第六章第2节定积分在几何

1、第六章第2节定积分在几何1定积分在几何上的应用第二节一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线弧长四、小结及作业第六章第2节定积分在几何21、直角坐标系情形xyo)(xfy abdxxx曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(一、平面图形的面积第六章第2节定积分在几何3xyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12如果图形是由两条曲线围成xdxx:微元法微元法为积分变量为积分变量取取x)(1bxa求微元在典型区间,)2(dxxxdxxfxfdA)()(12积分积分)(3第六章第2节定积分在几何4例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线

2、线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(dxxxdA)(2, 10 xdxxxA)(21010333223xx.312xy 2yx 求面积元素求面积元素上上在典型区间在典型区间,)(dxxx2为积分变量为积分变量取取x)(1积积分分)(3第六章第2节定积分在几何5例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).,(),(4822 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y,42ydyyydA242.)(182442242dyyydAA

3、xy224 xy22yx 4yx第六章第2节定积分在几何6:图图如果曲线围成的面积如如果曲线围成的面积如xyo)(yx )(yx cd:微元法微元法,)dycy为积分变量为积分变量取取1上上求求微微元元在在,)dyyy2ydyydyyydA)()( 积分积分)3dyyyAdc)()( 第六章第2节定积分在几何7例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).,(),(4822 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y,42ydyyydA242.)(182442242dyyydAAxy224 xy22yx 4

4、yx第六章第2节定积分在几何8如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值 在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续. ) 第六章第2节定积分在几何9例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin

5、4tatdbdttab 202sin4.ab 第六章第2节定积分在几何10例例5.5. 求由摆线)cos(, )sin(tayttax1)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解解:tdta2022)cos1 (tdta20422sin4令2tu udua42sin8udua042sin162216a4321223 a0aydxA 20dttata)cos()cos(1120 xyoa 2第六章第2节定积分在几何112、极坐标系情形系关系：、直角坐标系与极坐标) 1 sincosryrx122 yx1rxyx422xyo4222yx)( cos4r第六章第2节定积分在几何12 设由曲线

6、设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇形，围成一曲边扇形，求其面积求其面积 xo d d ddA221)(曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)( dA2212)、极坐标系下求面积)( r:微元法微元法,)( 为积分变量为积分变量取取1上求面积元素上求面积元素在在,)( d2积分积分)(3第六章第2节定积分在几何13解解 dadA22121)cos( 利用对称性知利用对称性知.223a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0第六章第2节定积分在几何14解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积

7、14AA daA2214402cos.2axy 222cosa1A第六章第2节定积分在几何1510例例及及求求由由四四条条曲曲线线 cos,cos84rr围成图形的面积围成图形的面积34 ,:解解 cos4rxyx422 cos8rxyx822,34 为为积积分分变变量量取取面积元素面积元素 cos4rxyo cos8r ddA)cos()cos(224821积分积分 dA34224821)cos()cos(633 第六章第2节定积分在几何16 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转

8、轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积二、体积第六章第2节定积分在几何17一般地，一般地，1)、如果旋转体是由、如果旋转体是由)(xfy 、直线、直线ax 、bx 及及 x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ dxxfdV2)( 旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfdxyVbaba22)( xyoab)(xfy :微元法微元法,)(bxax为为积积分分变变量量取取1上上求求微微元元在在,)(dxxx2xdxx 积分积分)(3第六章第2节定积分在几何18y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的

9、直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕 x轴轴旋转构成一个底半径为旋转构成一个底半径为 r、高为、高为 h的圆锥体，的圆锥体，计算圆锥体的体积计算圆锥体的体积 r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP第六章第2节定积分在几何19以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo第六章第2节定积分在几何20

10、a aoyx例例 2 2 求星形线求星形线323232ayx )0( a绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232 .105323a 第六章第2节定积分在几何213例例椭球体积椭球体积轴旋转形成的轴旋转形成的绕绕计算椭圆计算椭圆xbyax12222xyo:解解上半圆方程上半圆方程22xaabyaxax,)( 取积分变量为取积分变量为1aa上上求求微微元元在在,)(dxxx2xdxx dxydV2 dxxaab)(2222 积分积分)(3dxxaabVaa)(2222 234ab :

11、注注Vy轴旋转，轴旋转，、若绕、若绕1ba234 3342aVba 时时，、当当第六章第2节定积分在几何22 2) 、 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线、 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围成轴所围成的曲边梯形绕的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体轴旋转一周而成的立体，体积为积为 xyo)(yx cddyy2)( dcV:微元法微元法,)(dycy为积分变量为积分变量取取1上求微元上求微元在在,)(dyyy2ydyy dyydV2)( 积积分分)(3dyy2)( dcV第六章第2节定积分在几何234例例.,轴旋转的体积轴旋转的

12、体积绕绕所围成的图形所围成的图形求由求由yxyxy022xyo2xy :解解2xy yx dyyVba2)( ydy20 2第六章第2节定积分在几何24例例 5 5 求求摆摆线线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱与与0 y所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕x轴轴、y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 解解绕绕x轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy第六章第2节定积分在几何25绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体

13、积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 第六章第2节定积分在几何26例例 6 6 求求由由曲曲线线24xy 及及0 y所所围围成成的的图图形形绕绕直直线线3 x旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy

14、)()(224343 ,dyy412 dyyV40412 . 643dyPQM第六章第2节定积分在几何272、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积(2.) ,( ),x xdxdVA x dx在上求微元.)( badxxAV),(xA的面积为的面积为已知一立体的平行截面已知一立体的平行截面:则立体的体积为则立体的体积为xyoabx微元法微元法bxax,)(为积分变量为积分变量取取1dxx)(xA积分积分)(3.)( badxxAV第六章第2节定积分在几何28例例 8 8 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角

15、角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积. RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)()( 2221xRxA立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2221.tan 332R第六章第2节定积分在几何29例例 9 9 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆半半径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222RyxxyoRx垂垂直直于于x轴轴的

16、的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22xRhyhxA)(立体体积立体体积dxxRhVRR22. hR221 第六章第2节定积分在几何30垂直 轴的截面是椭圆11122222222)()(axaxczby例例10. . 计算椭球面1222222czbyax所围立体(椭球)的体积 .解解:它的面积为)()(221axbcxA 因此椭球体体积为xdbcax)(221 bc 20abca 34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axxyzaax第六章第2节定积分在几何3111例例与与一平面图形是由抛物线一平面图形是由抛物线22 yx轴所围成，轴所围成

17、，轴、轴、处的法线及处的法线及过点过点yxA),( 13;)( 求此平面图形的面积求此平面图形的面积1:解解xyo23AB22 yxydydx2ydxdy212113yxdxdykA的切线斜率的切线斜率点点处的法线方程处的法线方程曲线在点曲线在点A)(321xy072yx),( 70点坐标为点坐标为B.)(轴旋转体的体积轴旋转体的体积轴及轴及求此平面图形绕求此平面图形绕yx2第六章第2节定积分在几何32xy3212334o23AB),( 70072 yx22 yxdxxdxxVx232230227)()( 2105yVdyydyy1022271)2()27( 15823dxxA32223) 1

18、7(第六章第2节定积分在几何33xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.三、平面曲线弧长第六章第2节定积分在几何34 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数

19、xoyabxdxx 取积分变量为取积分变量为x，在，在,ba上任取小区间上任取小区间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 1、直角坐标情形第六章第2节定积分在几何35解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab第六章第2节定积分在几何36例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx d

20、xysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 022cossin.4n 第六章第2节定积分在几何37曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 2、参数方程情形第六章第2节定积分在几何38例例 3 3 求星形线求星形线323232ayx )0( a的全长的全长.解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a xyo第六章第2节定积分在几何39曲线弧