7自适应滤波器

1、第七章第七章自适应数字滤波器自适应数字滤波器Adaptive Filters第一节第一节引言引言一、自适应一、自适应DF 60年代以后才出现，发展很快。 所谓自适应DF：利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。 这个概念是从仿生学中引伸出来的，生物能以各种有效的方式适应生存环境，生命力极强。二最小均方误差（LMS） 自适应DF：以均方误差最小为准则，能自动调节单位脉冲响应h(n),以达到最优滤波的时变最佳DF也即：参数会变参数会变，随着外界参数变化自动调节，使滤波器效果最佳。 19571966年美国通用

2、公司应用于天线，为了抑制旁瓣而提出。 奠定自适应滤波器的人是：美国B.Windrow 及Hoff：提出自适应DF算法，主要用于随机信号处理。三、目的 设计自适应DF，可以不必预先知道信号与噪声的自相关函数。 在滤波过程中，即使信号与噪声的自相关函数随时间缓慢变化，DF也能自动适应，自动调节到满足均方误差最小的要求。四、自适应发展前景11、广泛用于系统模型识别如系统建模：其中自适应滤波器作为估计未知系统特性的模型。2、通信信道的自适应均衡如：高速modem采用信道均衡器：用它补偿信道失真，modem必须通过具有不同频响特性而产生不同失真的信道有效地传送数据，则要求信号均衡器具有可调系数，据信道特

3、性对这些系数进行优化，以使信道失真的某些量度最小化。又如：数字通信接收机：其中自适应滤波器用于信道识别并提供码间串扰的均衡器。四、自适应发展前景23、雷达与声纳的波束形成如自适应天线系统，其中自适应滤波器用于波束方向控制，并可在波束方向图中提供一个零点以便消除不希望的干扰。4、消除心电图中的电源干扰如：自适应回波相消器，自适应噪声对消器：其中自适应滤波器用于估计并对消预期信号中的噪声分量。5、噪声中信号的滤波、跟踪、谱线增强以及线性预测等。五、目前常见的自适应滤波器 由于设计简单、性能最佳，自适应DF是目前数字滤波器领域是活跃的分支，也是数字滤波器研究的热点。 主要自适应滤波器：递推最小（RL

4、S）滤波器，最小均方（LMS）滤波器，格型滤波器、无限冲激响应（IIR）滤波器。第二节最小均方误差（LMS)自适应DF的基本原理一、均方误差 用统计方法，大量数求平均，提出均方误差最小准则，即输出信号与进行信号之间误差最小。其定义为：22)( )()(nsnsEnE测量数据越多，则越准确。h(n)x(n)=s(n)+w(n)( )(nsny其中s(n)信号（可以是随机信号或规则信号。10)()()()()(Nmmnxnhnxnhny输出：二、自适应DF基本原理1.自适应DF的原理框图自适应数字滤波器参考输入-+d(j)(j)原始输入x(j)y(j)x(j)表示j时刻的参考输入，y(j)表示j时

5、刻的输出响应;d(j)表示j时刻的原始输入信号，即所期望的输出响应；(j)为误差信号=d(j)-y(j);2、自适应DF的原理(1)自适应DF的h(n)单位脉冲响应受(j)误差信号控制。(2)根据(j)的值而自动调节，使之适合下一刻(j+1)的输入x(j+1)，以使输出y(j+1)更接近于所期望的响应d(j+1),直至均方误差E2 (j)达到最小值.(3)y(j)最佳地逼近d(j)，系统完全适应了所加入的两个外来信号，即外界环境。注意： x(j)和d(j)两个输入信号可以是确定的，也可以是随机的，可以是平稳的随机过程，也可以是非平稳的随机过程。从图中可见：自适应DF是由普通DF+相关抵消回路构

6、成。3、ADF实现可以由FIR DF或IIR DF实现。但由于收敛性及稳定性，目前用得多为FIR DF 实现。FIR滤波器结构有：横向型结构(直接型)（Transveral Structure)对称横向型结构(Symmetric Transveral Structure)格形结构(Lattice Structure)4、FIR ADF实现 若FIR DF的单位脉冲响应长度为，则其输出为 可见:(1)是个现在或过去输入值的加权和.(2)加权系数就是h(m)。(3)在自适应DF中，这个加权系数常用符号wj表示,时间用j表示.(4)则输出可表示为： (5)自适应DF可变成自适应线性组合器。10)()

7、()(NnmnxmhnyNiiijxwjy1)()(5、FIR ADF的框图（也即自适应线性组合器）自适应算法.x1jx2jxNj+-d(j)(j)y(j)w1w2wN 若设x1j, x2j , x3j xNj ,为同一信号的不同延时组成的延时线抽头形式，即所谓横向FIR结构。它是最常见的一种自适应DF结构形式。 一般来讲x1j, x2j , x3j xNj , 可以是任意一组输入信号，并不一定要求当时x1j = xj, x2j= x(j-1),x3j= x(j-2) ，xNj= x(j-N+1) ，即并不要求各xi(j)是由同一信号的不同延时组成.6、横向FIR ADF的结构自适应算法.x(

8、j)x(j-1)x(j-N+1)+-d(j)(j)y(j)w1w2wN 若设x(j), x(j-1) , x(j-2) x(j-N+1)j ,为同一信号的不同延时组成的延时线抽头形式，即为横向FIR结构。它是最常见的一种自适应DF结构形式。 AFy(j)(j)x(j)简化符号为7、由横向FIR AF组成的自适应系统.x1(j)x2(j)xN(j)+-d(j)(j)y(j)w1w2wNAFAFAF 当所处理的输入信号x1(j), x2(j) , x3(j) xN(j)来自不同的信号源时，它实际上就等于自适应线性组合器。三、寻找E2(j)=min时的各wi值 自适应DF的要害在于按照(j)和各xi

9、(j)的值，通过某种算法寻找出E2(j)=min时的各wi值，从而可自动地调节各wi值。1.写出均方误差的式子 首先我们推导出自适应线性组合器均方误差E2(j)与加权系数wi的关系式。 )()()()()()()()()(,321)()()()(2110jXWjdjyjdjjxjxjxjXwwwWjXWWjXjxWjyTNTNnTii求均方误差：此处大写代表矩阵式中：写成矩阵形式：2.x(j)信号与d(j)信号的自相关函数的自相关函数是的自相关矩阵称为输入信号）（令)()0()()()0()0(0)0()0()0()0()0()()(221222111211221222111221jdjdEj

10、xRxxxxxxxxxxxxxxEjXjXERddxNxNxNxxNxxxxxxNxxxxxjNjNjjNjjjjjjNjjjT3.x(j)信号与d(j)信号的互相关函数0)()0(),0(),0()()()()()()()()(12121mmmjxjdjxjdjxjdEjXjdEPdxTxNddxdxN为时间差，同一时间相关函数，与期待输出的信号的互为输入信号在随机过程中令：4.求出E2(j)与wi的关系 单个值单个值单个值行方阵列列行单个值均方误差为：代入式中求得，将)0( 2)()()0()()()()()()()()()(2)()()()()(2)()()()(2222222ddTTd

11、dTTTTTTTWRWWPjdEjEjdEjXjXERjXjdEPWjXjXWEWjXjdEjdEWjXjXWjXWjdjdEjXWjdEjE5.求出自适应滤波器的E2(j)与wi的关系11111122211122)(2)()0()()0(2)0()0()(1)0(2)0()0( 2)()(NiNmNidixxmiddxdxxddNiNmNidxixxmiddTTiWmiWWjEFIRWWjENWWWWRWWPjdEjEimi数字滤波器有横向不难证明，对于自适应时，只有一个信号当由于均方误差为：第二节性能函数E2(j)及其梯度一、研究E 2(j)与W的关系 11111122)(2)()0(2)

12、()(NiNmNidixxmiddTTiWmiWWWRWWPjdEjE由于均方误差为：看出：均方误差E 2(j)是加权系数W的二次函数，它是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小值的函数。二、E 2(j)与W的关系曲线)(2jE)(22jE)(12jEAB调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降到最小值。w)(2jW)(1jW三、梯度法 在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量 的各元素 得到这个均方误差E 2(j)的最小值。1.均方误差梯度 将对上式 均方误差对权矢量的各wi进行求导，得到均方误差梯度：NdwjdEdwjdEj)()()(212)(2jE2.求最佳权矢量（用

13、w*表示） （1）对均方误差梯度求导 00 , 0 , 12012)(00 , 0 , 100 , 0 , 1010100 , 0 , 10120)(0)(1212WRPdwjdERRRWRRWRWRWWRPdwjdEjTTTTTTTTT为对称方阵，即：求最佳权矢量，则令（2）求出均方误差梯度表示式 2222)(22)(22)(22)(00 , 0 , 12012,222211211PWRWRPjWRxddwjdEWRxddwjdEWRxddwjdEWRWRxdPxdxdPNjNjNjjjjjjTjNjjjT均方误差梯度为：以此类推：个元素第第二元素第一元素第一元素（3）维纳-霍夫方程霍夫方程

14、这是著名的维纳或达最佳值。为最小，时，当均方误差梯度为：)(0)( 2 2 2 2)(1*2PRWPWRWjEjPWRWRPj(4)最小均方误差算法,)()(*221*WPRPWjdEjEPRW即可以求出已知最小误差为：最小权矢量为： 实际上，设计自适应DF无需知道R和P。自适应DF与维纳（平稳随机过程）DF比较，其差别在于增加了一个识别控制环节，将输出y(j)与所期望的响应d(j)比较，看是否一样，如果有误差(j)，用(j)去控制w,使w为E2(j)=min时的W*. 因此，关键：找到LMS算法，寻找一个W的递推式，由W=W0，起始值开始，沿着趋于W*的正确方向逐步递推，直至W=W*，E2(

15、j)=min为止。这就是最小均方误差算法，简称LMS算法。第三节LMS递推算法 寻找一个W的递推式，由W=W0，起始值开始，沿着趋于W*的正确方向逐步递推，直至W=W*，E2(j)=min为止一、LMS算法递推式 LMS递推算法是Windrow与Hoff两个提出的。 设w(j)是j时刻的权矢量，w(j+1)是j+1时刻的权矢量； 则LMS算法的递推公式为： 式中0, 是一个控制稳定性与收敛速度的参数。 因为E2(j)是权矢量W的二次方程，即E2(j)与W的关系在几何上是一个“碗形”的多维曲面。时刻的均方误差梯度。是jj :)()()()1(jjWjW指引正确的递推方向。导向参数是,:)(jj二

16、、自适应过程的物理意义)(2jE)(22jE)(12jEAB)(2jW)(1jW点。即碗底：。，去寻找“碗”的底点连续地调节，据递推式自适应的物理意义：根*2, 0)()()() 1(wwdwjdEWjjWjWW 为了简单，设W是一维的，则E2(j)与W的关系成为一个抛物线。三、自适应递推算法的递推过程1、步骤1右边。必在则时，当左边。必在则时，设当WjWdwjdEjWWWjWdwjdEjWWjwwjww)(, 0)()()(, 0)()()(22)(21212.步骤2.) 1() 1)(, 0)()()() 1(, 0) 122*2*2)(2211*12WjWjWWjWWWjWdwjdEjW

17、WWjWjWwWjWWjww（应为，更接近于（值为了使下一个右边。必在即时，如果设，更接近（值为了使下一个3.步骤3-合并TNjWWdWjdEdWjdEdWjdEjjWjjWjWjWjWjWWWjWdWjdEjWjW)()()()()()()()1()(.)()1()(,0)()()1(,22212*)(2，可用矩阵表示：是多维的情况时，梯度当表示：用梯度更接近于比值都能使下一个左边或右边，在不论原来式中得：将上两式合并4.步骤4-结论*2*)()1(0)()()1()()()()()1(WjWjWjjjWWWLMSjEjWWjjWjW，当确定。靠扰的步距由的方向向碗底靠扰。将沿着时，根据上式

18、，当。算法也称为最陡下降法因此下降最快的方向。代表因为这一点。可以找到由：四、LMS自适应滤波器递推公式（1）LMS算法如何实时处理及实现的无偏估计是，得出的数学期望代入上式，得：得又的估值，有：作为均方误差的梯度（用单样本怎样处理呢？参数，不能实时计算，是个集合平均的，可知：由：)()()()()()()(2)()()(,)(,)(),()()()(,)(,)()(2)(,)(,)()()()()()()() 1(21)(21)(222122jjjjEjjXjjjXdWjddWjddWjdjXWjdjdWjddWjddWjdjdWjddWjddWjdjjjjjjjWjWTNTTjWWNTjW

19、WN（2） LMS自适应滤波器递推公式的结构图。也可由此设计硬件实现型，软件实现的编程数学模它们就是自适应）可按上式递推计算，（，）给定输入（可任意设置。）（）起始条件（式中：自适应滤波器递推公式得出一组代入方程中将上式：由误差方程：DFjxjxjxWWWLMSjXjjWjWjXjjWjWjXjjjjWjWNNNNN3)(),()(2)0(,),0(,01.)()(2)() 1()()(2)() 1()()(2)()()() 1(2121111五、自适应滤波器的主要结论（1）低。误差最大，估计精度最时不相关时，互相关系数与当)()(, 00)()()()(2min21*jdEjEPRWjXjd

20、EPjdjX 2)()(22WRWWPjdEjETT因为均方误差为：五、自适应滤波器的主要结论（2）高。误差减少，估计精度提则相关时，与当)()()()()(2*221*jdEPWjdEjEPRWjdjXT 2)()(22WRWWPjdEjETT因为均方误差为：五、自适应滤波器的主要结论（3）高。，最准确，估计精度最均方误差为则时，即阶数完全相关时，与当00)(0)()()()()()(1)()(1)()(21*jEjyjdjjdjxjyPRWRPjdjXNjdjX 2)()(22WRWWPjdEjETT因为均方误差为：五、自适应滤波器的主要结论（4） 自适应数字滤波器是个线性系统，时变，服从

21、叠加原理。第四节 自适应数字滤波器的应用 自适应滤波器最重要特性：能有效地在未知环境中跟踪时变的输入信号，使输出信号达到最优。因而在电信，雷达，声纳，实时控制以及图象处理等领域都有成功的应用。一、应用介绍 自适应数字滤波器的应用非常广泛，这里介绍四种。 一、自适应噪声抵消器； 二、自适应陷波滤波器； 三、自适应预测系统。二自适应噪声抵消器1、自适应噪声抵消器引入 固定参数的数字滤波器利用自身的传输特性来抑制信号中的干扰成分，消除干扰的效果受到很大的限制。 若已知道干扰信号的来源，就可利用干扰源的输出去抵消信号中的混杂的干扰。 但直接利用干扰源的输出去抵消干扰的做法是危险的，因为由于延迟的影响，

22、不仅不能减小信号中的干扰，反而有可能使干扰加强。 在自适应噪声抵消器中，是利用干扰源的输出，通过一个数字滤波器，最佳地估计出干扰值，从而从混有干扰的输入中减去干扰估值，实现了干扰与信号相当完善的分离。2、自适应噪声抵消器的原理框图信号源噪声源自适应滤波+-)(ne)( ns)(0nV)(1nV)()(0nVnS原始输入互不相关。、与且程，为零均值的平稳随机过、设定误差最小。最佳估值，即两者均方为相关的噪声参考输入为与图中：原始输入为：)()()()()()(:)()()()()()(101000100nVnVnSnVnVnSnVnVnVnVnVnS3、自适应噪声抵消器的输出1噪声抵消。是相关，

23、这样才能进行、要求。时，。误差最小求自适应滤波是使均方无关，、与程为零均值的平稳随机过、出自适应噪声抵消器的输)()(min)(0)()(min)(0)()()()()()(,)()()()()()(2)()()()()()()(2)()()()()()()()()(00220020010100020022002002200nVnVneEnVnVEneEnVnVnsEnVnVnSnVnVnSnVnVnsEnVnVEnSEneEnVnVnSnVnVnSnenVnVnSnene3、自适应噪声抵消器的输出2相等则最佳。（一般为噪声）相关，必须与被抵消信号参考输入信号务条件：完成自适应噪声抵消任看出：自适应滤波器要。这时自适应滤波器关闭号，什么信号，出来什么信也表明：原始信号进来那么：不相关，则、若)()(000)()()()()(2)()()()(0)()()()(0120202002020220000nVnVnVEnVEnSEnVnVEnVEnVEnSEneEnVnVEnVnV4、自适应噪声抵消器的应用 （1）胎心心