向量的性质及在立体几何中应用毕业论文

1、 本科毕业论文题 目: 向量的性质及在立体几何中应用 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 张 勇 学 号： 0 指导教师： 王 琪 教师职称： 副 教 授 填写日期： 2013年 5月 2日摘 要作为现代数学的重要内容之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化，从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的结合.思想立体几何常常

2、涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的某些问题.其独到之处，在于用向量来处理空间问题，替代了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用AbstractAs one of the important elements of modern mathematical vectors have entered middle school mathematics teaching, for the study of geometry with algebraic method provides a powerful tool tha

3、t promotes high school of geometric algebra. In the system of high school math, geometry occupies a very important place, some geometric problems using conventional methods to solve the often complex, using vector and transformation, making the process is greatly simplified. When applying vector met

4、hod to plane geometry, it can be programmed many problems of algebra, plane geometry, thus being effectively addressed, reflecting the combination of number and shape in math. Often involves two major problems in solid geometry: proof and computation, using space vectors to solve certain problems in

5、 solid geometry. Its unique features, is handled with a vector space, alternative to the traditional method of form to shape the reasoning process, and allows the solution to be programmed.Keywords：Vector; Solid Geometry; Proof; Calculation; Use 目 录摘 要IAbstractII第一章 前言1第二章 平行问题2第一节 两直线平行2第二节 直线与平面平行

6、3第三节 两平面平行3第三章 求角问题5第一节 两直线所成的角5第二节 求线面角6第三节 求平面与平面的夹角8第四章 度量问题10第一节 两点间的距离10第二节 点到直线距离10第三节 点到平面的距离11第四节 两异面直线间的距离12第五节 求面积13第六节 求体积14第五章 利用向量求平面方程15第一节 平面的点法方程15第六章 利用向量解决实际问题16第七章 向量在立体几何中的应用17第一节、向量方法17第二节、解决立体几何问题的步骤17致谢18参考文献19第一章 前言向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量具有较强的工具性作用.向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物

7、理、测量等某些问题，还可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、夹角等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化，从使问题而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题。立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行； 二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离、线线、线面所成的角，面面所成的角等.用空间向量解决立体几何中的问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题.替代了传统方法的有“形”到“形”的推理

8、过程，使解题变得程序化.那么解立体几何问题时就可以用向量方法，对某些难度较大，个别性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通用的方法.第二章 平行问题第一节 两直线平行定理2.1：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得=.若，A,B, C,D, （证明同下例1） A D O B 图1.1例1、已知直线OA平面，直线BD平面，O、B为垂足，求证：OA/BD.证明：如上图，以点O为原点，以射线OA为轴，建立空间直角坐标系，为沿轴，轴，轴的坐标向量，且设，又知O、B为两个不同的点，.由例1可知，如果表示一个向量的一条有向线段所在直线垂直于平面，则表向量所有的有向线段所在直线都

9、垂直于.如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称向量垂直于平面.第二节 直线与平面平行定理2.2：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条和这个平面平行.（证明同下例2） 例2、已知.（图2.2） 求证：. P 证明：用反证法. 假设不平行，则P,如果 点P.则与已知条件., 图2.2矛盾。如果点P,则和成异面直线，这也与已知条件,矛盾,所以.例3，已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB,AD的中点吧（如图2.3）求证：EF/平面BCD证：设是平面BCD的法向量，连接BD在ABD中又因为EF分别是AB、AD的中点所以, A 又平面BDC 所以 E F 0 B D

10、又EF平面BDC EF平面BDC 图2.3 C第三节 两平面平行定理1.3：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。若不重合的两平面与，面的法向量为，若,则有。（证明同下例4）例4、 已知，, =P,.如图（2.4）证：设为平面的法向量， 有 P 因为, 所以 , 又=P, , 与不重合 图2.4第三章 求角问题第一节 两直线所成的角设直线L1和L2的标准方程分别为 那么，方向向量=与=之间的夹角，就是直线L1和L2之间的夹角，于是，可由=,=来确定，同时，由两向量平行、垂直的充要条件可立即得到（）、直线L1与L2互相平行的充要条件是（）、直线L1与L2互相垂直的

11、充要条件是=0例5、已知直线L1：，L2：，求L1与L2的夹角.解：直线L1，L2的方向向量分别是=1，2,7，=5,1，,1 由以上公式有 =所以=例6、求两直线与间的夹角.解：由于两直线的方向向量为 =1，4，1，=2，2，1于是，这两条直线的夹角，由= =确定，因此所求的两直线的夹角为例7、求直线L1：与的夹角.解：L1、L2的方向向量分别为=（2,1，1）和=（1,2,1）由公式得= =故所求的夹角为第二节 求线面角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角（0）称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面所夹角为.设直线与平面的方程分别为L: , =m, n,

12、 p： , =A,B,C过直线L作与平面垂直的平面与的交线,就是直线L在平面上的投影直线，直线L与的夹角，就是直线与平面的夹角.直线L的方向向量=m, n, p,与平面的法向量=A,B,C之间的夹角为或.故有 ，即有所以由公式可得 直线L平面平行的充要条件是=0 直线L平面垂直的充要条件是例8、求直线与平面的夹角.解：由于已知直线的方向向量=1,1,2已知平面法向量=2，,1,1于是直线与平面的夹角为.=确定，由此可得 第三节 求平面与平面的夹角两平面的法向量的夹角为两平面的夹角.设有两平面，: : 它们的法向量分别是： , 根据前面关于向量的讨论，可得出如下结论两平面，的夹角，可由=（1）、

13、两平面垂直的充分必要条件是：（2）、两平面平行的充分必要条件是：例9、求两平面：，：的夹角.解：两平面的法向量分别是： ， 由夹角公式=因此，所求夹角例10、的方程分别为与.求它们的夹角.解：、的法向量分别为， 由两平面的夹角公式得： = = 两平面的夹角第四章 度量问题第一节 两点间的距离在空间直角坐标系中，已知A（），B（）,A、B两点间的距离为。例10、已知A（3,3,1），B（1,0,5）.求：、线段AB的长度.、到A、B两点距离相等的点P（,）的坐标、满足的条件.解：、 、点P（,）到A,B的距离相等.则有, 化简得，即，到A,B距离相等的点的坐标（,）满足的条件是：第二节 点到直线

14、距离在平面直角坐标系中，如果已知某点的坐标为直线的方程是.可证得点到直线的距离为.例11、求点（1,2）到下列直线的距离.、 、解：根据点到直线的距离公式得、因为直线平行于轴， 所以 例12、求原点到直线的距离.解：由距离公式得第三节 点到平面的距离例13、求点到平面的距离.解：过点作平面的垂线，垂足为 如图所示，则点到平面的距离为 同时，法向量与向量互相平行， 因此有 或 由此，得 图4.1另一面，由于在已知平面上，其坐标满足平面方程，即有：或代入上式，就得到平面的距离公式为： 直接应用式，即可求任意一点到平面的距离.第四节 两异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这

15、两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离.以上说明可知，两条异面直线的距离，等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面距离.例14、已知两条异面直线所成的角为，如图， 在直线、上分别取E、F，已知， ，. 求：公垂线段的长. 解： 图4.2 , =（或） 第五节 求面积设向量、的坐标分别为，据向量积的定义：由此得出如下坐标来表示向量的模的计算公式：根模的几何意义，当向量、不共线时上式也是以、为邻边的平行四边形的面积公式.例15、求以A（1，2,3）、B（3，4,5）、C（1，,2,7）为顶点的三角形的面积S.解：由向量积的模的几何意义知三角形的面积

16、S= =于是 S=第六节 求体积定义4.6：设、是三个向量的混合积的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，当、构成右手系时混合积取正值，构成左手系时混合积取负值.例16、设三个向量、在一个右手直角标架下的坐标是， ， ，求：这三个向量张成的平行六面体的体积。解： 根据定义，这个平行六面体的体积等于 第五章 利用向量求平面方程第一节 平面的点法方程过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于已知直线，所以当平面上一点和它一个法向量=为已知时，平面的位置就完全确定了.设是平面上的任一点，因为在平面上，那么必与垂直，它们的数量积必定等于零.即由于、于是 例17、设平面过点（1，-2,0），而法向量=

17、6，-4,3，求平面方程.解：将已知条件代入方程得所求的平面方程为： 即 第二节 平面的一般方程方程可写成 例18、求平行于z轴且通过（1,0,0）、（0,1,0）两点的平面方程.解：设平行于z轴的平面方程为： 由于点和都在平面上，所以其坐标满足上式，即解得A=B=-D代入所设方程得所求方程为：第六章 利用向量解决实际问题定义6.1：两个向量和的模及它们的夹角余弦的乘积，称作向量和的数量积.记作.即据此定义，上述问题中力所做的功W是力与位移的数量积。即例19、设有一质点开始位于点P（1,2，-1），今有一方向角分别为、，大小为100N的力作用于该质点，求质点从P作直线运动至点M（2,5，）时，

18、力所做的功。（坐标的单位为m）解：因力的方向为、. 所以与力同向的单位方向量为： 所以又因为所以 第七章 向量在立体几何中的应用第一节、向量方法以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论.其优点是注重培养学生的数形结合、“数形转化”的数学思想以及代数计算能力，同时也使立体几何问题的解决过程变得数量化、程序化.第二节、解决立体几何问题的步骤用向量法解决立体几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算，二是用向量的坐标运算.一般来说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法.若所给图形不容易建立空间直角坐标系，我们也可以用向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高，对学生逻辑推理能力的要求也提高了.用向量坐标运算解题步骤：（1）建立空间直角坐标系.注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽