§1.6 理想气体微观描述的初级理论

1、1.6理想气体微观描述的初级理论理想气体微观描述的初级理论 1.6.11.6.1理想气体微观模型理想气体微观模型 要从微观上讨论理想气体，先应知道要从微观上讨论理想气体，先应知道其微观结构。其微观结构。 一、一、实验证实对理想气体可作如下三条实验证实对理想气体可作如下三条基本假定，基本假定， （一）分子线度比分子间距小得多，可（一）分子线度比分子间距小得多，可忽略不计。估计几个数量级：忽略不计。估计几个数量级： （1 1） 洛施密特常量洛施密特常量标准状况下标准状况下1m1m3 3 理想气理想气体中的分子数，以体中的分子数，以n n0 0表示。表示。 洛施密特常量的数量级之大，可作如此形象洛施

2、密特常量的数量级之大，可作如此形象化说明：一个人每次呼吸量约为化说明：一个人每次呼吸量约为4 41010-4 -4 m m3 3， 有有4 41010-4-42.72.710102525个分子个分子, ,约约10102222 个分子，个分子， 而地球上全部大气约有而地球上全部大气约有10104444个分子（可从习个分子（可从习题题2.6.32.6.3中估计出）中估计出）. . 故一个分子与人体一次呼吸量的关系恰故一个分子与人体一次呼吸量的关系恰如一次呼吸量中的分子总数与整个地球如一次呼吸量中的分子总数与整个地球大气分子总数之间的关系。大气分子总数之间的关系。 标准状况下标准状况下1mol1mo

3、l气体占有气体占有22.4 122.4 1。则。则 32533230107.2104.221002.6mmn（2 2）标准状况下气体分子间平均距离）标准状况下气体分子间平均距离 每个分子平均分配到自由活动体积为每个分子平均分配到自由活动体积为 1 / 1 / n n0 0 9325310103 . 3)107 . 21()1(mnL(3)(3)氮分子半径氮分子半径 已知液氮（温度为已知液氮（温度为77K77K，压强为，压强为0.100.10Mpa）的）的密度为密度为 ，氮的摩尔质量，氮的摩尔质量Mm = 28= 281010-3-3kgkg。 设氮分子质量为设氮分子质量为m m，则，则Mm =

4、 NAm， = = nm,nm, 其中其中n n为液氮分子数密度。为液氮分子数密度。 1/n1/n 是每个氮分子平均分摊到的空间体积。是每个氮分子平均分摊到的空间体积。 若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，若认为液氮是由球形氮分子紧密堆积而成，且不考虑分子间空隙，则且不考虑分子间空隙，则 1/1/n n =(4/3)=(4/3) r r3 3 其中其中r r是氮分子半径。于是得是氮分子半径。于是得 mNMnrAm1033104 . 2)43()43(比较分子之间平均距离和分子直径比较分子之间平均距离和分子直径 标准状况下理想气体的两邻近分子间平均距标准状况下理想气体的两邻近分子间平均距离约是

5、分子直径的离约是分子直径的1010倍左右倍左右。 另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠另外，因固体及液体中分子都是相互接触靠在一起，也在一起，也可估计到固体或液体变为气体时体可估计到固体或液体变为气体时体积都将扩大积都将扩大10103 3数量级。数量级。 需要说明，在作数量级估计时一般都允许需要说明，在作数量级估计时一般都允许作一些近似假设作一些近似假设（例如在前面估计氮分子半径（例如在前面估计氮分子半径时，假设液氮中氮分子之间没有间隙），时，假设液氮中氮分子之间没有间隙）， 看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似看起来这些假设似乎太粗糙，但这种近似不会改变数量级的大小，不会改变数量级的大小，

6、 因为人们最关心的常常不是前面的系数，因为人们最关心的常常不是前面的系数，而是而是1010的指数，故作这种近似假设完全允许的指数，故作这种近似假设完全允许. . （二）除碰撞一瞬间外，分子间互作用力忽略不（二）除碰撞一瞬间外，分子间互作用力忽略不计。分子两次碰撞之间作自由匀速直线运动计。分子两次碰撞之间作自由匀速直线运动。 分子间引力作用半径约是分子直径的两倍左右，分子间引力作用半径约是分子直径的两倍左右， 以后将指出，常温常压下，理想气体分子两次以后将指出，常温常压下，理想气体分子两次碰撞间平均走过的路程是分子大小碰撞间平均走过的路程是分子大小200200倍左右倍左右 由此可估计到分子在两次

7、碰撞之间的运动过由此可估计到分子在两次碰撞之间的运动过程中基本上不受其他分子作用，因而可忽略碰程中基本上不受其他分子作用，因而可忽略碰撞以外的一切分子间作用力。撞以外的一切分子间作用力。 （三）（三） 处于平衡态的理想气体，分子之间及处于平衡态的理想气体，分子之间及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。气体分分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞。气体分子动能不因碰撞而损失，在碰撞中动量守恒、子动能不因碰撞而损失，在碰撞中动量守恒、动能守恒。动能守恒。 以上就是理想气体微观模型的基本假定，热以上就是理想气体微观模型的基本假定，热学的微观理论对理想气体性质的所有讨论都是学的微观理论对理想气体性质的所有讨论

8、都是建立在上述三个基本假定的基础上的。建立在上述三个基本假定的基础上的。 气体的各向同性与分子混沌性气体的各向同性与分子混沌性： 值得注意的是，处于平衡的气体均具有值得注意的是，处于平衡的气体均具有各向同性，各向同性，即气体在各方向上的物理性质都相同，反之称各向异性即气体在各方向上的物理性质都相同，反之称各向异性。 由气体的各向同性可知由气体的各向同性可知, ,平衡态的气体都有分子混沌性。平衡态的气体都有分子混沌性。 分子混沌性是指：在没有外场时，处于平衡态的气分子混沌性是指：在没有外场时，处于平衡态的气体分子应均匀分布于容器中。体分子应均匀分布于容器中。 在平衡态下任何系统的任何分子都没有运

9、动速度的择在平衡态下任何系统的任何分子都没有运动速度的择优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置都相优方向。除了相互碰撞外，分子间的速度和位置都相互独立。互独立。 对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模型基对于理想气体，分子混沌性可在理想气体微观模型基础上，利用统计物理予以证明。础上，利用统计物理予以证明。 最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但最后需要指出，虽然理想气体是一种理想模型，但实验指出，实验指出，在常温下，压强在数个大气压以下的气体，在常温下，压强在数个大气压以下的气体，一般都能很好地满足理想气体方程一般都能很好地满足理想气体方程，这就为理想气体这就为理想气体的广泛应用

10、创造很好条件的广泛应用创造很好条件 1.6.2 单位时间内碰在单位面积器壁上单位时间内碰在单位面积器壁上平均分子数平均分子数 l由于大数粒子无规则热运动，气体分子随时由于大数粒子无规则热运动，气体分子随时都与容器器壁发生频繁碰撞。都与容器器壁发生频繁碰撞。 虽然单个分子在何时相碰，碰在何处是随机虽然单个分子在何时相碰，碰在何处是随机的，的， 但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵但处于平衡态下大数分子所组成的系统应遵循一定统计规律。循一定统计规律。 我们把处于平衡态下的理想气体在单位时间我们把处于平衡态下的理想气体在单位时间内碰撞在单位面积上的平均分子数称为气体分内碰撞在单位面积上的平均分子数

11、称为气体分子碰撞频率或气体分子碰壁数，以子碰撞频率或气体分子碰壁数，以 表示。表示。 显然，在气体状态一定时，其显然，在气体状态一定时，其 应恒定不应恒定不变。变。 下面是一种最简单的求气体分子碰壁数的方下面是一种最简单的求气体分子碰壁数的方法。先作两条简化假设。法。先作两条简化假设。 （1)1)若气体分子数密度为若气体分子数密度为n n，则按照分子，则按照分子混沌性假设，任何一个单位体积中垂直混沌性假设，任何一个单位体积中垂直指向长方形容器任一器壁运动的平均分指向长方形容器任一器壁运动的平均分子数均为子数均为n n/6 /6 。 tv每一分子均以平均速率运每一分子均以平均速率运动。动。 t

12、t时间内时间内, ,所有向所有向- -x x方方向运动的分子均移动了距向运动的分子均移动了距离离t t时间内碰撞在时间内碰撞在A A面积器壁上的平面积器壁上的平均分子数均分子数N N 等于柱体内的分子数等于柱体内的分子数 6ntvAN6vntANvn41单位时间内碰在单位面积器壁上的平均单位时间内碰在单位面积器壁上的平均分子数为分子数为以后在以后在2.52.5中还将专门讨论气体分子中还将专门讨论气体分子碰壁数及其应用，而在碰壁数及其应用，而在2.5.12.5.1中将中将用用较严密的方法导出较严密的方法导出，所得结果所得结果为为 虽然上面推导中，假设容器的形状是长虽然上面推导中，假设容器的形状是

13、长方体，实际上可适于任何形状的容器，方体，实际上可适于任何形状的容器，只要其中理想气体处于平衡态。只要其中理想气体处于平衡态。 例例1.21.2设某气体在标准状况下的平均速设某气体在标准状况下的平均速率为率为 500 m/s,500 m/s,试分别计算试分别计算1s1s内碰在内碰在1cm1cm2 2面积及面积及1010-19-19m m2 2面积器壁上的平均分子数。面积器壁上的平均分子数。 解解 标准状况下气体分子的数密度标准状况下气体分子的数密度 n n0 0 = 2.7= 2.7 101025 25 /m/m3 3 故故)(105 . 410500107 . 261612342501stA

14、vnN)105 .4110500107 .2611819252sN（ 比较后可发现，虽然前面的推导十分比较后可发现，虽然前面的推导十分粗糙，但并未产生数量级的偏差。粗糙，但并未产生数量级的偏差。 这种采用近似模型的处理方法突出了这种采用近似模型的处理方法突出了物理思想，揭示了事物主要特征，而无物理思想，揭示了事物主要特征，而无需作较繁杂的数学计算，是可取的需作较繁杂的数学计算，是可取的。 上述结果说明气体分子碰撞器壁非常上述结果说明气体分子碰撞器壁非常频繁，频繁， 即使在一个分子截面积的大小范围内即使在一个分子截面积的大小范围内（1010-19-19m m2 2），）， 1s1s内还平均碰上内

15、还平均碰上4.54.510108 8次。次。 4/vn6/vn1.6.3理想气体压强公式理想气体压强公式 （一）理想气体压强公式（一）理想气体压强公式 早在早在17381738年年, ,伯努利伯努利(D(DBernoulli)Bernoulli)就设想气就设想气体压强来自粒子碰撞器壁所产生的冲量体压强来自粒子碰撞器壁所产生的冲量, ,在历史在历史上首次建立了分子理论的基本概念。上首次建立了分子理论的基本概念。 他还由此导出玻意耳定律，从而说明了由于他还由此导出玻意耳定律，从而说明了由于分子运动，使气体压强随温度升高而增加。分子运动，使气体压强随温度升高而增加。 我们知道我们知道器壁所受到的气体

16、压强是单位时间器壁所受到的气体压强是单位时间内大数分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁内大数分子频繁碰撞器壁所给予单位面积器壁的平均总冲量。的平均总冲量。 这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无这种碰撞是如此频繁，几乎可认为是无间歇的，间歇的， 所施予的力也是恒定不变的所施予的力也是恒定不变的 （例（例1.21.2已估计出，标准状况下在一个已估计出，标准状况下在一个分子截面积上每秒平均碰撞超过分子截面积上每秒平均碰撞超过10108 8次）。次）。 与推导气体分子碰壁数一样，也可采用与推导气体分子碰壁数一样，也可采用不同近似程度的模型来推导理想气体压不同近似程度的模型来推导理想气体压强公式。强公式。

17、这里介绍类似前面的最简单的方法，这里介绍类似前面的最简单的方法，在在2.5.12.5.1中，将再作较严密的推导。中，将再作较严密的推导。 上节中曾假定，长方体容器的单位体积中均上节中曾假定，长方体容器的单位体积中均各有各有n n/6/6个分子以平均速率向个分子以平均速率向 x x, , y,y, z 6z 6个方个方向运动，向运动， 因而因而在在t t时间内垂直碰撞在时间内垂直碰撞在y-zy-z平面的平面的A A面面积器壁上的分子数为积器壁上的分子数为以以A A为底为底, , 以以 tvAtvnN)6/(为高的柱体内所有向为高的柱体内所有向A A运动运动的分子，这些分子的分子数的分子，这些分子

18、的分子数为为 若每个分子与器壁碰撞是完全弹性的若每个分子与器壁碰撞是完全弹性的, ,每每次碰撞产生的动量改变了次碰撞产生的动量改变了 261vmtAvnvm2vm2所受到的平均冲量面积器壁时间内 At2)31(2)61(vnmvmvnp单位时间的总冲量是力，单位面积的力单位时间的总冲量是力，单位面积的力是压强，故是压强，故该式称理想气体压强公式。该式称理想气体压强公式。即向器壁施予冲量即向器壁施予冲量 下标下标rmsrms为为root mean squareroot mean square的缩写，它的缩写，它表示方根均。表示方根均。 后面我们会看到理想气体确实有这样后面我们会看到理想气体确实有

19、这样的关系的关系, , vvrms085. 12vv 223131vnmpvnm推导中利用了平均速率近似等于均方根推导中利用了平均速率近似等于均方根速率的条件，即速率的条件，即有意思的是，利用较严密的方法所得有意思的是，利用较严密的方法所得到的气体压强公式仍然是到的气体压强公式仍然是可见由这种近似所产生的误差较小。可见由这种近似所产生的误差较小。（二）气体分子平均平动动能（二）气体分子平均平动动能 为每个气体分子的平为每个气体分子的平均平动动能（均平动动能（ 其中下标其中下标 t t 表示平动），表示平动），即即 2)21(vmttnmvnp32312231vnmp tnp32早在早在1857

20、1857年，克劳修斯（年，克劳修斯（ClausiusClausius）即得到这一重要关系式。即得到这一重要关系式。都称为理想气体压强公式，它们都分都称为理想气体压强公式，它们都分别表示了宏观量（气体压强）与微观别表示了宏观量（气体压强）与微观量（气体分子平均平动动能或均方速量（气体分子平均平动动能或均方速率）之间的关系率）之间的关系。 必须说明，在推导理想气体压强公式必须说明，在推导理想气体压强公式时，认为气体压强是大数分子碰撞在单时，认为气体压强是大数分子碰撞在单位面积器壁上的平均冲击力。位面积器壁上的平均冲击力。 实际上气体压强不仅存在于器壁，也实际上气体压强不仅存在于器壁，也存在于气体内

21、部，对于理想气体，这两存在于气体内部，对于理想气体，这两种压强的表达式完全相同。种压强的表达式完全相同。 将气压计引入气体内部并不能测定气将气压计引入气体内部并不能测定气体内部的压强，因为气压计本身就是一体内部的压强，因为气压计本身就是一个器壁。个器壁。 气体内部压强由气体性质决定，它与气体内部压强由气体性质决定，它与气压计是否引入无关。请考虑思考题气压计是否引入无关。请考虑思考题1.191.19 最后还要强调最后还要强调 气体分子碰壁数及气体压强公式均适气体分子碰壁数及气体压强公式均适用于平衡态气体。用于平衡态气体。 布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏布朗粒子就是因为粒子线度已不属宏观范围，涨

22、落使表面受到的压强处处作观范围，涨落使表面受到的压强处处作随机变化，因而会产生布朗运动。随机变化，因而会产生布朗运动。 只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁只要器壁取宏观尺寸，同一容器器壁上压强必处处相等上压强必处处相等（三）理想气体物态方程的另一形式（三）理想气体物态方程的另一形式 p= nkTp= nkT 理想气体物态方程可改写为理想气体物态方程可改写为 pV = pV = RT = RT = N NA AkTkT p = (p = ( N NA A/ /V V)=()=(N/VN/V) )kTkT = = nkTnkT 这是理想气体方程的另一重要形式，也是联系这是理想气体方程的另一重要形式，

23、也是联系宏观物理量（宏观物理量（p p，T T）与微观物理量（）与微观物理量（n n）间的）间的一个重要公式。一个重要公式。 其中其中 k k 称为玻尔兹曼常量称为玻尔兹曼常量 。 R R是描述是描述1mol1mol气体行为的普适常量，气体行为的普适常量， 而而k k是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒是描述一个分子或一个粒子行为的普适恒量，量， 这是奥地利物理学家玻尔兹曼（这是奥地利物理学家玻尔兹曼（BoltzmannBoltzmann）于于18721872年引入的。年引入的。普适常量普适常量 k, G, e, h, ck, G, e, h, c 虽然玻尔兹曼常量是从气体普适常量中引虽然玻尔

24、兹曼常量是从气体普适常量中引出的，但其重要性却远超出气体范畴，而可用出的，但其重要性却远超出气体范畴，而可用于一切与热相联系的物理系统于一切与热相联系的物理系统。 玻尔兹曼常量玻尔兹曼常量k k与与其它普适常量其它普适常量e e（基本电荷（基本电荷量）、量）、G G（引力常量）、（引力常量）、c c（光速）、光速）、h h（普朗（普朗克常量）一样，都是具有特征性的常量克常量）一样，都是具有特征性的常量 只要在任一公式或方程中出现某一普适常量，只要在任一公式或方程中出现某一普适常量，即可看出该方程具有与之对应的某方面特征。即可看出该方程具有与之对应的某方面特征。 例如例如凡出现凡出现 k k 即

25、表示与热物理学有关；即表示与热物理学有关； 出现出现e e 表示与电学有关；表示与电学有关； 出现出现 G G 表示与万有引力有关；表示与万有引力有关； 出现出现c c表示与相对论有关；表示与相对论有关； 出现出现 h h 表示是量子问题等。表示是量子问题等。（四）压强的单位（四）压强的单位 压强，又称压力，这一概念不仅被用于热压强，又称压力，这一概念不仅被用于热学，也被用于连续介质力学中（连续介质力学，也被用于连续介质力学中（连续介质力学是流体力学与弹性力学的总称）。学是流体力学与弹性力学的总称）。 各国在历史上广泛采用各自不同的单位制，各国在历史上广泛采用各自不同的单位制，近数十年才趋于统

26、一用国际单位制（近数十年才趋于统一用国际单位制（SISI制），制），其压强单位是帕（其压强单位是帕（PaPa），），1Pa=1Nm1Pa=1Nm-2-2。 但由于历史原因，在气象学、医学、工程但由于历史原因，在气象学、医学、工程技术等领域的各国文献中常用一些其它单位技术等领域的各国文献中常用一些其它单位。 如：巴（如：巴（barbar）、毫米汞柱（）、毫米汞柱（mmHgmmHg）或称托）或称托（TorrTorr）、毫米水柱（）、毫米水柱（mmHmmH2 2O O）、标准大气压）、标准大气压（atmatm）、工程大气压（）、工程大气压（atat）、千克力每平方）、千克力每平方厘米（厘米（kgfc

27、mkgfcm-2-2）、千克力每平方毫米）、千克力每平方毫米（kgfmmkgfmm-2-2）、磅力每平方英寸（）、磅力每平方英寸（1bin1bin- -2 2）、磅力每平方英尺（）、磅力每平方英尺（1bft1bft-2-2）等，）等， 1.6.4温度的微观意义温度的微观意义 （一）温度的微观意义（一）温度的微观意义 从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒从微观上理解，温度是平衡态系统的微观粒子热运动程度强弱的度量子热运动程度强弱的度量。 将将 p= nkT p= nkT 与与 kTmvt232123/2tnp比较比较可得分子热运动平均平动动能可得分子热运动平均平动动能它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度它表明分子热运动平均平动动能与绝对温度成正比。成正比。 绝对温度越高，分子热运动越剧烈。绝对温度越高，分子热运动越剧烈。绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量，这绝对温度是分子热运动剧烈程度的度量，这是温度的微观意义所在。是温度的微观意义所在。 是分子杂乱无章热运动的平均平动是分子杂乱无章热运动的平均平动动能，它不包括整体定向运动动能。动能，它不包括整体定向运动动能。 只有作高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞改只有作高速定向运动的粒子流经过频繁碰撞改变运动方向而成无规则的热运动，定向运动动变运动方向而成无规则的热运动，定向运动