第二章 平面力系

1、平面力偶系平面力偶系平面任意力系的简化平面任意力系的简化平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面汇交力系平面汇交力系物体系的平衡问题物体系的平衡问题 平面汇交力系平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。汇交于一点的力系。平面汇交力系的简化方法：平面汇交力系的简化方法：几何法，解析法。几何法，解析法。例：起重机的挂钩。力系分为：力系分为：平面力系、空间力系平面力系、空间力系平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系平面平行力系平面平行力系平面一般力系平面一般力系平面力系平面力系平面特殊力系平面特殊力系 平面任意力系

2、平面任意力系一、平面汇交力系合成的几何法：一、平面汇交力系合成的几何法：力的多边形法则力的多边形法则2F3F4F1RF2RFRF1FA2-1 平面汇交力系平面汇交力系A1F2F3F4FA2F1F3F4FRF显然，合力矢与各个分力的合成次序无关。显然，合力矢与各个分力的合成次序无关。A1F2F3F4F2F3F4F1RF2RFRF1FA结论结论：平面汇交力系的合成结果是平面汇交力系的合成结果是一个通过汇交一个通过汇交点的合力点的合力，其大小可用力的多边形法则得其大小可用力的多边形法则得到到，合力为力多边形的封闭边合力为力多边形的封闭边。niinRFFFFF121特例：特例：共线力系共线力系力系中各

3、力的作用线均位于同一直线上力系中各力的作用线均位于同一直线上合力的大小等于分力的代数和合力的大小等于分力的代数和niinRFFFFF121二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系的合成结果是一个合力平面汇交力系的合成结果是一个合力平面汇交力系平衡的条件为：平面汇交力系平衡的条件为：合力合力=0即：即：01niiRFF根据汇交力系合成的多边形法则，根据汇交力系合成的多边形法则，平面汇交力系平衡的条件为：平面汇交力系平衡的条件为：力的多边形自行封闭力的多边形自行封闭（即：力的多边形的末端和始端正好重合）（即：力的多边形的末端和始端正好重合）AACDF4F3F2F1各

4、力的汇交点各力的汇交点平面汇交力系平衡的条件为：平面汇交力系平衡的条件为：力的多边形自行封闭力的多边形自行封闭（即：力的多边形的未端和始端正好重合）（即：力的多边形的未端和始端正好重合）01niiRFFPFBAhRO例例1 1碾子自重碾子自重P = 20 kN，半径半径 R = 0. 6 m，障碍物障碍物高高 h = 0. 08 m，碾子中心受一水平力碾子中心受一水平力 F。求：求：（1） F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力时，碾子对地面和障碍物的压力?（2）欲将碾子拉过障碍物，欲将碾子拉过障碍物，F 力的最小值力的最小值?（3）F力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力沿什么方向拉动碾

5、子最省力，此时F力力 应为多大？应为多大？PFBAhROPFOAFBFPFAFBF解：以碾子为研究对象解：以碾子为研究对象 碾子受平面汇交力系作用，处碾子受平面汇交力系作用，处于平衡状态。于平衡状态。由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭由碾子的平衡条件，力的多边形应自行封闭（1） F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力时，碾子对地面和障碍物的压力866. 06 . 008. 06 . 0cosRhR30（1） F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力时，碾子对地面和障碍物的压力210sin 30BFFFkNcos3020100.86611.34ABFPFkN PFBAhROPF

6、OAFBFPFAFBFP0AFFBF（2）欲将碾子拉过障碍物，欲将碾子拉过障碍物，F 力的最小值力的最小值PFOAFBFPFBAhRO解：碾子拉过障碍物的临界条件：解：碾子拉过障碍物的临界条件：tan20 tan 3011.55FPkN PFBF解：当解：当F力的方向可变化时力的方向可变化时 由力多边形可见，当拉力由力多边形可见，当拉力F与与 垂垂直时，拉力直时，拉力F最小。最小。BFminsin20sin 3010FPkN minF（3）F力沿什么方向拉动碾子最省力，此时力沿什么方向拉动碾子最省力，此时F力为多大？力为多大？PFOAFBFPFBAhRO几何法解思路：几何法解思路：选取研究对象

7、；选取研究对象；进行受力分析，画受力图；进行受力分析，画受力图；根据几何关系，求出未知量。根据几何关系，求出未知量。 几何法解题不足：几何法解题不足： 作图精度不够，则所得结果误差比较大作图精度不够，则所得结果误差比较大 不能直观表达各个量之间的函数关系不能直观表达各个量之间的函数关系作力多边形或力三角形；作力多边形或力三角形；OyxFxFyjFiFFyxROyxF1xF1yF1F2sincosFFFFyx F2xF2yjFFiFFFFFyyxxR2121211三、平面汇交力系合成的解析法三、平面汇交力系合成的解析法FRFR11、合力的解析表达式、合力的解析表达式三、平面汇交力系合成的解析法三

8、、平面汇交力系合成的解析法xyOF1F2F3F4FRjFiFFFFRyRxRyRxR2、合力投影定理、合力投影定理 合力在任一轴上的投合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。上投影的代数和。ixRxFFiyRyFFixiyRxRyFFFF11tgtg经过平面汇交力系的汇交点经过平面汇交力系的汇交点O由由 正负号确定所在象限正负号确定所在象限iyixFF ,2222iyixRyRxRFFFFFxyOF1F2F3F4FR合力的大小：合力的大小：作用线：作用线：方向：方向：例例2 2：已知：已知： F1=200N, F2=300N, F3=100N, F4=25

9、0N, 求图示汇交力系合力的大小和方向。求图示汇交力系合力的大小和方向。解：各分力在轴上投影的代数和为：解：各分力在轴上投影的代数和为：ixRxFFxyOF1F2F3F445o60o45o30oFRNFFFFFRx3 .12945cos45cos60cos30cos4321iyRyFFNFFFFFRy3 .11245cos45cos30cos60cos4321合力：合力：N.FFFRyRxR317122夹角：夹角：99.40)7548.0arccos(arccosi ,FRRRxFF3、平面汇交力系的平衡方程、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的充要条件：平面汇交力系平衡的充要条件：即：即

10、：00iyixFF平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程 该力系的合力为零。该力系的合力为零。02222iyixRyRxRFFFFF45例例3 3：4545045coscosCAFF045sinsinFFFCAkN 3.28kN 4.22CAFF 0ixF 0iyFxy例例4ABCDP030060解：解： 取滑轮取滑轮 B（带销钉）（带销钉） 为研究对象为研究对象ABCDP030060由平衡方程：由平衡方程：解得：解得： 0ixF030cos60cos-21FFFBA 0iyF060cos30cos21FFFBCKNFBA321. 7KNFBC32.27BCFB1F2FBAFxy0600

11、30解析法解题注意事项解析法解题注意事项：1 1、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。中只有一个未知数。 2 2、力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力、力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，可根据系统实方向与假设相反。对于二力构件，可根据系统实际受力情况，直接判断其际受力情况，直接判断其“受拉受拉”还是还是“受压受压”！移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向力对物体可以产生：力对物体可以产生：2-2 平面力偶系平面

12、力偶系1、力对点之矩（力矩）的概念：、力对点之矩（力矩）的概念：力力F 对对O点之矩点之矩：2OOABMFFhA 力矩的单位：力矩的单位：mN mkN 或或O：矩心：矩心 h：力臂：力臂OhAMo(F)FArB注意：注意： 在平面问题中，力对点在平面问题中，力对点之矩为一代数量，以绕矩心之矩为一代数量，以绕矩心逆时针转动为正逆时针转动为正，反之为负。，反之为负。2OOABMFFhA a、当力沿其作用线移动时，、当力沿其作用线移动时， 保持不变。保持不变。 FMOb、若、若 ，则，则 F = 0 或或 h=0。 0FMO力矩的性质：力矩的性质：c、互为平衡的两个力对同一点的矩之和为零。、互为平衡

13、的两个力对同一点的矩之和为零。OhAMo(F)FArBa、力偶的定义、力偶的定义FF AB2、力偶与力偶矩、力偶与力偶矩b、力、力 偶偶 实实 例例c、力偶矩、力偶矩衡量力偶对刚体的转动效应衡量力偶对刚体的转动效应根据力对点之矩，力偶对根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：之矩为：FdMxdOBAFF dFFddxFFxFmFmMoo)()()(力偶矩与矩心的位置无关。力偶矩与矩心的位置无关。平面力偶矩：平面力偶矩：Fd：力偶矩的大小：力偶矩的大小正负号：力偶在作用平面内的转向正负号：力偶在作用平面内的转向注意：注意：力偶矩是一个代数量，通常以力偶矩是一个代数量，通常以逆时针逆时针转向为正转向为正

14、，顺时针转向顺时针转向为负为负。单位为。单位为Nm。力偶和力一样都是最基本的力学量。力偶和力一样都是最基本的力学量。FdM3、同平面内力偶的等效定理、同平面内力偶的等效定理 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等（大小相等、转向相同），（大小相等、转向相同），则两力偶彼此等效。则两力偶彼此等效。 推论推论 FF FF FF F / 2F/ 2性质一：性质一：力偶无合力；力偶无合力；性质二：性质二：力偶只能用力偶来平衡；力偶只能用力偶来平衡；性质三：性质三：力偶对刚体的转动效应，只力偶对刚体的转动效应，只与力偶矩的大小和正负有关。与力偶矩的大小和正负有关。平面力

15、偶的性质：平面力偶的性质：力偶的表示符号如下：力偶的表示符号如下：=MMFFdM 表示力偶矩=2F1Fd1d21F2F2FABd3F3F4FF4FABF dFFFdM434、平面力偶系的合成和平衡条件、平面力偶系的合成和平衡条件dMFdMF|,|2413dFdF4321MM 222111dFMdFM,a、平面力偶系的合成、平面力偶系的合成b、平面力偶系的平衡条件、平面力偶系的平衡条件01niiM充要条件：充要条件：即：所有各力偶矩的代数和等于零。即：所有各力偶矩的代数和等于零。结论：结论：在同平面内的任意个力偶可合成在同平面内的任意个力偶可合成一个合力偶，其合力偶矩等于各一个合力偶，其合力偶矩

16、等于各个力偶矩的代数和。个力偶矩的代数和。niiMM1根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的。根据力偶理论，一个力偶与一个力是不可能平衡的。图示圆盘图示圆盘 O 为何能在力偶为何能在力偶 M 和力和力 P 的作用下保持平衡的作用下保持平衡 ？平衡条件是什么平衡条件是什么 ？MOrPMPOOyF 圆盘的中心圆盘的中心O处作用有一处作用有一个垂直方向约束力，该力与力个垂直方向约束力，该力与力P组成一个力偶，组成一个力偶，该力偶与力该力偶与力偶偶M 保持平衡保持平衡。PrMPFOy圆盘的平衡条件为：圆盘的平衡条件为： 12cos 02cos 0ABBAMFrMFrABBAFF122MM2-3

17、平面任意力系的简化平面任意力系的简化1、力的平移定理、力的平移定理 如果既想把力如果既想把力F从从A点平行移动到点平行移动到O点，点，而又不想改变其对刚体的作用效果，那么而又不想改变其对刚体的作用效果，那么我们该怎么办？我们该怎么办？OAF力的平移定理力的平移定理: : 可以将作用于刚体上可以将作用于刚体上A点上的点上的FFF FdM OAFOAFdFF OAdFM力线平移的逆过程力线平移的逆过程FMd FFF OFMOAFdFF OAF 332211FM MFM MFMMooo平面任意力系平面任意力系niiRFF1 niiooFMM1平面汇交力系平面汇交力系平面力偶系平面力偶系2、平面任意力

18、系向作用面内一点简化、平面任意力系向作用面内一点简化平面任意力系向平面任意力系向O点简化结果：点简化结果：即：简化结果为一个主矢和一个主矩。即：简化结果为一个主矢和一个主矩。 力力 该力系的主矢该力系的主矢， 通过通过O点点。RF xOMoyRF主矢与简化中心的选取有无关系？主矢与简化中心的选取有无关系？主矩与简化中心的选取有无关系？主矩与简化中心的选取有无关系？ 力偶力偶 该力系对于该力系对于O点的主矩点的主矩。oM主矢的解析表达式：主矢的解析表达式：jFiFFFFiyixRyRxRRiyRRixRiyixRFFj ,FFFi ,FFFFcoscos22主矩的解析表达式：主矩的解析表达式：

19、niiooFMM1xOMoyRF固定端约束固定端约束( ()固定端约束的约束反力固定端约束的约束反力: :AMAFAxFAyFAAxFAyFAM固定端约束的约束反力固定端约束的约束反力: :AAyAxM,F,F三种常见的三种常见的支座支座约束约束NF1 1、滚动铰支座、滚动铰支座AyFAxFA2 2、固定铰支座、固定铰支座3 3、固定端、固定端A00oR, MF00oR, MF00oR, MF00oR, MF3、平面任意力系的简化结果分析、平面任意力系的简化结果分析注意注意: : 此时简化结果与简化中心的选择无关。此时简化结果与简化中心的选择无关。 合力偶合力偶 00 A.oR, MF 合力合

20、力00.BoR, MF注意注意: 此时合力此时合力 的作用线恰好通过选定的作用线恰好通过选定RF的简化中心的简化中心O。此时简化结果取决于简化中心的选择。此时简化结果取决于简化中心的选择。 可进一步简化可进一步简化 00.CoR, MF MdFF MoRRoOORFoMOORFd RFRF=OOdRF= RoFMd 注意：合力与主矢的区别？注意：合力与主矢的区别？ 可进一步简化可进一步简化 00.CoR, MF合力矩定理：合力矩定理： 平面任意力系的平面任意力系的 合力合力FR 对作用面内任一对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。io

21、RoFMFMOOdRF= FMMioo iooRRoFMMdFFMF1F2F3OOORFoM=例例1 1：图示水平梁图示水平梁AB受按三角形分布的荷载作用，受按三角形分布的荷载作用，求合力作用线的位置。求合力作用线的位置。xdxqPqhlAB解：解：qldxqPqlxql21 0根据合力矩定理：根据合力矩定理：lxdxqPh0lh32结论：结论：1 1、合力的大小等于分布载荷的面积；、合力的大小等于分布载荷的面积； 2 2、合力的作用线通过分布载荷的几何中心。、合力的作用线通过分布载荷的几何中心。例例2 2：已知：已知： P1=450kN, P2=200kN, F1=300kN, F2=70k

22、N。5.7m3m9m3m1.5m3.9mOABCF1F2xyP1P2求：求：1、力系的合力、力系的合力FR；2、合力与基线、合力与基线OA的交的交点到点到O点的距离。点的距离。1、先将力系向先将力系向O点简化，点简化，求得主矢求得主矢FR和和 主矩主矩MooCBABACB7 .16arctankN.sinFPPFFkN.cosFFFFyRyxRx16709232221215.7m3m9m3m1.5m3.9mOABCF1F2xyP1P2解：解：主矢主矢FR的大小：的大小：kN.FFFyxR47092232830cos.FF, iFRxR主矢主矢FR的方向余弦：的方向余弦：故主矢与故主矢与x轴的夹

23、角为轴的夹角为70.84o。力系对点力系对点O的主矩为：的主矩为： mkNP.P.FFMMoo2355935132115.7m3m9m3m1.5m3.9mOABCF1F2xyP1P2oMOAC70.84oRFxOAC70.84oRF合力的大小和方向与主矢相同。合力的大小和方向与主矢相同。2、合力与基线、合力与基线OA的交点到的交点到O点的距离。点的距离。OAC70.84ooMRFRxFRyFxFFMFMFMFMMRyRyoRyoRxoRoomFMxRyo514. 3x值可根据合力矩定理求得：值可根据合力矩定理求得：OAC70.84oRFRxFRyFxkN.FFkN.FFyRyxRx167092

24、32 mkNFMMoo2355一、平衡条件：一、平衡条件： 力系的主矢和对任一点的主矩都力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。等于零。二、平衡方程：二、平衡方程： （一矩式）（一矩式） 000111niioniyinixiFMFF主矢主矢:0iRFF主矩主矩:0iOOFMM000oyxMFF简写为：简写为：2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程三、平衡方程的另外两种形式：三、平衡方程的另外两种形式： 000111nixniiBniiAFFMFM形式一：形式一：（二矩式）（二矩式） 000111niiCniiBniiAFMFMFM形式二：形式二：（三矩式）（三矩式

25、）形式一注意形式一注意：x 轴不得垂直于轴不得垂直于A、B两点连线。两点连线。形式二注意：形式二注意：A、B、C三点不得共线。三点不得共线。例例3：简支梁受力如图，已知简支梁受力如图，已知F300N, q=100N/m, 求求A 、B处的约束力。处的约束力。FqABCD2m2m4m解：解：简支梁受力如图所示：简支梁受力如图所示：BFAyFAxF0,0 xAxFF0,AM0,BM02648FqFBNFB37508246AyFqFNFAy325已知：已知：=30, ,P = 100 kN ， F = 400 kN ， M = 20 kNm ，q = 20 kN /m，求支座求支座A的约束力的约束力

26、。解：解：kNlqFACq3021分布力的合力：分布力的合力：作用位置如图作用位置如图例例4 4：ABq3m1mM1mDFPCAB3m1mM1mDFPqF1mC对对ABD杆列平衡方程杆列平衡方程 0 xF0600sinFFFqAx 0yF0600cosFPFAy 0AM0160cos360sin100FFFMMqA解得：解得：mkNMkNFkNFAAyAx1188,300,4 .316AB3m1mM1mDFPqF1mAxFAyFAMC四、平面平行力系的合成和平衡四、平面平行力系的合成和平衡OxyF1F2F3F40 xF形式一：形式一： 00iOyFMF形式二：形式二： 00iBiAFMFM形式

27、二注意：形式二注意：A、B连线不得与各力平行。连线不得与各力平行。平面平行力系的平衡方程：平面平行力系的平衡方程： 一种车载式起重机，车重一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起重机伸臂重，起重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。例例5 5： , 0FBM0)m 2m 8 . 1 (m 2m 5 . 2)m 3m 5 . 2(12AFGGG G

28、GGFA5 . 55 . 228 . 3121kN 7.52.525 . 5121GGKNG5 . 7max物系中的未知力的数目物系中的未知力的数目 = = 独立平衡方程数独立平衡方程数物系中的未知力的数目物系中的未知力的数目独立平衡方程数独立平衡方程数 静定问题静定问题超静定问题超静定问题一、静定与超静定问题一、静定与超静定问题2-5 物体系的平衡、静定和超静定问题物体系的平衡、静定和超静定问题 超静定问题超静定问题超出刚体静力学研究范围超出刚体静力学研究范围。若要解决。若要解决此类问题，必须此类问题，必须考虑物体的变形考虑物体的变形，通过，通过补充变形协调补充变形协调方程方程来使系统总方程

29、数等于未知量数。这些变形协调来使系统总方程数等于未知量数。这些变形协调条件可在后续力学课程（如材力、结力）中接触到。条件可在后续力学课程（如材力、结力）中接触到。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 超静定（未知数四个）超静定（未知数四个）a、求解物系平衡问题的基础：、求解物系平衡问题的基础：b、求解物系平衡问题时的关键问题：、求解物系平衡问题时的关键问题：我们如何来选取研究对象呢？我们如何来选取研究对象呢？二、求解物体系平衡问题的基础与关键二、求解物体系平衡问题的基础与关键qFM11222ABCDECMDEqEyFCyFCxFqFMABCDEEyFByFAyFAxF注意：注意：受力分析时应注

30、意观察是否存在二力受力分析时应注意观察是否存在二力杆，以尽量减少未知量的个数。杆，以尽量减少未知量的个数。基本方法基本方法：尝试选取研究对象；：尝试选取研究对象； 对所选对象进行受力分析对所选对象进行受力分析 ； 数未知力个数，出现三种数未知力个数，出现三种 可能：可能： a、未知力个数等于平衡方程数目。、未知力个数等于平衡方程数目。可选可选b、虽然未知力个数大于平衡方程数目，但我们、虽然未知力个数大于平衡方程数目，但我们可求出部分未知力。可求出部分未知力。可选可选c、未知力个数大于平衡方程数目，且无法求出、未知力个数大于平衡方程数目，且无法求出任一个力。任一个力。不选不选已知已知F500N, q=250N/m, M=500N.m, 求求A ,B, E处的约束反力。处的约束反力。解：解： (1) 取取CE杆为研究对象，受力如图杆为研究对象，受力如图:qFM11222ABCDEMDECqEyFCyFCxF对对CE杆：杆： 0CM0124qMFEyNFEy2501、连续梁系统：、连续梁系统：从受力简单的杆件入手从受力简单的杆件入手qFM11222ABCDEEyFByFAyFAxF(2)取整体为研究对象，受力如图：取整体为研究对象，受力如图：00AxxFF0214480ByEyAFFqMFMN