2014高考导数压轴题终极解答

1、页眉内容导数解答题专项、导数单调性、极值、最值的直接应用(3)(7).二、交点与根的分布三、不等式证明（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式(8)四、不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用（一）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围(13 )五、函数与导数性质的综合运用(16 )六、导数应用题(20 )七、导数结合三角函数书中常用结论：sin xsinx X,x （0,），变形即为 x 1，(21 )其几何意义为y si（0,）上的的点与原点连线斜率小于1. ex x 1 x ln(x 1) In x x ex, x 0 .一、导数单调性

2、、极值、最值的直接应用1. (切线)设函数f(x) x2 a.,l与x轴交于点 心,0)若a 0，试建立b关求a的取值范围。(1 )当a 1时，求函数g(x) xf (x)在区间0,1上的最小值；(2)当a 0时，曲线y f(x)在点pg, f (xJ)(X1,a)处的切线为I求证：x1 x2a .2. ( 2009天津理20,极值比较讨论)已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex(x R),其中 a R当a 0时，求曲线yf (x)在点(1,f (1)处的切线的斜率；2当a 时，求函数f (x)的单调区间与极值.31 2 23. 已知函数 f (x) x 2ax,g(x) 3a

3、 In x b.2设两曲线yf (x)与y g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同，于a的函数关系式，并求 b的最大值；若 b 0, 2, h(x) f (x) g(x) (2a b)x在(0,4)上为单调函数,4. (最值，按区间端点讨论)a已知函数f(x)=lnx.x(1) 当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；3若f(x)在1, e上的最小值为-，求a的值5. (最值直接应用)1 2已知函数f (x) x ax ln(1 x)，其中a R .2(i)若x 2是f(x)的极值点，求a的值；(n)求f (x)的单调区间；(川)若f (x)在0,)上的最大值是0,求a的取值范围.6. (

4、2010北京理数18)x已知函数 f (x)=ln(1+x)- x+ x2( k 0).2(i)当k=2时，求曲线y = f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(n )求f (x)的单调区间.7. (2010山东文21，单调性)1 a已知函数 f (x) ln x ax1(a R)x页眉内容1当1时，求曲线y f (x)在点(2, f (2)处的切线方程;当8.时，讨论f (x)的单调性2-道设计巧妙的好题，同时用到点存在性定理不好想，联系紧密已知函数若函数设直线X0,9.e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零)f(x) ln x,g(x)x + 10(X)= f (x)-x

5、- 1l为函数f (X)的图象上一点 A(X0, f(x0)处的切线，证明：在区间(1,+ 8)上存在唯一的，求函数gx)的单调区间;使得直线l与曲线y=g(x)相切.(最值应用，转换变量)2ax21 “(a x(1)讨论函数f (x)在定义域内的单调性； 当a ( 3, 2)时，任意 数m的取值范围.10.(最值应用) 已知二次函数g(x)对 x1f (x) g(x ) mln x2g(x)的表达式； x R，使 f (x)1 m e, H (x) H(X2)| 1.3是函数f x设函数 f (x)(2 a)ln xXi,x2 1,3,R都满足g(x980) (m In 3)a1) g(1

6、x)(m R , x 0 ).2ln 3 | f(xi)f (x2) |恒成立，求实x2 2x 1且g(1)1，设函数()求()若(川)设|H(G0成立，求实数 m的取值范围；f (x) (m 1)x，求证：对于x, X2 1,m，恒有11.设 x(1 )求a与b的关系式(用(2)设 a 0,g2.3 xx ax be , xa表示b )，并求f254R的一个极值点 x的单调区间；xe ,右存在 1, 20,4，使得f1成立，求a的取值范围12. f (x) (x若a若xx(x(1)(2)ax2,b1是函数f (x)的一个极值点，试求出a关于b的关系式(用b)e2，求函数f(x)的极值;R)

7、a表示b)，并确(3)定f (x)的单调区间；在(2)的条件下，设a 0，函数g(x) (a2 14)ex 4 若存在 | f ( 1) f ( 2) | 1成立，求a的取值范围.1 , 20,4使得13.(2010山东，两边分求，最小值与最大值)1 a已知函数 f (x) ln x ax 1 (a R).x页眉内容1当a g(X2),4求实数b取值范围.1 a14.设函数 f (x) In x ax1 .x(I)当 a1时，过原点的直线与函数f (X)的图象相切于点 P,求点P的坐标；(n)当 01 、 a时，求函数f (x)的单调区间；(川)当a125/时，设函数 g(x) x 2bx，若

8、对于X1 (0,e ,X2 0, 1312使f(xj g(X2)成立，求实数b的取值范围.(e是自然对数的底，e . 3 1) 15.(2010山东，两边分求，最小值与最大值)已知函数 f (x) xlnx,g(x)x2 ax 3.求f (x)在t,t 2(t0)上的最小值；1若存在x -,e ( e是常数，e = 2.71828)使不等式2f (x) g(x)成立，求实数a的取e值范围；证明对一切x (0,16.(最值应用),都有ln x1 2 、X 成立.e ex设函数 f(x) px q 2lnx，且 f (e) x求p与q的关系；若f (x)在其定义域内为单调函数，求qe -2，其中e

9、是自然对数的底数ep的取值范围;设g(x) ，若在1,e上至少存在一点X。，使得f(x) g(X0)成立，求实数P的取值范 x围.17.(2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题)1设函数 f(x) x aln x(a R).x讨论函数f ( x)的单调性；若f (X)有两个极值点0X2，记过点A(X1，f(X!), B(X2, f (X2)的直线斜率为k,问:是否存 在a，使得k 2 a ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.18.(构造函数，好，较难)、, 1 2已知函数 f (x) ln x ax (a 1)x(a R, a 0).2求函数f (x)的单调增区间；记函数F(x)

10、的图象为曲线C,设点A(x1, y1) B(x2,y2)是曲线C上两个不同点，如果曲线C上存在点M (xo, yo)，使得：x0则称函数F(x)存在“中值相依切线”12 ;曲线C在点M处的切线平行于直线 AB，219.(2011天津理19,综合应用已知a 0 ,函数f x ln x求f x的单调区间；若存在属于区间1,3的，)2ax ,0. (f x的图象连续)，且，证明:试问：函数f(x)是否存在中值相依切线，请说明理由ln 3 In 2 一 一 In 2w a w .5320.(恒成立，直接利用最值)已知函数 f (x) ln(ax 1) x2 ax,1若x 2是函数f (x)的一个极值点

11、，求讨论函数f(x)的单调区间；- 1若对于任意的a 1,2,不等式f x w m在丄,1上恒成立，求 m的取值范围 221. (最值与图象特征应用)x设a R，函数f(x) e (ax2 a 1)(e为自然对数的底数)2判断f(x)的单调性；1若f (x)2在x 1,2上恒成立，求a的取值范围.e22. (单调性)已知 f (x) =|n(x+2) x2+bx+c若函数f(x)在点(1 ,y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f( 1)=0，求函数f(x)在区间0,3 上的最小值；若f (x)在区间0,m上单调，求b的取值范围23. (单调性，用到二阶导数的技巧)已知函数f (x) l

12、n xf / x) a若F(x)(a R)，求F(x)的极大值；x若G(x) f(x)2 kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.二、交点与根的分布24. (2008四川22，交点个数与根的分布)已知x 3是函数f (x) aln(1 x) x2 10x的一个极值点.求a ；求函数f (x)的单调区间；若直线y b与函数y f (x)的图像有3个交点，求b的取值范围.3225. 已知函数f x x ax bx c在，0上是减函数，在0,1上是增函数，函数f x在R上有三个零点.(1) 求b的值；(2) 若1是其中一个零点，求 f 2的取值范围；(3) 若a 1，g x f x

13、3x In x,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线 y=g(x) 相切？请说明理由.26. (交点个数与根的分布)已知函数 f (x) x 8x,g(x) 6Inx m.求f (x)在区间t,t 1上的最大值h(t);是否存在实数 m,使得y f (x)的图像与y g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若 存在，求出 m的取值范围；若不存在，说明理由。27. (交点个数与根的分布)3 2已知函数 f (x) In(2 3x)x2.2求f(x)在0,1上的极值；1 1若对任意x ,不等式|a ln x | ln f (x)3x0成立，求实数a的取值范围；6 3若关于x的方程f(x) 2x b

14、在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.28. (2009宁夏，利用根的分布)已知函数 f (x) (x3 3x2 ax b)ex如a b 3，求f (x)的单调区间；若f (x)在(，),(2,)单调增加，在(，2),(,)单调减少，证明：v6.a 6.于是6.29. (2009天津文，利用根的分布讨论)1322设函数fxx x m 1 x x R ，其中m03当m 1时，求曲线y f x在点1,f 1处的切线的斜率求函数f x的单调区间与极值已知函数f x有三个互不相同的零点 0、x,、X2，且x, X2，若对任意的x 为兀，f x f 1恒成立，求m的取值范围.30. (200

15、7全国II理22,转换变量后为根的分布)已知函数f (x) x3 x (1) 求曲线y f (x)在点M(t, f(t)处的切线方程；(2) 设a 0,如果过点(a, b)可作曲线y f (x)的三条切线，证明： a b f (a)3231. 已知函数f x ax bx 3x a,b R在点1, f 1处的切线方程为y 2 0.求函数f x的解析式；若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1,x2都有f捲 f x2c，求实数c的最小值；若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数 m的取值范围.32.( 2011省模，利用的结论，转化成根的分布分题)a已知 a R，函数 f(x)

16、 Inx 1,g(x) (Inx 1)ex x,(其中 e 2.718)x(I) 求函数f (x)在区间0,e上的最小值；(II) 是否存在实数 怡 0,e，使曲线y g(x)在点x 人处的切线与y轴垂直？若存在，求 出x0的值；若不存在，请说明理由。33.已知函数f (x) x，函数g(x)f(x)sin x是区间-1，1上的减函数(I )求的最大值；2(II )若 g(x) tt 1在 X 1,1上恒成立，求t的取值范围；In x2(川)讨论关于X的方程Xf (X)2 exm的根的个数.三、不等式证明作差证明不等式34. ( 2010湖南，最值、作差构造函数)已知函数f (x) ln(x

17、1) x .(1)求函数f (x)的单调递减区间；1 若 x1，求证：1 ln(x 1) g(x).36. (2009全国II理21,字母替换，构造函数)2设函数f X x aln 1 X有两个极值点X1、x?，且为 他求a的取值范围，并讨论 f x的单调性；证明：占1 2ln 2f x24变形构造函数证明不等式37. (变形构造新函数，一次)已知函数 f (x) (a 1)l nx ax .试讨论f (x)在定义域内的单调性；| f (x1) f (x2) |.=当a V 1时，证明：x1,x2 (0,1),121求实数m的取值范围.| x, X2 |38. (2011辽宁理21，变形构造函

18、数，二次)已知函数 f(x) (a 1)lnx ax21.讨论函数f (x)的单调性；页眉内容设a 1，如果对任意XiX(0,), |f(xdf(X2)| 4 |xi X2 |，求a的取值范围39. (2010辽宁文21，构造变形，二次)已知函数 f (x) (a 1)lnx ax21.讨论函数f (x)的单调性；设a 0.设两曲线y = f(x) , y = g(x)有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b,并求b的最大值；设h(x) = f(x) + g(x) 8x，证明：若a 1,则h(x)在(0,)上单调递增；设 F(x) = f(x) + g(x)，求证：对任意 x1,x2 (0,

19、) , x1 g(x)恒成立，求实数 丄成立. e exa的取值范围;)，都有In x48.(2011陕西21,变形构造,反比例)设函数f (x)定义在(0,)上，f(1)0，导函数f (x)1-,g(x) f (x) f (x) . g(x) x(1 )求g(x)的单调区间和最小值；(2) 讨论与g()的大小关系；x0成立？若存在，求出 X0 的取值1(3) 是否存在x0 0，使得| g(x) g(x)|对任意xx范围；若不存在，请说明理由.“ J1 a l n x49.已知函数f (x)a R ,x(I)求f (x)的极值(n)若ln x kx 0在R上恒成立，求k的取值范围(川)已知x1

20、0,x20且x1x2e，求证x1x2x1x2ln x150.已知函数f(x)的图象为曲线 c,函数g(x) ax b的图象为直线l .x2(I )当 a 2,b3 时，求 F(x) f (x) g(x)的最大值;(n )设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为 捲，X2,且为X2,求证：(X1X2)g(x1 X2)2.51.已知函数f (X)1 2 1xx ln(x a)，其中常数a 04a若f (x)在X1处取得极值，求a的值；求f (x)的单调递增区间;1 1证明：1丄丄2357.已知 f (x)ax1已知 o a ,若 Xi, X2(a, a), xiX2，且满足 f (xi)f (X2)0

21、 ,试比较2f (xiX2 )与f (0)的大小，并加以证明。替换构造不等式证明不等式1 2752.(第3问用第2问)已知f (x) In x, g(x) x mx (m 0)，直线I与函数f (X), g(x)的图像都相切，且与函数f (x)的图像的切点的横坐标为1。(I) 求直线I的方程及m的值；(II) 若h(x) f (x 1)g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值。(III )当0 b a时，求证:f(ab) f(2a) b a.2a53.已知函数f x xln x、(I)求函数f x的单调区间；(n)若k为正常数，设g xf xf k x，求函数g x的

22、最小值;(川)若a 0，b 0，证明：f aa bln2 f a b f b、54. (替换构造不等式)ax b 已知函数f(x) 2 在点(1, f ( 1)的切线方程为x y 30 .x 1求函数f (x)的解析式；设g(x) lnx,求证：g(x) f(x)在x 1,)上恒成立；(反比例，变形构造) 已知0 a b，求证：ln b ln a 22a 2 .(替换构造)b a a2 b255. (替换证明)已知函数f(x)哑1.x(1)试判断函数f (x)的单调性；(2 )设m 0,求f (x)在m2m上的最大值；(3) 试证明：对任意n N*，不等式ln( J)e匕都成立(其中e是自然对

23、数的底数) nn56. (2010湖北，禾U用结论构造)b已知函数f(x) ax - c(a 0)的图象在点(1,f (1)处的切线方程为y x 1.x若f (x) Inx在1,)上恒成立，求a的取值范围；(反比例，作差构造)1nn ln(n 1) 斫1).(替换构造)K-2 2a(a 0)的图像在点(1,f(1)处的切线与直线 y 2x 1平行. x(1) 求a, b满足的关系式；)上恒成立，求a的取值范围;12n 1%2n11)如2222n 1n (r) N*)(2) 若 f(x) 2ln x在1,+58.已知函数 f(x) ln(x 1) k(x 1)(1)(2)1.(3)求函数f (x

24、)的极值点。若f (x)0恒成立，ln 38证明:ln23试确定实数ln 415k的取值范围。In n(n 4)(n 1)(nN,n 1).59.(替换构造) 已知函数f(x)求函数f (x)的单调区间； 若f (x) w 0恒成立，试确定实数ln(x1) k(x 1)1.k的取值范围;n证明：当x 2时，ln(x 1)x 2 :(一次，作差构造)lnii 1N ,n1).60.(2011浙江理22,替换构造)已知函数f(x) 2aln(1 x)求f (x)的单调区间和极值；x(a 0).求证：4lg elge2lg e3lgen(1 n)nlge (n 1) (n N).61.(替换构造)已

25、知函数f (x) ex求函数f (x)的最小值； 若f (x) 0对任意的xax1(a0,e为自然对数的底数).R恒成立，求实数a的值；1 2 n 1在的条件下，证明：(一)n (-)n()nn nn四、不等式恒成立求字母范围(一次，作差构造)(卫)n (其中nn e 1N*).恒成立之最值的直接应用62. (2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用)x已知函数f(x) (x k)2ek。求f (x)的单调区间；_ 1若对于任意的x (0,)，都有f (x) w ,求k的取值范围.e63. (2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第 3问带有小的处理技巧)a已知函数f x xb

26、 x 0，其中a, b R.x若曲线y f x在点P 2, f 2处切线方程为y 3x 1,求函数f x的解析式;讨论函数f x的单调性；x 10在丄,1上恒成立，求b的取值范围41若对于任意的a -,2，不等式264. (转换变量，作差)已知函数f(x) (x2 a)ex.若a 3，求f(x)的单调区间;页眉内容已知Xi必是f(x)的两个不同的极值点，且|Xi X2I IX1X2I ,若33 23f(a) a a 3a b恒成立，求实数b的取值范围。2恒成立之分离常数65. (分离常数)a已知函数f(x) ln x 1,a R.X(1)若y f (x)在P(1,y)处的切线平行于直线 y x

27、 1，求函数yf (x)的单调区间;若a 0 ,且对x (0, 2e时，f (x)0恒成立，求实数a的取值范围66. ( 2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数)2已知函数f(x) ex ax 1,(其中a R,e为自然对数的底数) 2(1)当a 0时,求曲线y f (X)在(0, f (0)处的切线方程；当x 1时若关于x的不等式f (X) 0恒成立，求实数a的取值范围 (改 x 0 时，f (x) 0 恒成立.a 0,上存在极值，求实数 a的取值范围;2k(n)如果当x 1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围；x 169. (2010湖南，分离常数，构造函数)已知函数f(x)

28、 x2 bx c(b,c R),对任意的x R,恒有f (x) 0时，f (x) (x c)2;1 1n(x 1)若对满足题设条件的任意 b、c,不等式f (c) f (b) 0时f (x)恒成立，求正整数k的最大值.x 171. (恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理)已知函数 f(x) 1 ln(x 1)(X 0).页眉内容(I)试判断函数 f (x)在(0,)上单调性并证明你的结论；k(n)若f (x)恒成立，求 整数k的最大值；(较难的处理)x 1(川)求证:(1+1 2)(1+2 说1 + n(n+1)e2n一372. (分离常数，双参，较难)已知函数f (x) (x3 6x2 3

29、x t)ex, t R.(1) 若函数y f(x)依次在x a,x b,x c(a b c)处取到极值.求t的取值范围；若a c 2b2，求t的值.(2) 若存在实数t 0,2，使对任意的x 1,m，不等式 f(x) x恒成立.求正整数m的 最大值.73. (2008湖南理22，分离常数，复合的超范围)2已知函数 f (x) ln2(1 x).1 x求函数f (x)的单调区间；1n a若不等式(1 -) m x对所有的a 0, x 1,e2都成立，求实数 m的取值2范围.恒成立之讨论字母范围76. (2007全国I，利用均值，不常见)设函数f (x) ex e x.证明：f (x)的导数f (

30、x) 2 ；若对所有x 0都有f (x) ax，求a的取值范围.77. 设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F (x)=f (x) g(x).(I)若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(n )当 a=1 时,设 P(X1,f(X1), Q(X2, g(x 2)(X10,X20),且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离；(川):若xO0寸，函数y=F(x)的图象恒在y=F( x)的图象上方,求实数a的取值范围.78. (用到二阶导数，二次)设函数 f(x) ex kx求k的取值范围；kx 1 若对任意的x 0，都有ex 1 x 1 (e是自然对数的底)，求满足条件的最大

31、k的值。86. (2008山东卷 21) x.2若k 0,求f(x)的最小值；若当x 0时f(x) 1，求实数k的取值范围79. (第3问设计很好，2问是单独的，可以拿掉)已知函数f(x) b(x 1)1 nx x 1，斜率 为1的直线与f (x)相切于(1,0)点.(I)求h(x) f (x) x l nx的单调区间；1 2(n)当实数0 a 1时，讨论g(x) f(x) (a x)ln x ax的极值点。2(川)证明：(x 1)f (x)0.80. (2011全国I文21,恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧) 设函数 f (x) x ex 1 ax2.1若a =丄，求f (x)的单调区间

32、；2若当x 0时f (x) 0,求a的取值范围.81. (2011全国新理21,恒成立，反比例，提出公因式再处理的技巧，本题的创新之处是将一 般的过定点(0,0 )变为过定点(1,0 )，如果第2问范围变为x 1则更间单)已知函数f(x)b在点(1,f (1)处的切线方程为x 2y 30.x 1 x求a、b的值；ln x k如果当x 0,且x 1时，f(x)，求k的取值范围。x 1 x82. (恒成立，讨论，较容易，但说明原理)已知函数f(x) (x 1) alnx.(1) 求函数f (x)的单调区间和极值；(2) 若f (x) 0对x 1,)上恒成立，求实数a的取值范围.83. (2010新

33、课程理21,恒成立，讨论，二次，用到结论ex 1 x )设函数 f(x) ex 1 x ax2.若a 0 ,求f (x)的单调区间；若当x 0时f(x) 0，求a的取值范围.84.设函数fx 1x e .证明：当x-1时，xf xx 1设当x0时，f xx，求a的取值范围ax 1已知函数f(x)kx1，且函数f x是 1,85.(恒成立，2010全国卷2理数，利用结论，较难的变形讨论)x 1上的增函数。整数1已知函数f(x)n aln(x 1),其中n N*,a为常数.(1 x)当n=2时，求函数f(x)的极值；当a=1时，证明：对任意的 正整数n,当x 2时，有f(x)w x 1.五、函数与

34、导数性质的综合运用87. (综合运用)已知函数f(x) xex(x R)求函数f (x)的单调区间和极值；已知函数 y g(x)的图象与函数f(x) g(x)如果为x2，且f (x,) f (x2),88.(2010天津理数21,综合运用x 1已知函数f (x) b(x R). e求函数f (x)的单调区间和极值；已知函数y g(x)对任意x满足g(x)如果X1 X2，且f(xj f(X2)，证明:x 1xef (x)的图象关于直线x 1对称，证明当 x1时,89.已知函数f(x)证明)X1f(4xx22x)，证明：当x24.2 时，f(x) g(x);(1)f (x)的单调区间和极值；90.

35、求函数若函数y g(x)对任意x满足g(x) 若为 X2，且f(xj fX)，求证:x已知函数 f(x) In(x 1),g(x) ef (4 x),求证：当x x2 4.1 ,2, f (x)g(x);(I)若F(x) f(x) px，求F(x)的单调区间；(n)对于任意的 X2 X1 0,比较f(x2) f (x1)与g(x2 X1)的大小，并说明理由.91.(2011辽宁理21,利用2的对称)已知函数 f (x) ln x ax2(2 a)x.讨论f (x)的单调性；设a 0 ,证明：当0 x11时，f(x)aa1f (x)；(作差)a若函数y f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段A

36、B中点的横坐标为x0，证明：f (X0) 0.92. (恒成立，思路不常见)x a已知函数f (x)，其中a为实数.lnx(1)当a 2时，求曲线y f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；是否存在实数a，使得对任意x (0,1)(1,) , f (x). x恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出 a的值并加以证明.93. 已知函数g(x) ax2 2ax 1 b(a 0,b1)，在区间2, 3上有最大值4,最小值1,设f(x)四.x(I)求a,b的值；(n)不等式 f(2x) k 2x 0 在 x1,1上恒成立，求实数 k的范围;3) 0有三个不同的实数解，求实数k的范围.94.1已知函数 f (x)(1 -)1 In(x 1),设 g(x)xx2 f (x)(x 0)(川)方程f(|2x 1|) “归2刁(1) 是否存在唯一实数 a (m,m 1),使得g(a) 0,若存在，求正整数m的值；若不存在， 说明理由。(2) 当