二面角的几何求法

1、学习目标：学习目标：1、知道二面角和二面角的平面角定义以及二面角平面角的范围。2、熟悉二面角的常见作法：定义法、垂面法、三垂线法3、掌握求二面角的一般步骤 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角, 这条直线叫做二面角的棱这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面.复复 习习:l2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义 ABP l二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足： 3）角

2、的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围: 00 ，1800 二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端以二面角的棱上任意一点为端点点, 在两个面内分别作垂直于棱的在两个面内分别作垂直于棱的两条射线两条射线, 这两条射线所成的角叫这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。做二面角的平面角。A1B1 P1 注意注意: :(与顶点位置无关与顶点位置无关) APB= A1P1B1 例例1、已知正三、已知正三棱

3、锥棱锥V-ABCV-ABC所有的棱所有的棱长均相等，求二面角长均相等，求二面角 A-VC-BA-VC-B的大小。的大小。VABC 例例1、已知正三、已知正三棱锥棱锥V-ABCV-ABC所有的棱所有的棱长均相等，求二面角长均相等，求二面角 A-VC-BA-VC-B的大小。的大小。VBCA 例例1、已知正三、已知正三棱锥棱锥V-ABCV-ABC所有的棱所有的棱长均相等，求二面角长均相等，求二面角 A-VC-BA-VC-B的大小。的大小。VBCA 例例1、已知正三、已知正三棱锥棱锥V-ABCV-ABC所有的棱所有的棱长均相等，求二面角长均相等，求二面角 A-VC-BA-VC-B的大小。的大小。VBC

4、AO解：过B点作BOVC于于O,连接连接AO.因为在正三棱锥中VA=VB,VO=VO,BVO=AVO.BVO=AVO.所以所以VOBVOA所以AOVC。所以。所以BOABOA即为所求二面角的平面角。即为所求二面角的平面角。在AOB中，设中，设AB=1，则，则AO=BO=2331AOBcos所以作角作角证角证角求角求角定义法定义法探究准备探究准备想一想： 1、还能用什么方法作出二面角的平面角？ （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过

5、一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则ACB即为该二面角的平面角。ABC例2、如图：在三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，ABBC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC= a.求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD2分析分析：1、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；2、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。解：如图： SA 平面ABC, SAAB，SAAC，SA BD;于是SB= = a又BC= a ， SB=BC; E为SC的中点，BESC 又DESC 故

6、SC平面BDE可得BDSC 又BDSA BD平面SAC CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面角的平面角。 ABBC，AC= = = a 在直角三角形SAC中，tanSCA= = SCA=300 ， CDE=900-SCA=600 解毕。22ABSA22BCAB 222aa 223ACSA33SECAD议一议：刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？ 垂面法垂面法 PABCD过过B作作BDPC于于D， 则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。连结连结ED， 解：过解：过B作作BEAC于于E， E ABC为正为正， BE=a23在在RtPAC中，中，E为为AC中点，中点

7、，则则DE=在在RtDEB中中tan BDE=DEBE6例例3:已知正三角形已知正三角形ABC，PA面面ABC，且，且PA=AB=a， 求二面角求二面角A-PC-B的正切值。的正切值。a42三垂线法三垂线法课堂小结：课堂小结：1、二面角以及二面角的平面角的定义、范围。2、二面角平面角的作法：定义法、垂面法、三垂线法3、求二面角的步骤：作角-证角-求角预习探究如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。（1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1与平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1

8、B1ADCBF谢 谢 指 导！预习探究如图：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,底面ABCD是菱形，AD=AA1 ，DAB=600,F为棱AA1的中点。（1）求：平面BFD1与平面ABCD所成的二面角的大小。（2）求：平面BFD1与平面B1FD1所成的二面角的大小。A1D1C1B1ADCBFA1D1C1CB1BDAPF如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线。 F是AA1的中点，可得A也是PD的中点，AP=AB, 又 DAB=600,且底面ABCD是菱形，可得正三角形ABD, 故DBA=600, P=ABP=300, DBP=900,即PBDB； 又因为是直棱柱，DD1 PB, PB面DD1B, 故 DBD1就是二面角D1-PB-D的平面角。 显然BD=AD=DD1, DBD1=450。即为所求. 解毕。解法一：解法一：A1D1C1B1FADCBPE解法二：解法二：如图：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB就是平面BFD1与平面ABCD的交线； 因为是直棱柱，所以AA1 底面ABCD,过A做AEPB