第12章 动载荷与动应力-2013

1、2021-6-17材料力学1 第第12章章 动载荷与动应力动载荷与动应力 12.1 惯性载荷作用下的动应力惯性载荷作用下的动应力 12.2 冲击应力冲击应力 12.3 振动应力振动应力 2021-6-17材料力学2 12.1 惯性载荷作用下的动应力惯性载荷作用下的动应力 一一. 静载荷与动载荷静载荷与动载荷 1. 静载荷静载荷： 载荷值由零开始，缓慢增加，到一定数值后不再载荷值由零开始，缓慢增加，到一定数值后不再 变化或变化很小。变化或变化很小。 特点：特点：加载过程中结构内任意点加速度近似为零，加载过程中结构内任意点加速度近似为零， 即结构时刻保持平衡。即结构时刻保持平衡。 在此之前所研究的

2、载荷都是静载荷。在此之前所研究的载荷都是静载荷。 2021-6-17材料力学3 2. 动载荷：动载荷： 引起构件产生明显加速度的荷载。引起构件产生明显加速度的荷载。 直线变速提升重物：直线变速提升重物： FN = PFN P ! 2021-6-17材料力学4 匀速转动圆环：匀速转动圆环： FNd FNd 飞轮的制动：飞轮的制动： 2. 动载荷：动载荷： 2021-6-17材料力学5 绕轴匀速转动的直杆：绕轴匀速转动的直杆： FNd 自由落体冲击梁：自由落体冲击梁： 2. 动载荷：动载荷： 2021-6-17材料力学6 3. 动荷响应的特点动荷响应的特点 (1) 构件各部分有明显的加速度；构件各

3、部分有明显的加速度； 不平衡，内力难以用静力平衡方程计算。不平衡，内力难以用静力平衡方程计算。 (2) 材料的力学性质与静荷载作用不同。材料的力学性质与静荷载作用不同。 一般可用应变率来区分静荷载与动荷载：一般可用应变率来区分静荷载与动荷载： 51 10101/s 静荷载：静荷载： 动荷载：动荷载： 18 1010 1/s 2021-6-17材料力学7 4. 假设假设: (1) 当动应力当动应力 d p时，虎克定律仍然成立，且时，虎克定律仍然成立，且E， G与静荷载作用时相同；与静荷载作用时相同； (2) 材料的力学性质，如强度指标材料的力学性质，如强度指标 s, b等，仍可采等，仍可采 用静

4、荷载作用时的数值。用静荷载作用时的数值。 这样的假设是这样的假设是偏于安全偏于安全。 2021-6-17材料力学8 5. 四类动载荷问题四类动载荷问题 (1) 惯性载荷惯性载荷：一般变速运动构件一般变速运动构件 包括：匀加速直线运动和等角速转动；包括：匀加速直线运动和等角速转动； 加速度可求，用加速度可求，用动静法动静法解。解。 (2) 冲击载荷：构件受剧烈变化力的作用冲击载荷：构件受剧烈变化力的作用 加速度不易求，材料的力学性质变化较大；加速度不易求，材料的力学性质变化较大； 用用能量法能量法简化求解。简化求解。 (3) 振动载荷振动载荷： (4) 交变载荷交变载荷：(下一章讨论下一章讨论)

5、 应力作周期变化。应力作周期变化。 2021-6-17材料力学9 12.1 惯性载荷作用下的动应力惯性载荷作用下的动应力 1. 特点：特点：加速度可求加速度可求 形式：形式：直线变速运动构件，等速转动构件。直线变速运动构件，等速转动构件。 2. 惯性力惯性力 F m a 大小：大小：ma 方向：与加速度方向：与加速度a相反相反 惯性力惯性力 Fg= -ma ma 圆周运动圆周运动 R v m 2 m v RF 2021-6-17材料力学10 3. 达朗伯原理达朗伯原理 在运动物体上假想地加上惯性力，则惯性力与主动力、在运动物体上假想地加上惯性力，则惯性力与主动力、 约束力在形式上组成平衡力系。

6、约束力在形式上组成平衡力系。 F m a F m ma 4. 动静法动静法 运用达朗伯原理，将动力学问题在形式上转化为静力学问题。运用达朗伯原理，将动力学问题在形式上转化为静力学问题。 不不 平平 衡衡 平平 衡衡 加惯性力加惯性力 2021-6-17材料力学11 12.1.1直线变速运动构件的动应力直线变速运动构件的动应力 轴力：轴力： N 0,0 y P FFPa g N (1) a FP g 记记 d 1 a k g 动荷系数动荷系数 则则 FN = kdP 2021-6-17材料力学12 12.1.1直线变速运动构件的动应力直线变速运动构件的动应力 FN = kdP 即钢索以加速度即钢

7、索以加速度a起吊重量为起吊重量为P的物体的物体 时所受的力，与静止吊着重量为时所受的力，与静止吊着重量为kdP的的 物体所受的轴力相当。物体所受的轴力相当。 相当静载：相当静载：Pd = kdP 动应力：动应力： d = kd st 动变形：动变形： d = kd st 强度条件：强度条件： d = kd st 2021-6-17材料力学13 一水平放置的匀质混凝土预制梁，由起重机以匀加速度一水平放置的匀质混凝土预制梁，由起重机以匀加速度a 向上提升，已知梁的长度为向上提升，已知梁的长度为l，横截面面积为，横截面面积为A，抗弯截，抗弯截 面系数为面系数为W，材料的质量密度为，材料的质量密度为

8、。试求。试求: (1) 起吊力起吊力F； (2) 梁横截面上的最大弯矩梁横截面上的最大弯矩 Mmax。 解：解：(1) 确定动荷系数确定动荷系数 横梁作匀加速提升，动荷系数：横梁作匀加速提升，动荷系数： d 1 a k g (2) 计算起吊力计算起吊力 静荷起吊力静荷起吊力等于梁的自重，即等于梁的自重，即 st FAl g 例例1 所以，动荷起吊力所以，动荷起吊力 dst (1) a Fk FAl g g 2021-6-17材料力学14 (3) 计算最大弯矩计算最大弯矩 梁单位长度重力梁单位长度重力 qA g 作出弯矩图，得最大静荷弯矩作出弯矩图，得最大静荷弯矩 22 st max 4040

9、qlA gl M 最大动荷弯矩最大动荷弯矩 2 dmaxdstmax (1) 40 a A gl Mk M g 例例1 2021-6-17材料力学15 12.2.2等速转动构件的动应力等速转动构件的动应力 薄环：环厚薄环：环厚 平均直径平均直径D 向心加速度：向心加速度： 2 2 n D a 单位长度惯性力：单位长度惯性力： 2 d 2 D qA 单位体积质量：单位体积质量： 横截面面积：横截面面积：A 单位长度质量：单位长度质量：A 2021-6-17材料力学16 12.2.2等速转动构件的动应力等速转动构件的动应力 动应变：周向线应变动应变：周向线应变 1 d DDD DD 222 d 4

10、 Dv EEE 强度条件：强度条件： 22 2 d 4 D v 直径改变量：直径改变量： 322 4 DDv D EE 与与 (或或v)有关有关 动轴力：动轴力： 22 d N 24 q DAD F 动应力：动应力： 22 2N d 4 FD v A 平衡方程：平衡方程： Fy=0, -2FN+qdD=0 与与A无关无关 v 极限速度极限速度(转速转速) 2021-6-17材料力学17 12.2 冲击应力冲击应力 一、冲击现象一、冲击现象 P P P 冲击作用时间很短冲击作用时间很短10-610-3秒。秒。 由于冲击载荷的变化规律难以精确掌握，因此常采用能由于冲击载荷的变化规律难以精确掌握，因

11、此常采用能 量转化及守恒定律求近似解。量转化及守恒定律求近似解。 冲击物冲击物 被冲击物被冲击物 冲击物冲击物 冲击物冲击物 2021-6-17材料力学18 二、假设：二、假设： 1. 冲击物的变形很小，可以忽略不计，即视为冲击物的变形很小，可以忽略不计，即视为刚体刚体，并且，并且 从冲击开始到产生最大位移的整个过程中，冲击物与被从冲击开始到产生最大位移的整个过程中，冲击物与被 冲击物一起运动，不发生分离。冲击物一起运动，不发生分离。 不吸收变形能不吸收变形能 2.忽略被冲击物的忽略被冲击物的质量质量，认为冲击载荷引起的应力和变形，认为冲击载荷引起的应力和变形， 在冲击瞬时遍及被冲击物，被冲击

12、物仍处于线弹性范围在冲击瞬时遍及被冲击物，被冲击物仍处于线弹性范围 内，并且无反弹。内，并且无反弹。 不计被冲击物的动能和势能不计被冲击物的动能和势能 3.忽略其它能量损失，如接触区局部塑性变形的能量损失、忽略其它能量损失，如接触区局部塑性变形的能量损失、 发热、发声等，只有发热、发声等，只有位能、动能和应变能位能、动能和应变能的转化。的转化。 机械能守恒定律仍然成立机械能守恒定律仍然成立 动能动能T， 势能势能V， 变形能变形能U 任意时刻有：任意时刻有：T + V + U = 常数常数 2021-6-17材料力学19 P h EI d 初初 初时刻：初时刻：T1 = 0, V1 = P(h

13、+ d), U1 = 0 末时刻：末时刻：T2 = 0, V2 = 0, U2 = Pd d /2 末末 Pd 12.2.1. 自由落体冲击应力和变形自由落体冲击应力和变形 2021-6-17材料力学20 T1 + V1 + U1 = T2 + V2 + U2 P(h+ d)=Pd d/2 d d P k P 令令 则则 ddddst Pk Pk P(h+kd st) = kdP kd st/2 2 stdstd 220kkh st：将冲击物重量当作：将冲击物重量当作 静载加到冲击点引静载加到冲击点引 起的冲击点位移起的冲击点位移 冲击动荷系数冲击动荷系数 12.2.1. 自由落体冲击应力和变

14、形自由落体冲击应力和变形 2021-6-17材料力学21 d st 2 11 h k 其解为：其解为： 取正号：取正号： d st 2 11 h k 2 stdstd 220kkh h： 冲击高度冲击高度 st：将冲击物重量按静载方式加到冲击点：将冲击物重量按静载方式加到冲击点 引起该点相应位移。引起该点相应位移。 三三. 自由落体冲击应力和变形自由落体冲击应力和变形 自由落体冲击自由落体冲击 动荷系数动荷系数 2021-6-17材料力学22 研究最大动应力和最大动变形时，可转化为等效静荷问研究最大动应力和最大动变形时，可转化为等效静荷问 题求解。题求解。关键：求关键：求kd。 P EI st

15、 d P h EI 原冲击问题原冲击问题 EI Pd d 等效静荷问题等效静荷问题 Pd = kdP 三三. 自由落体冲击应力和变形自由落体冲击应力和变形 2021-6-17材料力学23 类似问题类似问题 三三. 自由落体冲击应力和变形自由落体冲击应力和变形 2021-6-17材料力学24 12.2.1. 自由落体冲击应力和变形自由落体冲击应力和变形 讨论：讨论： (1) 如果冲击物作为突加载荷作用在梁上，此时如果冲击物作为突加载荷作用在梁上，此时h=0，得到得到 kd=2，即突加载荷作用力是静载荷作用的两倍。，即突加载荷作用力是静载荷作用的两倍。 (2) 如果自由落体时，已知的不是冲击物的高

16、度，而是冲击如果自由落体时，已知的不是冲击物的高度，而是冲击 物在冲击时的速度，则根据自由落体公式物在冲击时的速度，则根据自由落体公式v2=2gh，得到，得到 (3) 自由落体时，若己知的是冲击物冲击时的初动能，则根自由落体时，若己知的是冲击物冲击时的初动能，则根 据动能表达式据动能表达式T=Wv2/(2g)，得到，得到 2 d st 11 v k g d st 2 11 h k 自由落体冲击自由落体冲击 动荷系数动荷系数 d st 2 11 T k W 2021-6-17材料力学25 钢制圆截面杆上端固定，下端固连一无重刚性托盘以承钢制圆截面杆上端固定，下端固连一无重刚性托盘以承 接落下的环

17、形重物。已知杆的长度接落下的环形重物。已知杆的长度l=2m，直径，直径d=30mm， 弹性模量弹性模量E=200GPa。若环形重物的重力。若环形重物的重力P= 500N，自高，自高 度度h=50mm处自由落下，使杆受到冲击。求下列两种情处自由落下，使杆受到冲击。求下列两种情 况下，杆的动应力：况下，杆的动应力：(1) 重物直接落在刚性托盘上；重物直接落在刚性托盘上；(2) 托盘上放一刚度系数托盘上放一刚度系数k=1MN/m的弹簧，环形重物落在弹的弹簧，环形重物落在弹 簧上。簧上。 解：解：(1) 环形重物直接落在刚性环形重物直接落在刚性 托盘上托盘上 冲击点沿冲击方向的静荷位移冲击点沿冲击方向

18、的静荷位移 6 st12 9 500 2 7.074 10 m 0.03 200 10 4 Pl EA 例例2 2021-6-17材料力学26 动荷系数：动荷系数： d1 st 6 2 11 2 0.05 11120 7.074 10 h k 静荷应力：静荷应力： st12 500 0.7074MPa 0.03 4 P A 动应力：动应力： d1d1st1 120 0.7074= 84.9MPak 例例2 2021-6-17材料力学27 (2) 环形重物落在弹簧上环形重物落在弹簧上 此时，冲击点沿冲击方向的静荷此时，冲击点沿冲击方向的静荷 位移为杆的静荷轴向伸长与弹簧位移为杆的静荷轴向伸长与弹

19、簧 静荷变形之和，有静荷变形之和，有 st22 6 9 500 2500 0.031 10 200 10 4 PlP EAk 666 7.074 10+500 10= 507.074 10 m 动荷系数：动荷系数： d2 6 st2 22 0.05 111115.08 507.074 10 h k 例例2 动应力：动应力： d2d2st2 15.08 0.7074=10.7MPak 2021-6-17材料力学28 讨论：讨论： 弹簧起到了缓冲作用，使冲击载荷大大减小。弹簧起到了缓冲作用，使冲击载荷大大减小。 动荷因数中的动荷因数中的 st是冲击物的重力以静荷方式作用是冲击物的重力以静荷方式作用

20、 于构件冲击点时，所引起的构件冲击点沿冲击方于构件冲击点时，所引起的构件冲击点沿冲击方 向的静位移。这一点在应用时需要特别注意。向的静位移。这一点在应用时需要特别注意。 例例2 d1 d2 84.9MPa =10.7MPa 2021-6-17材料力学29 d st 12.2.2. 水平冲击水平冲击 2021-6-17材料力学30 初：初： T2=0, V2=0, U2= Pd d/2 st 2 1 2 v g P T V1= 0, U1= 0 末：末： 记记 Pd=kdP d=kd st 22 dst 1 22 P vk P g 2 d st v k g 能量守恒：能量守恒：T1+V1+U1

21、= T2+V2+U2 初初 d 末末 12.2.2. 水平冲击水平冲击 2021-6-17材料力学31 初初 末末 v 初初: 2 11dst 2 P TvVP g 1st 1 2 UP 末末: T2 = 0 V2 = 0 2dd 1 2 UP 能量守恒：能量守恒： T1 + V1+U1 = T2+V2+U2 2 dststdd 11 222 P vPPP g 记记 Pd=kdP d=kd st 2 d st 1 v k g 12.2.3. 运动物体的突然制动运动物体的突然制动(刹车刹车) 2021-6-17材料力学32 图示外伸梁抗弯刚度为图示外伸梁抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为，抗弯截面模

22、量为W。 求梁内最大冲击正应力求梁内最大冲击正应力 dmax。 P h 2a a C A B 解：解：(1) 判断判断 自由落体冲击问题，动荷系数可直接用公式计算。自由落体冲击问题，动荷系数可直接用公式计算。 例例3 2021-6-17材料力学33 P 2a a C A B (2) 求求 st(单位力法，单位力法，P272) M Pa 1 C A B a M 例例3 2021-6-17材料力学34 P 2a a C A B M Pa a M 1 3 st 11212 (2) 2323 Pa a Paaa Paa EIEI a 3 2 a 3 2 例例3 P172表查得表查得 2021-6-17

23、材料力学35 P 2a a C A B (4) 求求 stmax M Pa max stmax MPa WW 例例3 (3) 求求kd d st 2 11 h k 3 2 11 hEI Pa 3 st Pa EI (5) 求求 dmax dmaxdstmax k 3 2 (11) hEIPa WPa 2021-6-17材料力学36 12.2.4、冲击韧度、冲击韧度 在冲击载荷作用下，材料的变形和破坏过程仍分为在冲击载荷作用下，材料的变形和破坏过程仍分为弹性变形、弹性变形、 塑性变形和断裂破坏塑性变形和断裂破坏几个阶段。几个阶段。 但材料的力学性能与静载时有明显的差别：但材料的力学性能与静载时有

24、明显的差别： 屈服点与静载时相比有较大的提高，屈服点与静载时相比有较大的提高， 但塑性却明显下降，但塑性却明显下降， 材料产生明显的脆性倾向。材料产生明显的脆性倾向。 为了衡量材料抵抗冲击的能力，为了衡量材料抵抗冲击的能力， 工程上提出了工程上提出了冲击韧度冲击韧度的概念，的概念， 它是由它是由冲击试验冲击试验确定的。确定的。 2021-6-17材料力学37 冲击试验冲击试验: 试样试样：截面：截面10 10mm2，长度，长度 55mm，中间开有切槽，中间开有切槽(缺口缺口)。 设备设备：摆锤式冲击试验机。：摆锤式冲击试验机。 过程过程：试样放在试验机两支承：试样放在试验机两支承 点上，摆锤从

25、高度点上，摆锤从高度h1处自由落处自由落 下，打击到试样上。将试样冲下，打击到试样上。将试样冲 断后，摆锤摆到高度断后，摆锤摆到高度h2处。处。 k12 ()WF hh k K W a A 冲击韧度冲击韧度： 单位：焦耳单位：焦耳/米米2(J/m2) F：摆锤重量：摆锤重量 A：切槽处横截面面积：切槽处横截面面积 能量转换能量转换：摆锤减少的位能等于试样折断时吸收的功：摆锤减少的位能等于试样折断时吸收的功： 2021-6-17材料力学38 冲击试验冲击试验: aK越大，表明材料抵抗冲击的能力越强。越大，表明材料抵抗冲击的能力越强。 冲击韧度与材料的塑性有关，但又不同于塑性，是强度与冲击韧度与材

26、料的塑性有关，但又不同于塑性，是强度与 塑性的综合表现。塑性的综合表现。 一般地说，塑性材料的冲击韧度远高于脆性材料。一般地说，塑性材料的冲击韧度远高于脆性材料。 因此，冲击韧度也是材料的力学性能指标之一。因此，冲击韧度也是材料的力学性能指标之一。 在工程实际中有时必须对冲击韧度做出要求。在工程实际中有时必须对冲击韧度做出要求。 2021-6-17材料力学39 冲击动荷系数冲击动荷系数 自由落体冲击：自由落体冲击： 水平冲击：水平冲击： 紧急制动：紧急制动： 12.2.5 提高构件抗冲击能力的措施提高构件抗冲击能力的措施 原则：降低原则：降低kd、增加、增加 st (1) 降低刚度。降低刚度。

27、 (2) 避免构件局部削弱。避免构件局部削弱。 (3) 增大构件体积。增大构件体积。 2 d st v k g d st 2 11 h k 2 d st 1 v k g 2021-6-17材料力学40 P P l lEA P EA Pl l 3 3 33lEI P EI Pl f lGI m GI ml PP 12.2.5提高构件抗冲击能力的措施提高构件抗冲击能力的措施 2021-6-17材料力学41 P lEA P EA Pl l 3 3 33lEI P EI Pl f lGI m GI ml PP 弹性杆件可看作弹簧：弹性杆件可看作弹簧： 12.2.5提高构件抗冲击能力的措施提高构件抗冲击

28、能力的措施 2021-6-17材料力学42 12.3 振动应力振动应力 一、振动应力的概念一、振动应力的概念 构件在动载荷作用下常伴随有振动现象。构件在动载荷作用下常伴随有振动现象。 构件发生强烈振动，特别是共振时，其应力和变形都将达到构件发生强烈振动，特别是共振时，其应力和变形都将达到 很大的值，以致造成构件破坏。很大的值，以致造成构件破坏。 构件在振动时的强度计算，也是工程设计中的一个重要内容。构件在振动时的强度计算，也是工程设计中的一个重要内容。 特别是构件在外界干扰力作用下引起的强迫振动。特别是构件在外界干扰力作用下引起的强迫振动。 只讨论单自由度系统强迫振动的振动应力计算。只讨论单自

29、由度系统强迫振动的振动应力计算。 2021-6-17材料力学43 二、单自由度系统振动模型二、单自由度系统振动模型 忽略梁的质量。忽略梁的质量。 纵向振动比横向振动对梁的应纵向振动比横向振动对梁的应 力和变形的影响小得多，只考力和变形的影响小得多，只考 虑横向振动。虑横向振动。 H：转子偏心产生离心惯性力：转子偏心产生离心惯性力 Hsin t：使梁作横向强迫振动：使梁作横向强迫振动 Hcos t：使梁作纵向强迫振动：使梁作纵向强迫振动 x：离开静平衡位置的距离：离开静平衡位置的距离 st：重力使梁产生的静变形：重力使梁产生的静变形 受力分析：受力分析： 重力：重力：W 弹簧力：弹簧力：k( s

30、t+x) 干扰力：干扰力：Hsin t 阻尼力：阻尼力： 惯性力：惯性力： Rcx mx 2021-6-17材料力学44 三、单自由度系统强迫振动三、单自由度系统强迫振动 根据达朗伯原理根据达朗伯原理: st ()sin0mxcxkxmgHt st 2 n 2sin kmg H xnxxt m 2 c n m n st kg m 阻尼系数阻尼系数 系统的固有圆频率系统的固有圆频率 sin()e() nt d xAtBt H A H n HgH Wk 2 dn 1 强迫振动的振幅强迫振动的振幅 把干扰力把干扰力H按静载方式按静载方式 作用于弹簧上的静位移作用于弹簧上的静位移 阻尼自由振动圆频率阻

31、尼自由振动圆频率 ： 动力放大系数动力放大系数 ： 强迫振动的初相位强迫振动的初相位 欠阻尼情况下，欠阻尼情况下，n n时，通解：时，通解： 衰减振动衰减振动 随时间推移而消失随时间推移而消失 强迫振动强迫振动 2021-6-17材料力学45 四、强迫振动应力四、强迫振动应力 sin()xAt 2222 2 1 (1)4 2 arctan 1- n n0 nc c 0 2ckm 频率比频率比 阻尼比阻尼比 临界阻尼临界阻尼 稳态响应：稳态响应： dmaxstH dminstH dmaxH stst dminH stst 1 1 dmaxdmaxH ststst 1 材料服从胡克定律，应力、材料

32、服从胡克定律，应力、 载荷和变形间成正比。载荷和变形间成正比。 st与与 dmax的关系：的关系： 梁跨度中点挠度：梁跨度中点挠度： 2021-6-17材料力学46 四、强迫振动应力四、强迫振动应力 H dmaxststdst st (1)(1) H k W dmaxdmaxH ststst 1 H st H W H d st 11 H k W 振动的动载荷系数振动的动载荷系数 H dminstst st (1)(1) H W 最小动应力最小动应力 dmax 因此：因此： 梁内任一点的应力在梁内任一点的应力在 dmin, dmax之间变化。之间变化。 随时间周期性交替变化的应力称为随时间周期性

33、交替变化的应力称为交变应力交变应力。 振动应力的强度问题应按交变应力处理。振动应力的强度问题应按交变应力处理。 2021-6-17材料力学47 四、强迫振动应力四、强迫振动应力 dmax和和kd与动力放大系数与动力放大系数 有关，有关， 与频率比与频率比 和阻尼比和阻尼比 有关：有关： H d st 2222 11 1 (1)4 H k W (1) =1, =1/2 ： 当当 =0， 无限大，振幅无限大，振幅A无限增长；无限增长； 当当 0时，时， 为有限值，但出现很大高峰为有限值，但出现很大高峰 共振现象。共振现象。 共振使系统不稳定，产生极大振动应力，共振使系统不稳定，产生极大振动应力， 导致结构破坏。导致结构破坏。 应使干扰力频率应使干扰力频率 避开系统固有频率避开系统固有频率 n， 以免发生共振。以免发生共振。 通过增大阻尼降低通过增大阻尼降低 值。值。 2021-6-17材料力学48 四、强迫振动应力四、强迫振动应力 H d st 22