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1、第七章第七章 随机过程随机过程习题课习题课(1)(1)对于给定的对于给定的w w,x(,x(w w0 0,t),t)是一个关于是一个关于t t 的函数的函数, , 称为称为样本函数。样本函数。( (2)2)当当t t固定固定时时, ,x(x(t t0 0) )是一个随机变量是一个随机变量, , 称它为称它为x(tx(t0 0) )在在t t0 0 时刻的时刻的状态状态。1.随机过程定义随机过程定义2.随机过程的概率分布随机过程的概率分布称为随机过程的称为随机过程的一维分布函数。一维分布函数。( ; )( ),f t xp x tx( ; )( ; )xf t xf t s ds12121122
2、( , ;,)( ),( ),f t tx xp x tx x tx称函数称函数f(t;xf(t;x) )为随机过程为随机过程x(t)x(t)的的一维密度函数一维密度函数. .121212121212( , ;,)( , ;,),xxf t tx xf t ts s ds ds 称为随机过程的称为随机过程的二维分布函数二维分布函数.称称f(t1,t2; x1,x2)为随机过程的为随机过程的二维密度函数二维密度函数.3.3.随机过程的数字特征随机过程的数字特征: :2( )( )( )xxxdttmt )()(),(),(212121tmtmttrttcxxxx均值函数、方差函数、均方值函数、相
3、关函数、协方差函数均值函数、方差函数、均方值函数、相关函数、协方差函数2( )( )( )xxdte x tmt)()(2ttxex)()()()(),(221121tmtxtmtxettcxxx1212( )( )( )( )xxe x t x tmt mt)()(),(2121txtxettrx1122()|(),(),()()|()( ),0,1,2,mmmmmmp x nkj x ni x nix nip x nkj x nix n n马则称为尔可夫链.定义1:2()|( ),1( ,).ijkp x mkj x mkmmpmki定义 :称为马尔可夫链 在 时刻的 记为步转移概率讨论齐
4、次(时齐)马尔可夫链。( ,)( ).ijijpm mkpk记为1(1).ijijkpp一当时,称为,简率记为步转移概c-k( )()( )( ), ,1,2,ijijirrjr ipnpklpk pli j方程 ( ) (1)kkk 一般地,有 ppp1,(0)0,ijijpij通常规定 (0)(0),1,2,ipp xii 马尔可夫链在初始时刻(即零时刻)取各状态初的概率始(概分布称为它的率)分布。()(0)( ),1,2,mim mpp x miim 马尔可夫链在第时刻取各状态的概率分布称时刻的为它的概率分布。()(0)( )mjiijipppm即11 211122(0)1211(),(
5、),() ()()()rrrriiii iiirrip x ni x nix nippn pnnpnn马尔可夫链的有限维分布表明有限维分布完全由初始概率分布和转移概率所确定。下面给出有限状态的马尔可夫链是否具有遍历性的一个判定定理。001( ),0,1,2,=1,2,( ), =12),()0,lim( ).,1,2,1,2,0(1,2,ijijjijjjknjiijjix n ninkpkiji kkpkijipkjnpjnj定理 马尔可夫链具有有限状态,步转移概率,( 、, ,如果存在正数 ,有、,则此链是遍历性的,即存在使得且极限分布是 方程组=满足条件1),1njjn 的唯一解。 ,
6、; ( ,),xxxx tttt tte x trt trtx ttt定义2:给定二阶矩过程,如果对任意的常数宽与 无关 平稳过程、广义 则称为平稳过程t1t1 利用抛一枚硬币的试验定义一随机过程2( ),tehx tttt 出现正面出现反面假设p(h)=p(t)=1/2,试确定x(t)的一维分布函数1 f(x;1), f(x,2)以及12(,;1,2)f x x解解:(1),1ehxt2(2),4ehxt于是于是, x(1/2)、x(1)的概率分布分别为的概率分布分别为(1)xkp1 e2121(2)xkp4 21212e0111( , )1221xfxxexe22041(1, )421xf
7、xxexex(1)与与 x(2) 的联合概率分布为:的联合概率分布为:(1)x(2)x1e2100211212122212120141,411( ,1;,)224,1,xorxxe xfx xorxexexexe求二维分布。 21214xxee随机矢量,的可能取值为( , ),(, )2( ),tehx tttt 出现正面出现反面4 2ep239t2p239t5p239t1612345(2)(2),(2),(2),(2),(2)pppppp解:( ),0,1,2,= 12 3 4 50.80.200000.50.40.10000.40.50.10000.20.800001x n nit18 设
8、马尔可夫链的状态空间, , , , ,已知一步转移概率矩阵,已知初始时刻该链的状态是1,求2时刻该链处于各个状态的概率。0.8 0.20000.8 0.200000.5 0.40.1000.5 0.40.10=000.4 0.50.1000.4 0.50.10000.2 0.80000.2 0.800001000010.64 0.26 0.08 0.02 0=2二步转移概率矩阵,p(0.64,0.26,0.08,0.02,0)0.640.260.080.020(1,0,0,0,0)1 2 3 在直线上带有完全反射壁的随机游动质点只能处在实数轴上、三个点,判别是否有遍历性,若有求极限分布。010
9、0010qp一步转移概率矩阵为 p=20(2)0100qpqp二步转移概率矩阵 pp010(3)(2)0010qp三步转移概率矩阵为 pppp(21)n一般地,pp0(2 )0100qpnnqp 其中 是自然数。plim( )ijkpk 显然转移概率的极限是不存在的,因而不具有遍历性。p242t20= 12 312033522.99921033it22 设马尔可夫链的状态空间, , ,它的一步转移概率矩阵为,证明此链具有遍历性,并求极限分布。p=lim( ),1,2,3ijjnpnj所以此链具有遍历性,因而有解:一步转移概率矩阵为1203352299921033p=计算二步转移概率矩阵2121
10、2003333552222(2)99999921210033337164272727164916=8181811674272727pp121123223312 39522+39321 93方程组:123311555,311jj1203352299921033p=13pqr直线上带完全反射壁允许停留的随机游动设,判别是否有遍历性,若有求极限分布。0100011100333111003331110033300010此时一步转移概率矩阵为 p=(2)(3),510811272727927103321141818181812782382121(4)81818181813310114212781818181810511279272727逐个计算,ppplim( ),1,2,3,4,5.ijjnpnpi j 它的所以元素都大于零。所以此链具有遍历性。,p239t23,1,2,3,4,5jpj 下面求。21123223433454451 311 33111 33311331 3pppppppppppppppp方程组: 123451ppppp加上条件1523431,1111ppppp解得 0,s tttx ts t t26 设是一周期为 的函数, 是在
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