五章留数及其应用.docx

1、第五章 留数及其应用 1. 孤立奇点一 . 孤立奇点的分类1. 孤立奇点的概念定义： 若函数在点不解读，但在点的某一去心邻域内处处解读.则称为的孤立奇点 .一 . 求下列函数的奇点，并各奇点是否为孤立奇点.1）2）3） 若有恒成立，则称为的可去奇点 .1/12( 若有,但对于有恒成立，则称为的 m 阶极点 .(若有,则称为的本性奇点 .说明 : (1为的洛朗展式，其和函数为在点解读的函数 .(2 无论函数在点是否有定义，补充定义则函数在点解读 .3. 孤立奇点的类型的判断(1 可去奇点的判定方法定理1 设在点的某一邻域内解读 ,则为的可去奇点的充分必要条件是:.定理1设是的孤立奇点 ,则为的可

2、去2/12奇点的充分必要条件是:在内有界 .(2 极点的判定方法结论：是的 m 阶极点的充要条件是:其中在邻域内解读 ,且.定理2 设在点的某一邻域内解读,则为的极点的充要条件是 :是的 m 阶极点的充要条件是:其中为一确定的非零复常数,m 为正整数 .(3 本性奇点的判定方法定理3 设在点的某一邻域内解读 ,则为的本性奇点的充要条件是:极限与3/12均不成立 .一 . 判断下列函数的奇点的类型：1）2）0,有函数在无穷远点的邻域内解读 ,则称无穷远点为的孤立奇点 .设在无穷远点的邻域内的洛朗展式为那么规定 :( 若有恒成立，则称为的可去奇点 .(若有,但对于有恒成立，则称为的 m 阶极点 .

3、(若有,则称为的本性奇点 .定理 6 设在区域内解读 ,则为的可去奇点、极点和本性奇点的充要条件分别是 :极限存在、为无穷及即不5/12存在 , 也不是无穷 .一 . 判断下列函数的奇点的类型：1）2）3） 设在区域 D 内除有限多个孤立奇点外处处解读 ,C 是 D 内包围各奇点的任意一条正向简单闭曲线,那么说明： 留数定理把计算周线上的积分的整体问题转化为函数在周线所围成的区域内的各个孤立奇点处的留数的局部问题 .例9计算积分.二. 函数在极点的留数法则 如果为的简单极点 ,则Res.7/12例 10 求在各孤立奇点处的留数 .法则 设,其中在点解读 ,如果为的一阶零点 ,则为的一阶极点 ,

4、且例11求在的留数.法则 如果为的 m 阶极点 ,则Res.例 12 求在孤立奇点 0 处的留数 .例 13 计算积分8/12例 14 计算积分三. 无穷远点的留数定义 ： 设函数在区域内解读 ,即为函数的孤立奇点 ,则称为在的留数 ,记作 Res.定理 8 如果函数在 z 平面只有有限多个孤立奇点 (包括无穷远点 ,设为.则在所有孤立奇点处的留数和为零.法则 (无穷远点的留数 若为函数的孤立奇点 ,则ResRes.例 15求在它各有限奇点的9/12留数之和 .例 16计算积分其中C 为正向圆周3. 留数在定积分计算中的应用一. 形如的积分思想方法 :把定积分化为一个复变函数沿某条周线的积分 .两个重要工作 :1 积分区域的转化 , 2 被积函数的转化 .当从 0 到时 ,z 沿单位圆的正向绕行一周 .例17计算10/12的值 .二. 形如的积分设为复函数的实值形式 ,其中满足条件 :(1。(2在实轴上无零点。(3在上半平面内只有有限多个孤立奇点则有=.例 18 计算积分三. 形如的积分定理 9(若当引理 设函数在闭区域 :上连续 ,并设是该闭区域上一段以原点为中心,以为半径的圆弧 .若在该闭区域上有11/12,则对任何 a0,有.由若当引理可知 :.其中为真分式在上半平