《微积分二》同步练习册最终使用版

1、第五章 不定积分5.3 凑微分法和分部积分法（第5.15.2节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“自测题”前的附加材料）1. 求下列不定积分： (1) ； (2) ；(3)； (4) ；(5) ； (6)；(7)； (8) ； (9) ； (10)；(11)； (12*)；(13*)； (14*) 3. 求下列不定积分：(1)； (2)；(3)； (4) ；(5) ； (6)4. 求下列有理函数的不定积分：(1) ； (2). 5. 求下列不定积分：(1) 已知是的一个原函数，求；(2) 已知是的一个原函数，求. 5.4 换元积分法1. 求下列不定积分： (1)； (2)；(3)； (4)；(

2、5)；(6)； (7)(7) 2*. 求不定积分. 3*. 试求不定积分4*. 已知，求. 第六章 定积分6.1 定积分的概念与性质1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分： (1）； (2）；(3）.2. 不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“”关系，并给出必要的理由）.(1） 与 ； (2） 与 ；(3） 与 ； (4） 与 3. 利用定积分的性质，估计的大小. 4. 设在区间上连续，在内可导，且满足，试证：在内至少存在一点，使得. 5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由. (1）； (2），其中 6*.根据定积分的定义，试将

3、极限表达为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果）：6.2 微积分基本定理1求下列函数关于的导数： (1）； (2）；(3）； (4*）2求下列极限：(1）； (2）；(3）3求函数的极值点4计算下列定积分：(1）； (2）；(3）； (4）；(5），其中；(6），其中为常数5设在上连续，且满足，试求6*试利用定积分的定义及计算原理求解数列极限，其中6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利用定积分的换元法计算下列积分： (1）； (2）； (3）； (4）；(5）. 2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1）； (2）.3. 设是上的连续函数，试证：对于任意常数，均有. 4*. 设

4、是上的连续函数，并满足，试求.5. 利用定积分的分部积分法计算下列积分：(1）； (2）；(3）.6*. 试计算，其中.7*. 已知是上的连续函数，试证：.6.4 定积分的应用1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积：(1）； (2）. 2. 假设曲线、轴和轴所围成的区域被曲线分为面积相等的两部分，试确定常数的值.3. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积：(1）；绕轴， （2）： （i）绕轴（ii）绕轴4. 已知某产品的固定成本为，边际成本和边际收益函数分别为，其中为产品的销售量（产量），试求最大利润.5. 已知某产品在定价时的市场需求量，在任意价格处的需求价格弹性为，

5、其中均为常数，为产品在价格处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数6.5 反常积分初步1. 判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) （为常数）； (2) （为常数）； (3)（其中，均为常数）. 2. 求下列极限：(1) ；(2*) . 3. 判定下列积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) ，为常数；(2) ； (3) .4. 利用函数和函数的性质，以及的结果，分别计算，. 5. 计算下列反常积分（提示：利用函数的定义，以及的结果）(1) ； (2) . 6*. 考察曲线，试求解：(1) 该曲线与轴和直线所围成的平面图形的“面积”；(2) 上述图形绕周旋转一周所成旋转体的

6、“体积”. 第七章 多元函数微积分学 7.1 预备知识 7.2 多元函数的概念 1. 已知点，在轴上找出与点相距的点2. 求过点，的平面方程3. 分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式：(1) 由、所围成的区域； (2) 由、所围成的区域； (3) 由、所围成的区域 4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（1）；（2）5. 设，求6. 试求下列二元函数的极限：（1）； （2）7*. 设，讨论在点处的连续性7.3 偏导数与全微分 1. 求下列函数在给定点处的偏导数：（1），求；（4），求2. 求下列函数的指定偏导数：（1），求；（2），求；（3），求3. 设，分别讨论在处是否连

7、续、是否存在偏导数4. 求下列函数的全微分：（1）；（2）5. 求函数在点(2,1)处的全微分6. 计算的近似值7. 已知一矩形的长为6米、宽为8米。当长增加5厘米，宽减少10厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值。7.4 多元复合函数与隐函数微分法 1. 求下列复合函数的偏导数或导数：（1），求；（2），求；（3），求；（4），求2. 设，求3. 设可导，证明：4. 求下列方程所确定隐函数的导数：（1）；（2）5. 求下列二元（三元）方程所确定的隐函数（）的全微分：（1）；（2）7.5 高阶偏导数 1. 设, 求2. 设, 求3. 设可微, , 求4. 设可微, ，求5. 设，求7.6 多元函

8、数的极值 1. 求的极值2. 求在区域上的最大值与最小值3. 求在条件，下的最值4. 求曲线上到平面距离最短的点5. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品，商品在两个市场上的需求量与定价分别满足,，其中分别是该产品在两个市场上的价格(单位：万元/吨)，分别是该产品在两个市场上的需求量(单位：吨)，且该企业生产这种产品的总成本函数为。如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化。7.7 二重积分 1. 将二重积分按两种次序化为累次积分，其中积分区域分别给定如下：（1）由曲线与直线所围成；（3）由直线，所围成2. 交换积分次序：（1）；

9、 （2）；（3）3. 计算二重积分：（1）；（2）；（3），其中由所围成4. 计算累次积分：（1）； （2）5. 画出区域，并把化为极坐标系下的二次积分：（1）；（2）6. 利用极坐标变换计算：（1），；（2）7. 用二重积分计算曲线，围成的平面图形的面积8. 用二重积分计算由坐标面与平面所围立体的体积9*. 计算二重积分10*. 试证明下列命题：（1）若连续于，则；（2）若在上均连续、单增，则第八章 无穷级数8.1 常数项级数的概念和性质1.利用下列级数的部分和,求和以及和值.(1) ； (2) 2. 判断下列级数是否收敛；若收敛，求其和值. (1) ；(2) ；(3) 3已知级数收敛，且和

10、值为，证明：(1) 级数收敛，且和值为；(2) 级数 收敛. 4利用无穷级数性质以及几何级数与调和级数的敛散性，判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 5给定级数，有，试证级数收敛，其和8.2 正项级数 1利用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性： (1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 2利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) ；(6) 3*证明：若正项级数收敛，则与均收敛4*假设正项级数发散，试证：1）级数发散；2）级数收敛8.3 任意项级数1. 判别下列级数是绝对收敛，条件收敛还是

11、发散？(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .2. 判别下列交错级数的敛散性：(1) ；(2) .3如果级数绝对收敛，试证：(1) 级数绝对收敛；(2) 级数收敛. 8.4 幂级数1求下列级数的收敛半径、收敛区间和收敛域： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .2求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域上的和函数： (1) ；(2) .3求幂级数收敛域及和函数，并求的和. 4已知级数在时收敛,试讨论在以下各点处的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .5将下列函数展开成的幂级数，并写明后者的收敛域. (1) ； (2) ；(3) ； (4) .6求下列函数在指

12、定点的幂级数展开式，并求收敛域. (1) ； (2) 第九章 微分方程初步9.1 微分方程的基本概念1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的通解：(1) ，；(2) ，；(3) ，2. 验证函数是否为初值问题，的解：3. 验证函数是否分别为：1）微分方程的解；2）初值问题，的解：9.2 一阶微分方程1. 求下列方程的通解或在给定条件下的特解：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ，2. 设函数满足方程，试求3*. 设函数满足方程，试求4*. 设，证明：和函数满足微分方程方程，并求第十章 差分方程10.1 差分方程的基本概念1. 计算下列

13、差分：(1) ，求； (2) ，求2. 按教材P330定义改写下列差分方程，并指出方程的阶数：(1) ； (2) 3. 验证以下是否为数列所给方程的解（其中，为任意常数）：(1) ，；(2) ，10.2 简单的一阶常系数差分方程的解法求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解：(1) ； (2) ；(3) ，【补充材料】 第五章 不定积分（2011学年第一学期内容缩编）5.1 原函数与不定积分的概念 5.2 基本积分公式1. 已知一曲线经过点，且在其上任一点处的切线斜率等于，求曲线的方程. 2. 求下列不定积分：(1) 已知, 求不定积分；(2) 已知, 求不定积分；(3) 已知, 求不定积分.

14、 3. 求下列不定积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) . 第五章 自测题一、选择题 1设，则的结果是 A B C D 2= A B C D 3设，则 A B C D 4若，则下列等式中一定成立的是 A B C D 5下列等式中不成立的是 A B C D 6 A B C D 7设，且，则= A B C D 8在内，均可导，且，则 A B C （常数） D 之间的关系不确定二、填空题 1若，则 2设，则f (x)= 3已知的一个原函数为，则 4设，则 5不定积分 6设，则 三、解答题1计算下列不定积分： (1) ； (2) ；(3)

15、 ； (4) ；(5) ； (6) ； (7) ； (8) 2*. 已知，求不定积分. 3*已知，求. 第六章 自测题一、选择题 1设是a, b上的连续函数，则下列论断不正确是( )(A) 是的一个原函数 (B) 是的一个原函数 (C) 是的一个原函数 (D) 在a, b上可积 2设是连续函数，是的原函数，则( ) (A) 当是奇函数时，必为偶函数 (B) 当是偶函数时，必为奇函数 (C) 当是周期函数时，必为周期函数 (D) 当是单调递增函数时，必为单调递增函数3设在区间a,b上， 则下列不等式成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 4设在内为连续可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的

16、是( )(A) (B) (C) (D) 5.设在内连续，且在时可导，且则下列正确的是( ) (A) 不存在 (B) 存在且不存在 (C) 存在且 (D) 存在且 6设函数有连续的导数，且当时， 与为同阶无穷小，则( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 7已知则为( )(A) 正常数 (B) 负常数 (C) 零 (D) 非常数8已知 则为( )(A) 正常数 (B) 负常数 (C) 零 (D) 非常数二、填空题1设具有一阶连续导数，且，则 2设连续，且，已知，则3设，那么4设连续函数满足，则三、解答题 1. 求下列定积分：(1) ； 2) ；(3)；(4) 设，求2求下列反常积分

17、： (1) ；(2) 3. 求由抛物线与它在点及点处的两条切线所围成图形的面积.4. 求由曲线及直线围成图形分别绕轴和轴旋转形成的体积. 5. 设某产品的边际成本 (万元/台)，其中表示产量，固定成本为(万元)，边际收益 (万元/台)，试求：1）总成本函数和总收益函数；2）获得最大利润时的产量；3）达到上述最大利润后，又多生产了4台，此时总利润的近似变化值第七章 自测题 一、选择题 1极限存在的充分条件是 . A 点沿无穷条路径趋于点时，的极限均存在且相等 B 存在 C 点沿过的任意直线趋于时，的极限均存在且相等 D 在处连续2若，则 . A B C D 3二元函数在点的偏导数存在是其在该点可

18、微的 . A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 非充要条件4设函数定义于有界闭区域，那么正确的是 . A 若可微、存在唯一驻点，且为极值点，则必为最值点 B 若可微，且存在最值点，则必为驻点 C 若连续，且存在唯一的极值点，则必为最值点 D 若连续于，则在内必存在最值 5设在的某邻域内具有连续的偏导数，且. 若是可微函数在约束条件之下的极值点，则下列命题正确的是 . A 恒有B C D 二、填空题 1 . 2设，则= ， = . 3设，则= . 4设在坐标系下，则在极坐标系下， . 5无穷限积分 = . 三、解答题 1设，讨论在点的连续性、偏导数以及的偏导函数在在点的连续性2求下列函数

19、的全微分：(1) ，求； (2) ，求；(3) 已知有连续的偏导数，求3设在连续偏导数，为正整数，证明满足的充要条件是对任意有4设，求5设具有二阶连续偏导数，求6设由方程所确定，求7求的极值8设求在上的最值9求周长为定值的三角形面积的最大值(提示：，其中为三角形的各边长) 10某厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别是和(单位：吨)时，总收益函数为，总成本函数为(单位：万元)。此外，生产甲种产品每吨还需支付排污费万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费万元。在限制排污费用支出总额为万元的情况下，两种产品的产量各为多少时总利润最大? 最大总利润是多少? 11计算二重积分：（1） （2）（3） （

20、4）12用二重积分计算圆锥体被平面所截部分的体积13. 证明：(1) 若为上的正的连续函数，则；(2) 若及连续于，且，与均单增，则第八章 自测题 一、选择题1. 正项级数收敛的充分必要条件是 .A B 数列单调有界 C 部分和数列有上界 D 2. 下列结论中正确的是 . A 若级数,都发散，则级数发散；B 若级数收敛，则级数与都收敛；C 若级数与都收敛，则级数收敛； D 若级数收敛,发散,则的敛散性不确定3. 已知，则级数 .A 收敛且其和为 B 收敛且其和为 C 收敛且其和为 D 发散4. 下列级数中发散的是 . A B C D 5. 设，则下列级数中收敛的是 .A B C D 6. 命题

21、“若发散，则发散”成立的条件是 . A B C D 7. 若幂级数在收敛, 则该级数在处 .A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定8. 若，则幂级数的收敛半径 .A B C D 二、填空题1. 若级数收敛于S，则级数收敛于 .2. 已知级数，则级数 .3. 若级数收敛，则的取值为 .4. 级数的敛散性是 ，级数的敛散性是 . 5. 幂级数绝对收敛的条件是 ，条件收敛的条件是 , 发散的条件是 .6. 设幂级数在条件收敛，则该幂级数的收敛半径条件是 .三、解答题 1. 判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) .2. 证明：若级数收敛，则级数绝对收

22、敛. 3. 设，求. 4. 求下列级数的收敛域： (1) ； (2) ；(3) ； (4) .5. 求幂级数的收敛域及和函数，并求常数项级数的和. 6. 将下列函数展开成幂级数，并求其收敛域： (1) ； (2) ； (3) .7. 设函数满足方程，求的幂级数展开式及其收敛域. 南京审计学院20082009学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共10个空，每空2分,满分20分）1 。2设需求函数为，供给函数为，则消费者剩余为 。3. 。4. 设，则 ， 。5. 交换积分次序 。6. 设，则 。7. 函数展开成的幂级数为 ，后者的收敛域为 。8方程满足初始条件的特解为 。二、单项选择题（共5题，每

23、题2分,满分10分）1. 下列反常积分收敛的是（ ） 2. 设函数在点处取得极大值，则函数在点处与函数在点处（ ） 都取得极大值 恰有一个取得极大值 至多有一个取得极大值 都不能取得极大值3. 设函数在点处的两个偏导数都存在，则（ ）在点处连续 在点处可微和都存在 存在4. 下列级数中，收敛的是（ ） 5. 若幂级数在处收敛，则该级数在处（ ） 绝对收敛 条件收敛 发散 敛散性不能确定三、计算题（共6题，第5小题8分，其余小题每题5分，满分33分）1. 2. 3.4. 设，是可微函数，求。5. 设,其中由方程所确定， 求：（1）； （2）。6. 计算，其中是由和所围成的区域。四、（10分）设有

24、幂级数，求：（1）该级数在其收敛域内的和函数；（2）求常数项级数的和。五、证明题（共2题，每题5分，满分10分）1设是以（）为周期的连续函数，证明：对任何常数，有。2设数列有界，证明级数收敛。六、 应用题（共2题，满分17分）1（10分）设平面图形由， 所围成。试求：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积。2（7分）某厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别是和（单位：吨），总收益函数为，成本函数为（单位：万元）。此外，生产甲种产品每吨还需支付排污费1万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费2万元。在限制排污费用支出总额为6万元的情况下，两种产品的产量各为多少时总利润

25、最大？最大总利润是多少？南京审计学院20092010学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共9个空，每空2分,满分18分）1. 若收敛，则参数满足的条件为 。2. 设，则 ， 。3. 交换积分次序 。4. 设级数的部分和，则 ，该级数的和为 。5. 函数展开成的幂级数为 ，后者的收敛域为 。6某商品的需求量对价格的弹性为，已知当价格时，需求量，则需求量对价格的函数关系为 。二、单项选择题（共5题，每题2分,满分10分）1设在点处连续，则下列说法中正确的是（ ） 在处一定连续 在与在处仅有一个连续 与分别在与处连续 在与在处都不一定连续2. 已知反常积分收敛于（），则（ ） 3. 下列级数中绝对收

26、敛的是（ ） 4. 设，则函数在点处可微的充分条件是（ ）在点处连续 在点处存在偏导数 5. 若，则积分区域为（ ） 由轴，轴及所围成的区域 由，及，所围成的区域 由，所围成的区域 由，所围成的区域 三、计算题（共6题，每小题5分，满分30分）1. 2. 3. 4.设，求。5.设由方程所确定，求偏导函数在点处的值。6. 求，其中是由，和所围成的区域。四、（10分）设有幂级数，求：（1）该级数的收敛域；（2）在其收敛域内的和函数；（3）求数项级数的和。五、证明题（5分）设，证明函数在区间内有唯一零点。六、（10分）二元函数，问：(1)在点是否连续，说明理由； (2)在点关于的一阶偏导数是否存在，说明理由。七、 应用题（共2题，满分17分）1（10分）设平面图形由，所围成，试求：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积。2（7分）设生产某种产品的数量与所用两种原料A，B的数量，间有关系式，欲用元购料，已知A，B原料的单价分别为元和元，问购进两种原料各多少，可使生产的产品数量最多？南京审计学院20102011学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共6个空，每空2分,满分12分）1设，则2由方程确定的曲线在处的法线方程为_3. 将展开成的幂级数