等比数列的前n项和（1）

1、 等比数列的前n项和（1）【学习目标】 1. 探索并掌握等比数列的前n项和公式；学会用公式解决一些简单问题。 2.掌握从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力。【课前导学】1. 在等比数列an中，a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是 2在等比数列an中，已知a5=2,则这个数列的前9项的乘积等于 32，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于 【答案】（1）4；（2）512；（3）54【课堂活动】一、建构数学1. 等比数列的前n项的和【注意】（1）证法：错位相减法（2）当q=1时，等比数列的前n项和公式为，应用求和公式时，必要时应讨论的情况（3）注意求和

2、公式中是，通项公式中是不要混淆；（4）如果已知a1, an,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个（5）当时，当时是等比数列。二、应用数学1、五个量，知三个量，就可以求余下的两个量【例1】在等比数列an中，（）已知4，12，求；（）已知，243，3，求【解】（1）根据等比数列的前项和公式，得（2）根据等比数列的前项和公式，得【解后反思】在等差数列的通项公式与前项和公式中，含有，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量合理使用用种形式，优化过程【例2】（1）在等比数列an中，求an.（2）等比数列an中，a3=7,前 3项之和S3=21, 求公比q的值【解】（1）若，则，这

3、与已知是矛盾的，所以从而将上面两个等式的两边分别相除，得所以，由此可得，因此（2）若，a3=7，S3=21=，满足题意；从而，将上面两个等式的两边分别相除，解得。综上，公比q为1或【解后反思】（1）利用等比数列前n项的和公式解题时，要q=1与（2）第二小题定义解题则不用讨论。将上面两个等式的两边分别相除，解得1或2、整体代换【例3】在等比数列an中，a1+an=66,a2an1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.【解】 a1an=a2an1=128,又a1+an=66,a1、an是方程x266x+128=0的两根，解方程得x1=2,x2=64,a1=2,an=64或a1=64,an

4、=2,显然q1.若a1=2,an=64,由=126得264q=126126q,q=2,由an=a1qn1得2n1=32,n=6.若a1=64,an=2,同理可求得q=,n=6.综上所述，n的值为6，公比q=2或.【解后反思】利用解本题的关键是利用a1ana2an1，列方程组是求解的常用方法.进而求出a1、an，要注意a1、an是两组解.【例4】.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.【解】 设此数列的公比为q,项数为2n.由题意得： q=2,2n=8故此数列的公比为2，项数为8.【例5】 已知等比数列an的各项均为正数，Sn80，S2n6560，且在前n项中最大项为54，求此数列的公比q和项数n.【解】 由S2n2Sn知，q1根据已知得：1qn82，即qn81q1 则a1qn154得:，即a1q 将、代入得q3 n4三、理解数学1. 知识点：数列的前n项的和的二种形式及使用前提2. 数学思想与方法：方程思想，整体代换；错位相减。3. 检测：（1）求下列等比数列的各项和：，2187；，.(2)等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项和是 (3)已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于