常微分方程毕业论文

1、安阳师范学院安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作 者 田 丰 系（院） 数学与统计学院 专 业数学与应用数学年 级 2010 级 学 号100801066指导教师 李 波 论文成绩日 期 2014 年 5 月 10 日安阳师范学院学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 . 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学 位或证书所使用过的材料 . 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意 .签名

2、： 日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 .签名： 导师签名： 日期：安阳师范学院安阳师范学院一阶常微分方程初等解法田丰（ 安阳师范学院 数学与统计学院，河南 安阳 100801066）摘 要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离 ,积分因子 ,恰当微分方程等各类初等 解法进行了归纳与总结 , 同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。关键词: 一阶常微分方程 ;变量分离;恰当微分方程 ;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念

3、出现后即已出现 , 对常微分方程的研究也可分为几个 阶段. 发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代 . 莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解 问题, 而欧拉则试图用积分因子处理 . 但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程 不存在一般初等解而中断 . 加上柯西初值问题的提出 , 常微分方程从“求通解”转向 “求定解”时代 .在 20世纪六七十年代以后 ,常微分方程由于计算机技术的发展迎 来了新的时期 , 从求“求所有解”转入“求特殊解”时代 , 发现了具有新性质的特殊 的解和方程 , 如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等 . 微分方程里

4、各项的次数，其 实说的是方程各项中未知函数 （y）及其导数 （y ，y ，y ） 的次数但是一 般接触到的有解析解的微分方程都不会超过 1 次，所以齐次一般指的就是方程各项 中未知函数（ y）及其导数（ y ，y ，y ）的次数为 1 也就是说方程各项中 必须出现且只出现单独的 y，y ，y ，y ，而不出现它们的平方、 n 次方， 也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为 0）其中的常见的求解一阶微分 方程有：一般变量分离 dy f （x） （ y） ；齐次微分方程 dy g（ x）， dx dx ydya1xb1yc1 ；常数变易dyP x y Q x , dyP（x）y Q （ x）

5、 yn（伯努利微分dxa2xb2yc2dx dx方程）；恰当微分方程及积分因子法这些都是常见的解法常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支, 如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等 .总之, 常微分方程属于数学分析的一支 , 是数学中与应用密切相关的基础学科 , 其自身也在不断发展中 , 学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要 . 因此本 文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析 ,同时结合例题 , 展示了初等解 法在解题过程中的应用 .安阳师范学院2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法dy f (x)

6、 (y),(2.1)dx的方程,称为变量分离方程 ,f(x), (y)分别是 x , y的连续函数 .这是一类最简单的一阶函数.如果 (y) 0,我们可将 (2.1) 改写成dy(y)f (x)dx,这样,变量就分离开来了 .两边积分 ,得到(2.2)d(yy) f(x)dx c.这里我们把积分常数 c明确写出来 ,而把 dy , f (x)dx分别理解为 1 , f(x)的(y) (y)原函数.常数c的取值必须保证 (2.2)有意义,如无特别声明 ,以后也做这样理解因 (2.2) 式不适合 (y) 0 情形.但是如果存在 y0 使 (y0 ) 0,则直接验证知 y y0 也是( 2.1)的解

7、.因此,还必须寻求 (y) 0的解 y0,当 y y0不包括在方程的通解 (2.2)中时 ,必须补上特解 y y0例 1 求解方程 dy ydx x解 将变量分离 , 得到ydyxdx,两边积分 ,即得2x2 c22因而,通解为y2c.安阳师范学院这里 c是任意正常数 ,或者解出 y ,写出显函数形式的解y c x2 .例 2 求解方程dyp(x)y,dx的通解,其中 p(x)是 x 的连续函数解 将变量分离 , 得到dy p(x)dx ,y两边积分 ,即ln | y| p( x)dx c.这里 c 是任意常数 .由对数定义 ,有p(x)dx c| y| e ,即c p( x)dxy e e

8、,令 ec c,得到p(x)dxy ce ,此外,y 0显然也是方程 (3.1)的解,如果允许 (3.2)中允许 c 0则y(3.2) 中,因而 (3.1) 的通解为 (3.2) ,其中 c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如dy xg( ),dx y的方程,称为齐次微分方程 ,这里 g(u)是u的连续函数 .(3.1)(3.2)0也就包括在作变量变换安阳师范学院u y , x即 y ux,于是dy dux u. dx dx代入原方程可得dux u g(u),dx整理后,得到du g(u) u. (2.3) dx x因 (2.3)

9、 是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解 ,然后代回原来的变量 ,即可得到原方程的解例 3 求解方程 dydxy tan y xx解 这是齐次微分方程,以 y u及 dy xdu u 代入 ,则原方程变为 x dx dxdux u u tanu,dx即du tanu. (3.3) dx x将上式分离变量 ,既有dx cot udu ,x两边积分 ,得到ln | sinu| ln | x| c.这里 c是任意常数 ,整理后,得到sinu = ec x,e c 得到sinu cx. (3.4)此外,方程 (3.3)还有解tanu 0.安阳师范学院如果在 (3.3)中允许 c 0,则 tanu

10、 0也就包括在 (3.4) 中,这就是说 ,方程 (3.3) 的通解 为 (3.4)带回原来的变量 ,得到方程的通解为ysin cx.x例 4 求解方程 x dy 2 xy y ( x 0 )dx解 将方程改写为dx 2 x x ,(3.5)这是齐次微分方程 .以 y u及 dy xdu u 代入,则原方程变为 dx dx xdu 2 u.dx分离变量 ,得到du dx2 u x两边积分 ,得到 (3.5) 的通解u ln( x) c.即当 ln( x) c 0 时 ,2u ln( x) c2 .这里 c时任意常数 .此外,方程 (3.5) 还有解u 0. 注意,此解并不包括在通解 (3.5)

11、 中. 代入原来的变量 ,即得原方程的通解为y xln( x) c2.2.1.2.2 用变量分离法解齐次微分方程类型二形如安阳师范学院(2.4)dy a1x b1y c1dx a2 x b2 y c2,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里的方程不可直接进行变量分离 a1,b1,c1,a2,b2,c2均为常数 . 可分为三种情况来讨论 :1 a1 b1 c1 k (常数 )的情形 a2 b2 c2这时方程可化为有通解ddyx k ,y kx c,其中 c 为任意常数 .a1 b1a2 b22 a1 b1 k c1 的情形 . c2令u a2 x b2y,这时有dua2dxb2 dy a2

12、 b2ku c1 dx u c2是变量分离方程3 a1 b1 及 c1,c2 不全为零的情形 a2 b2因为方程右端分子 ,分母都是 x,y 的一次多项式 ,因此 a1x b1y c1 0, a2x b2 y c2 0.代表 Oxy 平面上两条相交的直线 ,设交点为 , ,若令X x ,Y y , 则方程可化为安阳师范学院a1x b1 y 0, a2x b2y 0,从而方程 (2.4) 变为dY a1X b1Y g Y . dX a2 X b2Y g X .因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程 ,即可得到原方程的解 .(4) c1 c2 0的情形 ,此时直接变换 u y 即可 .x例5

13、求解方程 ddyx1 1.x y 1解 令 u x y 1,则有代入所求方程y u x 1,d u x 1 1 1,dx u整理可得由变量分离得 故所求方程的解为例 6 求解方程dudxu22x c,2x y 1 2x c .dy x y 1dx x y 3解 解方程组安阳师范学院x y 1 0,x y 3 0,得 x 1,y 2.令x X 1,y Y 1, 代入上式方程 ,则有dY X Y .dX X Y .Y 再令u Y 即Y uX ,则上式可化为XdX 1 u2 du ,X 1 2u u2 两边积分 ,得22ln X 2ln |u2 2u 1| c,因此X 2(u2 2u 1) ec ,

14、记 ec c1,并带回原变量 ,得22Y2 2XY X 2 c1 ,22(y 2)2 2(x 1)(y 2) (x 1)2 c1.此外容易验证u2 2u 1 0,即 22Y2 2XY X 2 0, 也是方程的解 ,因此方程的通解为y2 2xy x2 6y 2x c, 其中 c 为任意的常数 .2.2 常数变易法2.2.1 常数变易法类型一安阳师范学院一阶线性微分方程dy P x y Q x ,dx其中 P x,Q x 在考虑的区间上是 x的连续函数 ,若Q x 0 ,方程变为ddyx P x y,dx称其为一阶齐次线性微分方程 ,若Q x 0,称其为一阶非齐次线性微分方程 .变易分 离方程,易

15、求得它的通解为y ce P x dx ,这里 c 是任意常数 .现在讨论非齐次线性方程的通解的求法 . 不难看出,是特殊情形 ,两者既有联系又有差别 ,因此可以设想它们的解也应该有一定 的联系而又有差别 ,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解 ,显然 ,如果中 c 恒保持为常数 ,它们不可能是的解 .可以设想在中将常数 c变易为 x的待定函数 ,使它 满足方程 ,从而求出 c x ,为此 ,令P x dxy c x e ,两边同时微分 ,得到dy dc x e Pxdx cxP xePxdx.dx dx代入原方程 ,得到dcx ePxdx cxPxePxdx PxcxePxdx Qx,

16、dx即dc x Q xe P xdx,dx两边同时积分 ,得到cx Q xe dx c1,这里 c1是任意常数 ,求得到y e P x dx Q x e P x dxdx c1 .安阳师范学院就是方程的通解 .这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法例 7 求方程 dy y 2 的通解dx 2x y解 原方程可改写为dx 2x y2dy y即(3.6)dx 2x y,dy y首先,求出齐次线性微分方程dx 2x,dy y的通解为x cy 2. 其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程 (3.6) 的通解 把 c 看成 c(y),将方程 x cy2 两边同时微分得dx dc(y) 2y

17、 2c(y)y. dy dy代入 (3.6) ,得到dc(y) 1 ,dy y 两边同时积分 ,即可求得c(y) ln y c. 从而,原方程的通解为x y2(c ln y),这里 c是任意常数 .安阳师范学院2.2.2 常数变易法类型形如dy P(x)y Q(x)yn ,(2.5)dx的方程,称为伯努利方程 ,这里P(x),Q(x)为 x的连续函数 ,n 0 ,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上 ,对于 y 0,用 y n 乘(2.5) 的两边 ,得到y n dy y1 nP(x) Q(x) , dx引入变量变换1nzy,从而dz n dy (1 n)y n .

18、dx dx代入方程 (2.5) ,得到dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x), dx这是线性微分方程 ,可按照前面介绍的方法来求出它的通解 ,然后代换原来的变量 ,便 得到方程的通解 .此外,当 n 0时,方程还有解 y 0.例 8 求方程的 dy 6 y xy2 通解dx x解 这是 n 2 时的伯努利微分方程 .令zy算得dz这是线性微分方程dx求得它的通解为x,安阳师范学院代入原来的变量 y,得到1 c x2 y x6 8或者x6 x8c, y8这就是原方程的通解 .此外 ,方程还有解 y 02.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程M x, y dx N x, y dy

19、0,若有 M N ,则该方程必为恰当微分方程 . yx下面讨论如何求得该恰当微分方程的解 .把 u M x,y 看作只关于自变量 y的函数,对它积分可得 xu M x, y dxy由此式可得u d (y) M (x,y)dxN,y y dy由此可得d (y)N M (x,y)dx, dy y又因为NN M (x,y)dx M (x,y)dx x y x x yN M (x,y)dx x y x安阳师范学院NM0,xy则恰当微分方程的通解为M (x,y)dx NyM (x, y)dxdy c,故等式右边只含有y ,积分可得(y) NM (x,ydx)dy,y进而可得u M (x, y)dx NM

20、 (x, y)dxdy .y这里 c 是任意常数 .11x例 10 求解方程 (cosx 1)dx (1x2 )dy 0.yy y2解 因为 M12 , N12 , 故方程是恰当微分方程 . 把方程重新分项组合yy xy得到11x(cosx )dx ( 2 )dy 0,yy y即dsinx dln| y| ydx 2xdy 0, y2或者写成x d(sin x ln | y| ) 0 .y于是,方程的通解为x sinx ln | y| c ,y这里 c 是任意常数安阳师范学院2.4 利用积分因子求解法函数 x,y 为 M x, y dx N x,y dy 0 积分因子的充要条件是( M) (

21、N) ,yx即MNN M ( ) .x y y x假设原方程存在只与 x 有关的积分因子x , 则0,则 为原方程的积分因xMN() 子的充要条件是 ( M N) ,即 x y x 仅是关于 x的函数 .此时可 x y x N求得原方程的一个积分因子为 e x dx .同样有只与 y有关的积分因子的充要条件MN( y x )是 y y x 是 仅为 y的函数,此时 可求得方程 的一个积分因子为 Me y dy例 9 求解方程 ydx (y x)dy 0.解 这里M y,N y x, My 1, XN1,方程不是恰当的 .因为 M2只与 y有关,故方程有只与 y的积分因子yyue2ln|y|12

22、 y21以 u 12 乘方程两边 , 得到 y1dx 1 dyxd2y0,yyy2或者写成安阳师范学院ydx xdy dy 0,y2 y因而通解为xln | y| c.y3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法， 即把一阶常微分方程的解通过初等 函数或它们的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过 相应的方法求解。文章主要介绍一阶常微分方程的一些可解类型和相应的求解方 法，这些方法是在微分方程发展的早起由牛顿等发现的。文章也介绍了求解一阶微 分方程的方法和应用一阶微分方程来求解的例子。关于一阶常微分方程的定义和初等解法，前人已经做出了大量的研究和贡献， 得出了大量的

23、成果，这里笔者只是进一步总结和归纳了前人的研究成果。安阳师范学院The Fundamental methods of the first-order ordinarydifferential equationTian Feng(School of mathematics and Statistics Anyang Normal University, Anyang, 455002)Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation.