脉冲编码调制 1-1

1、参考：第 5-7-8 章 基带数字信号及其传输1 1、 PCMPCM系统组成系统组成LPF抽样抽样编码编码量化量化模拟信源模拟信源x(t)x(nTs)xq(nTs)发定时发定时信道信道ADC判决再生判决再生译码译码LPF收定时收定时信道信道PCM信号噪声信号噪声PCMxq(nTs)模拟终端模拟终端)t(x DAC故，故，PCM系统系统可以视为由模可以视为由模/数变换器和数数变换器和数/模变换器所组成模变换器所组成注：发送端滤波器的作用是为了限制信号注：发送端滤波器的作用是为了限制信号 的频率的频率带宽，所以会引入一定的失真带宽，所以会引入一定的失真; ;系统中重建信号系统中重建信号 的失真，主

2、要来源于的失真，主要来源于以及信以及信道传输的道传输的)t (x )(tx抽样定理是模拟信号数字化的理论基础，其实质是对抽样定理是模拟信号数字化的理论基础，其实质是对连续时间模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此连续时间模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此离散序列样值重新恢复原始模拟信号的问题离散序列样值重新恢复原始模拟信号的问题5.1 抽样的物理过程n一个频带限制一个频带限制在在内的连续信号内的连续信号 ，如，如果抽样频率果抽样频率 大于或等于大于或等于 , ,则可以由抽则可以由抽样序列样序列 无失真地重建恢复原始信无失真地重建恢复原始信号号 。Hf , 0)(txsfsnTx)(txHf

3、2设设 为低通信号，抽样脉冲序列是一个周期性冲激函为低通信号，抽样脉冲序列是一个周期性冲激函数数 。抽样过程是。抽样过程是 与与 相乘的过程相乘的过程 )(tx)(tT)(tT)(tx)()()()()(ssTsnTtnTxttxtx即抽样后信号：即抽样后信号：对应对应抽样后信号抽样后信号频域表示频域表示( (由频域卷积定理可知由频域卷积定理可知) ) ： nsSnsSTS)nww(XT1 )nww(*)w(XT1)w(*)w(X21)w(X )(tT)(tx)(txs)(wT)(tx)(wXswHwswHw)(wXS0T)(txsT)(tTHwHw0其中其中, , 为低通信号的频谱为低通信号

4、的频谱. .)()(21)(TsXX)(X)(2)(nssTnT)n(XT1)n()(XT1)(Xnssnsss 所以所以 因此在因此在 条件下，条件下， ，于，于是经过截止频率为是经过截止频率为wH( (或或wS / 2) )的理想低通滤波器可无失的理想低通滤波器可无失真地恢复出原始信号真地恢复出原始信号. .Hsww2)(sX 所得的已抽样信号的频谱所得的已抽样信号的频谱是是抽样后，信号抽样后，信号经过传递函数为经过传递函数为 的理想低通滤波器后，其频谱为的理想低通滤波器后，其频谱为)(HHssoHXX )()()(其中，低通滤波器其中，低通滤波器 , 0 , 1)(HHH ttsinT1

5、ttsin)(HF)t(hHHs)f2T1f(HHH1Hss 取取的单位冲激响应为的单位冲激响应为)(1)(nsssnXTX从时域上看，重建信号可以表达为从时域上看，重建信号可以表达为nsHsHssnssHHssnTtnTtnTxTnTtnTxttTtxthtx)()(sin)(1 )()(sin1)()()( 上式为用时域表达重建信号公式称为内插公式内插公式，式中 称为核函数核函数_简写成Sa( (wHt t) )ttsinHH 用核函数表示重建信号用核函数表示重建信号HwHw)w(XSO)t (xs低通滤波器低通滤波器HwHw)(wH)( tx nsHsHssnTtnTtnTxTtx)()

6、(sin)(1 )( 如果连续信号的频带不是限于如果连续信号的频带不是限于 ，而是在，而是在 之间之间，抽样频率应为多少？，抽样频率应为多少？先分析一种特殊情况先分析一种特殊情况Hf0HLff设带通信号设带通信号 的频谱的频谱 如图如图a a，该信号的特点是该信号的特点是（显然最低频率（显然最低频率 也是也是B B的整数倍）的整数倍）)(tx)(XHfLf选取抽样频率选取抽样频率 ，抽样脉冲（周期冲激函数），抽样脉冲（周期冲激函数） 的频谱的频谱 如下图如下图b bBfs2 )(tT)(wT所得的已抽样信号的频谱是所得的已抽样信号的频谱是分别分别，图，图c c由频域卷积定理可知由频域卷积定理可

7、知)()(21)(TsXXsf)(txn由图由图c c可见，恰好使可见，恰好使 中的边带频谱不重叠，可以通过中的边带频谱不重叠，可以通过理想带通滤波器理想带通滤波器重新获得重新获得 。从而恢复。从而恢复n上述说明：上述说明：n带通信号的抽样频率并不要求达到带通信号的抽样频率并不要求达到 , ,只要求为带通信号只要求为带通信号带宽带宽B B的两倍的两倍. .n如果如果 ， 中势必造成频谱重叠，故不能恢中势必造成频谱重叠，故不能恢复复 ，即说明，即说明 是是. .Bfs2)(wXs)(txBfs2Hf2)(wX)(tx)(wXs)(wX)(wXs图图a a图图b b图图c c)(wTBfs2 nB

8、fH 1122B若若 fS =2B，使使X (w)与与 作卷积，得到作卷积，得到Xs(w)如图如图b所示所示nBfHnBfH图图a a图图b b图图c c22n1)(wTXs(w)Xs(w)2n-121212n即即 ; 0k1 , n是小于是小于fH /B的最大整数的最大整数 频谱频谱1 1和右移和右移n n次后的频谱次后的频谱2n：如使频谱如使频谱2n再向右移再向右移 2() ，频谱，频谱2n 则刚好不与频谱则刚好不与频谱1 1重叠，如图重叠，如图c c 1nB)1n(2f2H 由于频谱由于频谱2 2移到移到2n的位置共移了的位置共移了n n次，所以每次只需比次，所以每次只需比2B多移多移这

9、样，得到带通信号的最小抽样频率为这样，得到带通信号的最小抽样频率为n)nBf(2B2fHs 2()nBfHnBfH图图a a图图b b图图c c22n1Xs(w)Xs(w)2n-121212n1nB)1n(2f2H 若将频谱若将频谱2 2n-1n-1向右移向右移2得第一选择区最高抽得第一选择区最高抽样频率为样频率为2HHs)1n()BnBf(2n)nBf(2B2f nBfHnBfH图图a a图图b b图图c c22n1Xs(w)Xs(w)2n-121212n1nB)1n(2f2H 2n-11n-11n将将 代入上式得代入上式得kBnBfH2ss)1n(B)1k(2)nk1(B2f)nk1(B2

10、f 形成一个抽样频率选择区形成一个抽样频率选择区将频谱将频谱2 2n-1n-1再向右移再向右移 又会得到新的抽样频率选择区下限又会得到新的抽样频率选择区下限1nB)1n(B)1k(2)nk1(B2f2s 直至频谱直至频谱2 21 1移过频谱移过频谱1 1，得到低频抽样频率下限，得到低频抽样频率下限Hsf2f n)nBf(2B2fHs 2HHs)1n()BnBf(2n)nBf(2B2f B 2B 3B 4B 5B 6Bk/n=1k/n=1/2k/nk/nk/nBBnkBfBBkBBfsH42)1 (2;210k1n；时，当BBkBfBBkBBfsH32)21 (2;32210k2n；时，当BBk

11、BfBBkBBfsH3222)31 (2;43310k3n；时，当可见可见: :随着随着n的增大，不论的增大，不论fH是否为是否为B B的整倍数的整倍数，也也近似等于近似等于2ss)1n(B)1k(2)nk1(B2f)nk1(B2f 上面画出了上面画出了fSfH以以k为参变量的特性曲线为参变量的特性曲线kBnBfH 教材符号教材符号：n N ; k M . 理想的冲激序列理想的冲激序列 不能实现，而实际抽样脉冲为窄带不能实现，而实际抽样脉冲为窄带脉冲序列脉冲序列. . 其中脉宽期间其幅度随信号幅度变化的称为其中脉宽期间其幅度随信号幅度变化的称为 脉宽期间其幅度不随信号幅度变化的称为脉宽期间其幅

12、度不随信号幅度变化的称为a 自然抽样自然抽样b 平顶抽样平顶抽样)(tTX(t)的样值的样值设抽样脉冲序列设抽样脉冲序列 ，其中，其中 是任意形状是任意形状的脉冲。自然抽样时，抽样过程实际是的脉冲。自然抽样时，抽样过程实际是。即。即 设设 为矩形脉冲，宽度为为矩形脉冲，宽度为 ，幅度为，幅度为A A，则则 可以展可以展成傅氏级数成傅氏级数: :c c( (t t) )的频谱为的频谱为)()(snnTtptcnssSnwwnwSaTAwC)()2(2)()(tpnssnTtptxtctxtx)()()()()()(tc ntjnsSsenwSaTAtc )2()()(tpTS 为抽样间隔为抽样间

13、隔 p(t) A t因此，自然抽样后信号的时域表达式：因此，自然抽样后信号的时域表达式：频谱频谱)()()(tctxtxs nsnnssSsnXCnwwXnwSaTAwCwXX)(, )()2()(*)(21)( 与理想抽样频谱与理想抽样频谱 相比，只差一个常数相比，只差一个常数Cn，而而Cn只是随只是随n n而变，而变， 只要只要 就不会发生频谱重叠，已就不会发生频谱重叠，已抽样信号的频谱包络按抽样信号的频谱包络按 函数逐渐衰减函数逐渐衰减, ,从下图可知，从下图可知，采用低通滤波器就可以从采用低通滤波器就可以从 中滤出原频谱中滤出原频谱 。)( nssnXT1 Hsw2w )(xSa)(w

14、XS)(wX)2( sSnnwSaTAC )2( sSnnwSaTAC nsnnssSsnXCnwwXnwSaTAX)(, )()2()( )(txs)(tx)(wX| )w(X|S)(tC)w(CHsw2w 2 2平顶抽样中，每个抽样脉冲顶部不随信号变化。在实际平顶抽样中，每个抽样脉冲顶部不随信号变化。在实际应用中，平顶抽样是采用抽样保持电路来实现的。应用中，平顶抽样是采用抽样保持电路来实现的。平顶抽样可以看成是理想平顶抽样可以看成是理想抽样后再经过一个冲激响抽样后再经过一个冲激响应为矩形的网络来形成的应为矩形的网络来形成的nsssssfnTthnTxdthxthtxtx)()()()()(

15、)()(nsTsnTttxttxtx)()()()()( 因为 不是常数，而是的函数，所以由 加权后的，这种频谱失真称为，因而不能直接使用低通滤波器滤出原始信号x(t)。若若: : 0, 2 A,)(其他tthssssfTHnXHXX)()()()()(矩形脉冲形成网络的传递函数：矩形脉冲形成网络的传递函数：2/)2/sin()(AH)(HnsssfXTAX2/)2/sin()()(2/)2/sin()(AHnsSSnsTsTnTXXnTttxttxtx)2(2)(21)()()()()()(在接收端低通滤波之前，使用特性为在接收端低通滤波之前，使用特性为 的网络的网络加以修正，则低通滤波器的

16、输入信号频谱变为加以修正，则低通滤波器的输入信号频谱变为 )(1H再通过低通滤波器便能无失真的恢复再通过低通滤波器便能无失真的恢复X(w)nssfsnwwXTswXwHwX)2(1)()(1)()(1wHXS(w)低通滤波器低通滤波器X(w)Xsf(w)脉冲编码调制过程的波形图如下图所示：其目的是完成脉冲编码调制过程的波形图如下图所示：其目的是完成模数转换，实现连续消息的数字化传输。模数转换，实现连续消息的数字化传输。其中量化过程是：用有限状态的数字信号表示无限个模其中量化过程是：用有限状态的数字信号表示无限个模拟抽样值的过程拟抽样值的过程例：例：n=3, L=23=8 模拟信号抽样后，抽样值

17、仍是随信号幅度连续变化。当模拟信号抽样后，抽样值仍是随信号幅度连续变化。当这样的抽样值通过有噪信道传输后，接收端得到的是被噪这样的抽样值通过有噪信道传输后，接收端得到的是被噪声污染了的抽样值，因而不能准确估计发送端的抽样值。声污染了的抽样值，因而不能准确估计发送端的抽样值。可以用量化方法，即可以用量化方法，即。PCM编码过程简介编码过程简介1111101011000110100010002 4 5 30 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 单极性单极性PCM码码重建电平重建电平yk分层电平分层电平xk量化间隔量化间隔k量化误差量化误差q抽样电平抽样电平 t0 x(t) 量化误差量化误差

18、: q = x y=x - Q(x)量化噪声量化噪声: (均方误差均方误差)双极性中升型均匀量化双极性中升型均匀量化dxxpxQxxQxExq)()()(222 x(t) 幅度分布幅度分布px(x)量化电平量化电平定义：定义：是一种由无限不可列集合到有限集合的映射是一种由无限不可列集合到有限集合的映射 Q( ) x y k k=1,2,L 量化器 模拟输入量化值量化器Q输出L个量化值 ，这L个量化值常称为，当输入信号落在 之间时，输出 .L.,1,2,.k ,kyky1kkxx 与ky x k x k+1 x k+2 y k 分层电平 n2L x k +1 x k +2 y k 分层电平x k y k+1y k+1重建电平重建电平这里