n(x，y)为终点的有向线段的数量为mn且|t|mn|.n(2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xf(t)或y(t)，再代入普通方程f(x，y)0，求得另一关系y(t)或xf(t)n误区警示n1在极坐标系中，如无特别说明时，0，r；点的极坐标不惟一，若规定0,02，则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外)；n例2 o1和 o2的极坐标方程分别为4cos，4sin.n(1)把 o1

5、和 o2的极坐标方程化为直角坐标方程；n(2)求经过 o1， o2交点的直线的直角坐标方程n解析：(1)当以极点为原点、极轴为x轴正半轴时，n有xcos，ysin，n由4cos得24cos，所以x2y24x.n即x2y24x0为 o1的直角坐标方程n同理得 o2的直角坐标方程x2y24y0.n(2010广东理)在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin与cos1的交点的极坐标为_n解析：由2sin与cos1得2sincos1，nsin21，00，cos0，n答案：(x1)2y22n解析：由题意知圆的方程为x2(y1)21，直线方程为y1，故交点为(1,1)，(1,1)n答案：(1,1)，(1,1

6、)n答案：bn答案：bn点评：求解参数方程表示的圆的有关问题，可以直接从参数方程找出圆心，半径，结合其它条件讨论，也可先化为直角坐标方程n答案：bn分析：由于直线l过椭圆内点a，交椭圆于m、n两点，且|am|an|，a为mn中点，故对直线l的点角式参数方程，应有t1t2，从而求得l的方程，要使mnq面积最大，因为mn的长度一定，只需点q到直线mn距离最大，可用参数法及点到直线距离公式转化为三角函数极值n例7如图所示，oa是圆c的直径，且oa2a，射线ob与圆交于q点，和经过a点的切线交于b点，作pqoa，pboa，pq与pb相交于p点，试求点p的轨迹方程n一、选择题n1(2010北京理，5)极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()na两个圆nb两条直线nc一个圆和一条射线 nd一条直线和一条射线n答案cn解析原方程等价于1或，前者是半径为1的圆，后者是一条射线n答案cn答案cn答案2n5(2010揭阳市质检)在极坐标系中，若过点a(4,0)的直线l与曲线24cos3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为_n9(2010江苏文)在极坐标系中，已知圆