空间几何体的体积计算

1、顺德区乐从中学顺德区乐从中学O在棱长为在棱长为4的正方体中，求三棱锥的正方体中，求三棱锥AB1CD1的体积的体积ACDB1C1D1BA1?G?E?F?N?M?D?C?B?A?a?a?a?俯视图?左视图?主视图变式练习变式练习1.一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为的正方形，左视图是直角边长为a的等腰的等腰三角形）如图所示，其中三角形）如图所示，其中M、N分别是分别是AB、AC的中点，的中点，G是线段是线段DF上的一动点上的一动点.求证：求证：GNAC;?求三棱锥求三棱锥F-MCE的体积；的体积；当当G在何

2、处时，在何处时，AG/平面平面FMC.一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为为a的正方形，左视图是直角边长为的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形）的等腰三角形）如图所示，其中如图所示，其中M、N分别是分别是AB、AC的中点，的中点，G是线是线段段DF上的一动点上的一动点. 求证：求证：GNAC; ?G?E?F?N?M?D?C?B?A由三视图可知，多面体是直三棱由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为柱，两底面是直角边长为a的等腰的等腰直角三角形，侧面直角三角形，侧面ABCD,?CDFE是是边长为边长为a的正方形。的正方形。

3、.?2分分连结连结DN,?因为因为FDCD,?FDAD,?所以所以FD面面ABCD,?FDAC.又又ACDN，所以所以AC面面GND，?面面GND?所以所以?GNAC.4分分GN QGNMFEDCBA一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为为a的正方形，左视图是直角边长为的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形）的等腰三角形）如图所示，其中如图所示，其中M、N分别是分别是AB、AC的中点，的中点，G是线是线段段DF上的一动点上的一动点.?求三棱锥求三棱锥F-MCE的体积；的体积；AD面面DCEF,点点M在直线在直线AB上上,三棱锥三棱锥M

4、-CEF的高就是的高就是AD,底面是底面是CEF。313111326E FMCMCEFCEFVVAD Saa aa 8分分?G?E?F?N?M?D?C?B?A一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为为a的正方形，左视图是直角边长为的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形）的等腰三角形）如图所示，其中如图所示，其中M、N分别是分别是AB、AC的中点，的中点，G是线是线段段DF上的一动点上的一动点.?当当G在何处时，在何处时，AG/平面平面FMC.变式练习变式练习2.2.一个多面体的一个多面体的直观图及三视图如图所直观图及三视图如图所示示 ,

5、 其中其中M、N、Q分别分别是是AF、BC、FC的中点的中点.(1)求证求证:MQBF;(2)求证求证:MN平面平面CDE;(3)求多面体求多面体ACDEF的的体积体积.变式练习变式练习3:?已知四边形已知四边形ABCD是等腰梯形是等腰梯形,?AB=3,?DC=1,BAD=450,?DEAB,?现将现将三角形三角形ADE沿沿DE折起折起,使得使得AEEB,连结连结AC,AB,设设M是是AB的中点，如图的中点，如图.(1)求几何体求几何体A-EDCB的体积的体积;(2)求证：求证：BC平面平面AEC.EBCDAADCBEM如图，正方形如图，正方形ABCD所在平面与三角形所在平面与三角形CDE所所

6、在平面相交于在平面相交于CD，AE平面平面CDE，且，且AE=3，AB=6.（1）求证：）求证： AB平面平面ADE；（2）求凸多面体）求凸多面体ABCDE的体积的体积ABCDE图13ABCDEE ABCDABCDVVSEFABCDEB CDEB ADEVVV变式练习变式练习4.(2009深圳深圳)如图如图AB是圆是圆O的直径，点的直径，点E、F在圆在圆O上，上，AB/EF,矩形矩形ABCD所在的平面和圆所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且所在的平面互相垂直，且AB=2,AD=EF=1.(1)求证：求证：AF平面平面CBF;(2)设设FC的中点为的中点为M，求证：，求证：OM/平面平面DAF

7、;(3)设平面设平面CBF将几何体将几何体EFABCD分成的两个锥分成的两个锥体的体积分别为体的体积分别为VF-ABCD, VF-CBE，求，求VF-ABCD:VF-CBE.CBEODAFM1.如图在四棱锥如图在四棱锥P-ABCD中，平面中，平面PAD平面平面ABCD，AB/DC,PAD是等边三角形，已知是等边三角形，已知BD=2AD=8,AB=2DC=45。(1)设设M是是PC上一点，证明：平面上一点，证明：平面MBD平面平面PAD;(2)求四棱锥求四棱锥P-ABCD的体积的体积.MDCABP已知三棱锥已知三棱锥PABC中，中，PC底面底面ABC，AB=BC，D、F分别为分别为AC、PC的中

8、点，的中点，DEAP于于E（1）求证：）求证：AP平面平面BDE；?（2）求证：平面）求证：平面BDE平面平面BDF；（3）若）若AE EP=1 2，求截面，求截面BEF分三棱锥分三棱锥P-ABC所成两部分的体积比所成两部分的体积比.31232313121PBCPBFPBCAPBFEABCPEBFPShShVVVV1.已知已知E，F分别是分别是棱长为棱长为a的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1的的棱棱A1A，CC1的中的中点，求四棱锥点，求四棱锥C1-B1EDF的体积的体积.D1DCBAC1B1A1.FE返回1.已知已知E，F分别是棱长为分别是棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1

9、D1的的棱棱A1A，CC1的中点，求四棱锥的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积的体积.D1DCBAC1B1A1.FE解解:方法一方法一:连接连接A1C1, B1D1交于交于O1,O1过过O1作作O1H B1D于于H,HEF/A1C1, A1C1/平面平面B1EDF C1到平面到平面B1EDF的距离的距离 就是就是A1C1就是就是 到平面到平面B1EDF的距离的距离平面平面B1D1D平面平面B1EDF,O1H平面平面B1EDF 即即O1H为棱锥的高为棱锥的高 B1O1HB1DD1a66DBDDOBHO11111 HOSVEDFBEDFBC111131 HODBEF112131 361663221

10、31aaaa 1.已知已知E，F分别是棱长为分别是棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积的体积.D1DCBAC1B1A1.FE解解:方法二方法二:连接连接EF设设B1到平面到平面C1EF的距离为的距离为h1,D到平面到平面C1EF的距离为的距离为h2 ,则则 h1+h2=B1D1=2a , EFCDEFCBEDFBCVVV11111 32161)(311ahhSEFC 1.已知已知E，F分别是棱长为分别是棱长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积的体积.D1DCBAC1B1A1.FE解解:方法三方法三:111 11 11 1 1111CB EDFA B E D C FDE A B C DE C D DVVVV多面体361a 如右图，四棱锥如右图，四棱锥EABCD中，中，ABCD是矩形，是矩形，平面平面EAB平面平面ABCD, AE=EB=BC=2, F为为CE上的点，且上的点，且BF平面平面ACE（1）求证：）求证：AEBE；（2）求三棱锥）求三棱锥DAEC的体积的体积变式训练变式训练2.如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD中，底