8.1 曲线积分

1、1 曲线积分曲线积分 格林公式及其应用格林公式及其应用 曲面积分曲面积分 高斯公式、通量与散度高斯公式、通量与散度 斯托克斯公式、斯托克斯公式、 环流量与旋度环流量与旋度第第 章章8 8 线积分与曲面积分线积分与曲面积分28.1 曲线积分曲线积分8.1.1 对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）8.1.3 两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系8.1.2 对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）31 引例引例实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之

2、质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值8.1.1 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分41211,( , ),(,),(,),(,),niiiiiiniiiiLxoyf x yLLMMMLnisifsfs 设设 为为面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧 函函数数在在 上上有有界界，用用 上上的的点点把把 分分成成个个小小段段，设设第第 个个小小段段的的长长度度为为又又为为第第个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一点点作作乘乘积积并并作作和和 2 对弧

3、长的曲线积分的定义对弧长的曲线积分的定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L5.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf 即即记记作作线线积积分分第第一一类类曲曲上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分或或在在曲曲线线弧弧则则称称此此极极限限为为函函数数这这和和的的极极限限存存在在时时长长度度的的最最大大值值如如果果当当各各小小弧弧段段的的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 6存在条件存在条件( ,),( , )Lf x yLf x y ds 当当在在光光滑滑曲曲线

4、线弧弧 上上连连续续时时对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分存存在在。推广推广曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),(zyxf01 ( , , )lim(,)niiiiif x y z dsfs 。7注意：注意：121)(),()LLLL 若若或或是是分分段段光光滑滑的的1212 ( , )( , )( , )LLLLf x y dsf x y dsf x y ds 。2 )( ,)( ,)Lf x yLf x y ds 函函数数在在闭闭曲曲线线上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分记记为为。8性质性质 1 ( ) ( , )( , )( , )( , )LL

5、Lf x yg x y dsf x y dsg x y ds 2( )( , )( , )()LLkf x y dskf x y dsk 为为常常数数123( )( , )( , )( , )LLLf x y dsf x y dsf x y ds 12()LLL93.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中的的参参数数方方程程为为上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设10注意注意1;）定定积积分分的的下下限

6、限一一定定要要小小于于上上限限2( , ),f x yx y）中中不不彼彼此此独独立立 而而是是相相互互有有关关的的。特殊情形特殊情形1 ( ):( )L yxaxb21( , ) , ( )( )bLaf x y dsf xxx dx )(ba 112( ):( )L xycyd 21( , ) ( ), ( )dLcf x y dsfyyy dy )(dc dfdsyxfLL )()()sin,cos(),()(:)3(2212计算方法计算方法 化为对参数的定积分，化为对参数的定积分，“一代二换三定限一代二换三定限” ” “一代一代”：将：将 ， 代入被积函代入被积函数数 ) )； )(t

7、x )t (y “三定限三定限”：对应于：对应于L L的起点和终点，下限小的起点和终点，下限小上限大。上限大。 “二换二换”：将换成：将换成 dt)t ()t (22 ),(yxfds ,13推广推广)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf3 举例举例 例例1 1 计算计算 所围所围区域的边界。区域的边界。 Ldsy.O OxyxyL ,:2yx)1 , 1(A14 102210)2(111dxxxdyy 1022121023)41()41(81322xdxy10232)41(3281232x 12151213)155

8、(121232 解解 OAAOLdsyI15例例2 计算计算 ，其中，其中 Ldsyx)(22axyxL2:22 202)cos1(2adaI32034| )sin(2aa 问题问题（i i）积分变量有无别的选择？哪种方法好？）积分变量有无别的选择？哪种方法好？ （iiii）如）如 ，结果如何？，结果如何？ yyxyxfsin),(22 解解 LaxdsI2 ,sin),cos1(: ayaxL 20 0 0yxa adds 16例例3 3 计算曲线积分计算曲线积分 ，其中，其中为螺旋线上相对于为螺旋线上相对于从从0 0到到22的一段弧。的一段弧。 dszyx)(222解解dszyx )(22

9、2ktztaytax ,sin,cost 20222)()sin()cos(kttata 2022222)(dtkatka 20322223 tktakadtktata222)cos()sin( 17)43(3222222kaka 例例4 4计算计算 ，其中，其中（1 1）（2 2） Ldszyx)(222解解 （1 1）3222 adsadsaILL radsadsaILL 2222 3ad adar3222 3362aI （2 2）, , ,0,:2222 zyxazyxLazyxazyxL ,:222218问题：问题：如上例中被积函数是，应如上例中被积函数是，应如何做？如何做？ 例例5

10、计算计算 其中为连结其中为连结 ,)23( ABdszyx解解 设是设是 上任意上任意一点，则一点，则AB1 22 , , ABAMAB21211 zyx , , )(222zyx或或或或)1, 3 , 1(),1 , 1 , 0( BAAB的直线段。的直线段。),(zyxM直线的方程直线的方程AB19的参数方程为的参数方程为ABdttttI441)21()21(2310 10)13(3dtt215233102 tt)10(21,21, ttztytx20备选备选1 1.)2, 1()2 , 1(,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 )2

11、0(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I备选备选2 2214.4.几何与物理意义几何与物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱面面积柱面面积sL),(yxfz 22,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的重心坐标曲

12、线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 235.5.小结小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用24思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符的符号可能为负吗？号可能为负吗？iS 25思考题解答思考题解答iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度. .26oxyABL8.1.2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分1 nMiM1 iM2M1Mix iy 1.1.引例引例实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所

13、作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割0111111,( ,),(,),nnnnA M M x yMxyMB 1()()iiiiMMx iyj WFAB 27求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 28,0.),(,).,;, 2 , 1(

14、),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL定义定义29.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线

15、上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L302.2.存在条件存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其中其中. LdsF31推广推广 空空间间有有向向曲曲线线弧弧.),(lim),(10iiin

16、iixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 325.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分分成成如如果果把把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. . LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(332.2.对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)()

17、,(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理34 1)()(),()()(),(),(),(dttttQtttPdyyxQdxyxPL 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyx

18、PQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则35.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 计算方法：化为对参数的定积分，计算方法：化为对参数的定积分，“一代二定限一代二定限”“一代一代”：将：将 代入被积式。代入被积式。“二定限二定限”：对应于：对应于L L的起点、终点，不一定的起点、终点，不一定有。有。 ),(tx )(ty , 36(4) (4) 两类

19、曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角上上点点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos( 则则函数函数 在以为端点的闭区间上具有一阶在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且。连续导数，且。又函数在又函数在L L上连续。于是，由对坐标上连续。于是，由对坐标的曲线积分计算公式（的曲线积分计算公式（1 1）有）有)()(tt 、0)()(22 tt ,),(),(yxQyxP37dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 有向曲线弧有

20、向曲线弧L L的切向量的切向量t t的方向规定与的方向规定与L L的方向一的方向一致。如致。如L L的方向对应于参数的方向对应于参数t t增加的方向（即上式中增加的方向（即上式中），则），则 反之则反之则 它的方向余弦为它的方向余弦为)(),(tt t t)(),(tt t t,)()()(cos22ttt 38)()()(cos22ttt ( (当时取正号，当时取正号， 时取负号时取负号) ) 当当 时时， LdsyxQyxPcos),(cos),( dttttttQtttttP)()()()()(, )()()()(),(222222 39 dttttQtttP , LdyyxQdxyxP

21、),(),(当当 时，时， LdsyxQyxPcos),(cos),( dttttttQtttttP)()()()()(, )()()()(),(222222 40 dttttQtttP , LdyyxQdxyxP),(),(一般地，平面曲线一般地，平面曲线L L上的两类积分之间有如下上的两类积分之间有如下联系：联系：dsQPQdyPdxLL )coscos( （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 41,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos( 则则 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，

22、其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上上的的投投影影在在向向量量为为向向量量tAAt处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 42例例1 1.)1 , 1()1, 1(,2的的一一段段弧弧到到上上从从为为抛抛物物线线其其中中计计算算BAxyLxydxL 解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B43的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(d

23、yyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B44.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例2 2解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 45)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变变到到从从aax aadx0原式原式. 0 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，

24、但问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. . 03a)(cos)cos1(2 d 46例例3 3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是点依次是点，这里，这里有向折线有向折线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线的一段弧的一段弧到到上从上从抛物线抛物线为为其中其中计算计算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变到变到从从xxyL 1022)22(

25、dxxxxx原式原式 1034dxx. 1 47) 0 , 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变变到到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式48,上上在在 OA,10, 0变到变到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变到变到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也

26、相同，但问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同. .49ozyx例例4. 4. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI 其中其中,2122zyxyx从从 z z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向. .解解: : 取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(cos)sin)(cos2(tt 250例例5 5 设一个质点在处受到力的作用，设一个质点在处受到力的作用，的大小与到原点的距离成正比，的方向恒指的大小与到原点的距离成正比，的方向恒指向原点。此质点由点沿椭圆向原点。此质点由点沿椭圆 按逆时按逆时针方向移动到点，求力所作的功。针方向移动到点，求力所作的功。 12222 byax解：解： j ji iyxOM 22|yxOM