初中圆题型总结

1、圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题， 选择 题的形式考查并占有一定的分值；一般在 10分-15分左右，圆的有关性质，如 垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形 式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数， 方程等相结合作为中考压轴题 将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在 性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析 如下。一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.（3）圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性

2、质【例1】（江苏镇江）如图，ab为。直径，cd为弦，且cd ab ,垂足为h .（1） ocd的平分线ce交。于e ,连结oe.求证：e为弧adb的中点；（2）如果。的半径为1 , cd 卮求。到弦ac的距离;edce .填空：此时圆周上存在【解析】（1） qoc oe , 又 oce dce , eoe / cd .又 cd ab, aoe boe 900.e为弧adb的中点.(2)qcd ab, ab为。的直径，cd 由，3_ch -cd 也.又 oc 1, 而 cob ch 2 近.22oc 12cob 60,bac 300.1 1作op ac于p,则 op -oa2 23.【点评】 本

3、题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距，本题的弦心距就是指线段 od的长.在圆中 解有关弦心距半径有关问题时，常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距，把垂 径定理和勾股定理结合起来解题.如图，。的半径为r ,弦心距为d ,弦长a之间2的关系为r2 d2 a .根据此公式，在a、r、d三个量中,知道任何两个量就可 2以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 .【例2】(安徽芜湖)如图，已知点e是圆。上的点，a/ab、c分别是劣弧ad的三等分点，boc 46,/j则

4、aed的度数为-7/【解析】由b、c分别是劣弧ad的三等分点知，圆心角/ aobw boc=cod, 又 boc 46,所以/aod=138.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有aed=69o.点评 本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。【强化练习】【1】.如图，。是abc勺外接圆，bac 60 , ar ce分别是bg ab上的高,且ar ce交于点h,求证：ah=aoai 如图，在。中，弦 ac! bd, oh ab,垂足为 e,求证：oe=2cd. 一一 、一1(2)如图，ac, bd是。o的两条弦，且 acbd。的半径为2,求ad+cd的值。【2】(第25题)如图，。是

5、abc的外接圆，弦bd交ac于点e,连接cd,且ae=de , bc=ce.(1)求/ acb的度数；(2)过点。作oflac于点f,延长fo交be于点g, de=3 , eg=2,求ab的长.二、直线与圆的位置关系基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种：如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离.如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，此 时这条直线叫做圆的 切线，这个公共点叫做切点.如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆 相交，此时 这条直线叫做圆的割线，这两个公共点叫做交点.2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理弦

6、切角等于它所夹的弧对的圆周角；4 .和圆有关的比例线段(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；(2)推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；(3)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；(4)推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。5 .三角形的内切圆(1)有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判定。d由dom-4m痔给捌器皿业由口踮皿印 二皱二鼓二理二tw ai） dl 前=

7、ac - bc且(rwe 0c牛ac , eoce，qc【例1】（甘肃兰州）如图，四边形abcd内接于。o, bd是。的直径，ae cd ,垂足为e , da平分 bde .（1）求证：ae是。的切线;(2)若 dbc 30, de 1cm,求 bd 的长.eda .【解析】（1）证明：连接oa,qda 平分 bde,bdaqoa od,oda oad .oad eda.oa / ce .q ae de ,aed 90,oaedea 900.ae oa.ae是。的切线.(2) qbd是直径,bcdbadq dbc30,bdc60,bde120 .q da平分bdebdaeda60.abdead

8、在 rtaed 中,aed 90,ead30, ad在ft abd 中,bad 90,abd30, bd2ad 4de .q de的长是1cm,bd的长是4cm【点评】证明圆的切线,过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【例2】(广东茂名)如图，o o是4abc勺外接圆，且ab=ac,点d在弧bc上运动，过点d作de/ bg dex ab的延长线于点e,连结ad bd.(1)求证：/ adb：/ e;(2)当点d运动到什么位置时，de是。的切线？请说明理由.b(3)当ab=5, bc=6时，求。的半径.(4分)【解析】(1)在4abc中，ab=ag /

9、abc：/ c. de/ bq/ abc：/ e, ./ e=z c.又./ adb：/ c,(2)当点d是弧bc的中点时，de是。的切线.理由是：当点d是弧bc的中点时，则有adlbq且ad过圆心o.又. de/ bc,adl ed. . de是。的切线.(3)连结bo ao并延长aox bc于点f,1 一则 afbg 且 bf：- bc=3.2又. ab=5,af=4.设。的半径为 r ,在 rtzxobf中，of=4 r , ob=r , bf=3,r 2 =32 + (4r ) 2解彳4r =25,二。的半径是”. 88【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键

10、是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.【例4】 已知：如图7,点p是半圆o的直径ba延长线上的点，pc切半圆于c点，cd!ab于 d点，若 pa po 1: 2, db= 4,求 tan / pcar pc的长。图7证明：连结cb.pc切半圆o于c点，./ pc七z b./p= /p,pa(capcb .ac bc= pa pc一 n ac pa 1tan= tan b =8c pc 2.ab是半圆o的直径，./ ac氏90 又cdl abac2 ad*bg bi) ab.ab= ad+ d氏 5叨也融+pa=- pc=2pa = 33【例5】 已知：如图8,在rtabc

11、t, /b= 90 , / a的平分线交bc于点d,e为ab上的一点，d dc以d为圆心，db长为半径作。q )求证：(1) ac是。d的切线；卡、(2) ab+ eb= ac分析：(1)欲证ac与。d相切，只要证圆心d到ac的距离等于。d的半径bd 因此要作df! ac于f(2)只要证ao af+ fo ab+ eb,证明的关键是证 b已fc,这又转化为证 ebd cfd证明：(1)如图8,过d作dfag f为垂足 ,. adb/ bac的平分线，dbl ab, d及 df 点d至ij ac的距离等于圆d的半径 ac是od的切线(2) v ab br od的半径等于 br.ab是。d的切线，

12、. ab= af.在 rtbed?口 rtfcd中，ed= cr bd= fd .bedafctd . .be= fc .ab+ be= af+ fo ac小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点， 可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出， 可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类【例6】 已知：如图9, ab为。o的弦，p为ba延长线上一点，pe与。相1于点e, c为刃月中点，连ce交ab于点f。求证:分析：由已知可得 pt = papb,因此要证pp=papb,只要证pe= pf。 即证/ pfe= / pe

13、e证明一：如图9,作直径cd交ab于点g连结er /ce氏 900.点 c为 wf 的中点，ccl ab,./cfg z d pe为。o切线，e为切点. /pe已 / d,/pe已 z cfg. /cfg / pfe ./pfe= /pee a pe= pf. pu= pa pb, a pf2=pa- pb.点c是2的中点，ac=bc连结ag ae.pe 切。o 于点 e,pea= /c / pfe= / ca拼 / c, / pe已 / pea / aec ./pfe= /pee .pe= pf. pu= pa pb, a pf2=pa- pbc(d)图 10-1【例7】（1）如图10,已知

14、直线ab过圆心o,交。于a、b,直线af交。o 于f （不与b重合），直线l交。于c、d,交ba延长线于e,且与af垂直， 垂足为g连结ag ad图10求证：/ ba氏/ cag ac ad-ae- af（2）在问题（1）中，当直线l向上平行移动，与。o相切时，其它条件不变。请你在图10-1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果 不成立，请说明理由。证明：（1）连结bd.ab是。的直径，./ ad氏900 /ag口 / ad氏 900又acdb!。内接四边形丁. / ac8 / b,/ bad= / cag连结cfvz ba氏 /

15、cag / ea岸 / fab丁. / dae= / fac又/adc= / f, .ad曰aafcad _ar. af /.ac- ad= ae- af(2)见图10- 1两个结论都成立，证明如下：连结bg. ab是直径， ./ acb= 90 ./acb= /ag已 900. gcw。于 c, . / gcaf /abc丁. / bac= / cag(即 / ba氏 / cag连结cfvz ca8 / bac / gcf / gac / gca / cae / ac已 / accg- / gfc / e= / acg_ / caeac _af /ac曰 /e, .acs aae(c. -

16、.ac= ae- af (即 ac- ad= ae- af)说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的 提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。【强化练习】1(第22题)如图，o o的直径ab为10cm,弦bc为5cm, d、e分别是/ acb的平分线与o o, ab的交点，p为ab延长线上一点，且 pc=pe.(1)求ac、ad的长；(2)试判断直线 pc与。o的位置关系，并说明理由.【2】(第23题)如图，在 abc中，/ 0=90 , / abc的平分线交 ac于点e,过点e作be的垂线交ab于点f , oo是 bef的外接圆.(

17、1)求证：ac是。的切线.(2)过点e作ehlab于点h,求证：cd = hf.【3】（第25题）如图，在。中，ab, cd是直彳5, be是切线，b为切点，连接 ad , bc,bd.(1)求证： abda cdb ;(2)若/ dbe=37 ,求/ adc 的度数.【4】（第24题）如图，ab为。o的直径，pd切。o于点c,交ab的延长线于点 d,且 / d=2 / cad .（1）求/ d的度数；（2）若cd=2,求bd的长.5（第27题）如图，rta abc中，/ abc=90,以ab为直径作半圆。交ac与点d, 点e为bc的中点，连接de.（1）求证：de是半圆。o的切线.（2）若/

18、 bac=30 , de=2 ,求ad的长.三、圆与圆的位置关系的考查基础知识链接： 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如图（1）、（2）、 所示.其中又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含.（3）中两圆的圆心相同，这 两个圆还可以叫做同心圆.如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图（4）、（5）所示.其中 又叫做外切，（5）又叫做内切.如果两个圆只有两个公共点，那么就说这两个圆相 交，如图（6）所示.【例1】（甘肃兰州）.如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是（）a.内含b.相交c.相切d.外离【解析】图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在

19、另一个圆的外部，故两圆外离，选d.【点评】圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定，也可以用数量关系来表 示圆与圆的位置关系:如果设两圆的半径为口、上，两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系 如下表两圆的位置关系数量美系及其识别方法f外离外切d二门+为相交口 -（门十13 r2）内切d-r -r2（rirs）内含门 一、（门【例2】（赤峰市）如图（1）,两半径为r的等圆。o和。o2相交于m, n两点,且。q过点oi .过m点作直线ab垂直于mn ,分别交。o和。o2于a, b两点,连结na, nb .(1)猜想点o2与

20、。o有什么位，.置关系，并给出证明；(2)猜想4nab的形状，并给出证明；(3)如图(2),若过m的点所在的直线ab不垂直于mn ,且点a, b在点 m的两侧，那么(2)中的结论是否成立，若成立请给出证明.图(2)【解析】解：(1) o2在eoi上证明：o过点 o1 , o1o2 r .又。的半径也是r ,点o2在。o上.(2) 4nab是等边三角形证明：q mn ab , nmb nma 900.bn是。q的直径，an是。的直径，即 bn an 2r , o2在bn 上，o1 在 an 上.连结o1o2 ,则o1o2是 nab的中位线.ab 2o1o2 2r.ab bn an ,则 nab是

21、等边三角形.(3)仍然成立.证明：由(2)得在。o中弧mno寸的圆周角为60.在oo中弧mnff对的圆周角为60 .当点a, b在点m的两侧时,在oo中弧mnff对的圆周角 man 60,在。q中弧mn所对的圆周角mbn 60o , nab是等边三角形.注：（2）, （3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分.，【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且。 q过点oi,构建对称性知, 。过q,再证ana配等腰三角形；（2） 1是的基础上发散探究，具有一定的 开放性.四、圆与多边形的计算考查基础知识链接：1、圆与正多边形的关系的计算；2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.【例11 （

22、赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是 【解析】设圆的半径为1,则圆的面积为，易算得正方形的边长为42 ,正方形面积为2,则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是 -.【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积， 根据 古典概型，可转化为面积之比.【例2】两同心圆，大圆半径为3，小圆半径为1 ,则阴影部分面积为 【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为 8 ,图中的阴影面积为圆 环面积的一半4 .【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形 计算，本题就较好的体现了转化方法和

23、整体思想 .五、圆的综合性问题的考查基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。【例11如图，在平面直角坐标系中，圆 m经过原点o,且与x轴、y轴分别相交于a 80、b 0, 6两点.(1)求出直线ab的函数解析式；(2)若有一抛物线的对称轴平行于 y轴且经过点m顶点c在。m上，开口向下，且经过点b,求此抛物线的函数解析式;(3)设(2)中的抛物线交x轴于d e两点，在抛物线上是否存在点 p,使得1spde s abc ?右存在，请求出点p的坐标；右不存在，请说明理由. 10【解析】(1)设ab的函数表达式为y kx b.0. a 8,0 , b 0, 6 ,68kb.

24、346.直线ab的函数表达式为y 3x 6.4(2)设抛物线的对称轴与。m相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点又设对称轴与x轴相交于点 n,在直角三角形 aob中，ab . ao2 ob2.82 62 10.因为。m经过o a、b三点，且 aob 90 , ab为。m的直径，半径 ma=5 .n 为 ao 的中点 an=no=4 a mn=3. cn=m-mn=5-3=2,c 点的坐标为(-4,2).设所求的抛物线为y ax2 bx c2a 4,则 2 16a 4bc,1 a2b 4,6 c.c 6. 1 c所求抛物线为y -x2 4x 62一人 12(3)令 2-x2 4x 6. 0,

25、得 d e 两点的坐标为 d (-6, 0)、e (-2, 0),所以de=4又 ac=2j5,bc 4a/5,直角三角形的面积 s abc -?2?5 20. 2假设抛物线上存在px,y使得spde s abc,即-?de? y ?20, y 1 . 10210当y 1时，x 4 j2;当y1时，x4 v6.故满足条件的存在.它们是p 4 乏1,p24 近,1尸34v6,1,p44 挥，1【点评】 本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图 形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；【例2】(第27题)如图，在。0的内接 abc中，/ acb=90 , ac=2bc过

26、c作ab的垂线l交。0于另一点d,垂足为e.设p是正上异于a, c的一个动点,射线ap交l于点f,连接pc与pr pd交ab于点g.(1)求证： pa6apdf(2)若 ab=5 |ap=bp,求 pd的长；(3)在点p运动过程中，设空二x, tan/afd=ybg求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围) 圆的综合题(1)证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例.因为题中因 圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向， 因为涉及圆，倾向于找接近圆的角/ dpf利用补角在圆内作等量代换，等 弧对等角等知识易得/ dpfw apc则结论易证.(2)求pd的长

27、，且此线段在上问已证相似的 pdf中，很明显用相似得 成比例，再将其他边代入是应有的思路.利用已知条件易得其他边长，则 pd可求.(3)因为题目涉及/ afd与也在第一问所得相似的 pdf中，进而考虑转 化，/afdw pca连接 pb得/afdw pcaw pbg过 g点作ab的垂线， 若此线过pb与ac的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形abcffi似可用ag表示/ pb的对的这条高线.但是“此线是否过 pb 与ac的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点 p,观察我们的猜想.验 证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过pb与 ac的交点是我们解题的关键

28、.常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点 h,然后连接交点与b,再证明/hbg=pcawafd因为 g d关于ab对称，可以延长 cg虑p点的对 称点.根据等弧对等角，可得/ hbg=pca进而得解题思路.(1)证明：: ac二皿./dpf=180 - /apd=180 -.所对的圆周角=180 -菽所对的圆周 角二,所对的圆周角=/ apc在pacffi pdf 中，f zapc=zdpfinpk二/pdf . .pa。apdf(2)解：如图1,连接pq则由酢=1市，有polab,且/pab=45 , aapoaef都为等腰直角三角形.在 rtabc中，.ac=2

29、bc. a隹bc+ac=5bc ,. ab=5 bc=.， .ac=*, .ce=ac?si叱 bac=ac?-=2 二？,=2, a5 5ae=ac?cosbac=ac?=2 ? 一 =4a5 5.aef为等腰直角三角形，bef=ae=4 . fd=fc+cd =ef- ce)+2ce=ef+ce=4+2=6 apo等腰直角三角形，ao=?ab= .ap=2pd pafd ca .pds achb嗤pd=- 2(3)解：如图2,过点g作gkab,交ac于h,连鞍 圆，连接cg并延长交。0于q,. hclcb ghlgb .g g都在以hb为直径的圆上， ./hbg=acq.g d关于ab对称

30、，g在ab上，q p关于ab对称，_. . ap=aq, ./pcaw acq ./hbg= pca. pa。apdf . / pcaw pfdwafdy=tan / afd=tanz pca=tanzhg=tan hag?ag=tah bac?ag= ac二x.本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单， 但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结.总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路.【例3】(第24题)如图，已知：在矩形 abcd勺边ad上有一点o, 0=3, 以0为圆心，0a长为半径作圆，交ad于m恰好与bd相切于h,过h作

31、弦hp/ ab, 弦hp=3若点e是cd4上一动点(点 e与c, d不重合)，过e作直线ef/ bd 交bc于f,再把cer&着动直线ef对折，点c的对应点为g.设ce=x aefg 与矩形abcdt叠部分白面积为s.(1)求证：四边形abhp1菱形；(2)问4efg的直角顶点g能落在。0上吗？若能，求出此时x的值；若不能， 请说明理由；5 c- 1。e rzr1cia图i备用图)(3)求s与x之间的函数关系式，并直接写出 fg与。相切时，s的值.第3题图考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径 定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有

32、专题：压轴题.分析： (1)连接0h可以求出/ h0d=60, /hdo=30,从而可以求出ab=3 由hp/ ab, hp=3可证到四边形abhpt平行四边形，再根据切线长定理可得 ba=bh即可证到四边形abhp1菱形.(2)当点g落到ad上时，可以证到点g与点m重合，可求出x=2.(3)当0&x02时，如图，s=s egf,只需求出fg就可得到s与x之间的函 数关系式；当2x03时，如图，s=sgef- sasg5只需求出sg rg就可得到 s与x之间白缈数关系式.当fg与。0相切时，如图，易得fk=ab=3 kq=aq -ak=2- 2v3+/3x.再由fk=/kq即可求出x,从而求出s.解答：解：(1)证明：连接0h如图所示. 四边形abc此矩形，丁. / adc= bad=90 , bc=ad ab=cd v hp/ ab, ./anh+bad=180 . ./anh=90 .hn=pn=hp=.qh=oa=-;,sin zhon=. oh 2丁. / hon=60.bd与。0相切于点h, .ohl bd丁. / hdo=30 . od=23， .ad=3bc=3 o0 的直径，ba与。0相切于点a.bd与。0相切于点h, ba=bh;平行四边形abhp1菱形.(2) zmfg的直角顶点g能落在