数学分析反常积分PPT学习教案

1、会计学1数学分析反常积分数学分析反常积分定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取ab ，如果极限，如果极限 babdxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积分，记作分，记作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .第1页/共22页类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baa

2、dxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .第2页/共22页 设设函函数数)(xf在在区区间间),( 上上连连续续, ,如如果果广广义义积积分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收敛敛，则则称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),( 上上的的广广义义积积分分，记记作作 dxx

3、f)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. .第3页/共22页例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 第4页/共22页例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxd

4、x bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 第5页/共22页例例 3 3 证明广义积分证明广义积分 11dxxp当当1 p时收敛，时收敛，当当1 p时发散时发散.证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.第6页/共22页例例 4 4 证证明明广广义义积积分分 apxdxe当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.证证 apxdxe bapxbdx

5、elimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.第7页/共22页定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分

6、分发发散散. .第8页/共22页类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而在点而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界. .取取0 ，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .第9页/共22页设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除除点点)(bcac 外外连连续续，而而在在点点c的的邻邻

7、域域内内无无界界. .如如果果两两个个广广义义积积分分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都都收收敛敛，则则定定义义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.第10页/共22页例例5 5 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim

8、 0arcsinlim0aa .2 第11页/共22页例例 6 6 证证明明广广义义积积分分 101dxxq当当1 q时时收收敛敛，当当1 q时时发发散散.证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq第12页/共22页例例7 7 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )

9、1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.第13页/共22页例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1 x瑕瑕点点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 第14页/共22页无界函数的广义积分（无界函数的广义积分（瑕积分瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略

10、内部的瑕点）：不能忽略内部的瑕点） badxxf)(第15页/共22页思考题思考题积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？ 101lndxxx第16页/共22页思考题解答思考题解答积分积分 可能的瑕点是可能的瑕点是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕点不是瑕点, 101lndxxx的瑕点是的瑕点是. 0 x第17页/共22页一、一、 填空题：填空题：1 1、 广义积分广义积分 1pxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时时发散；发散；2 2、 广义积分广义积分 10qxdx当当_时收敛；当时收敛；当_时发时发散；散；3 3、 广义积分广义积分

11、 2)(lnkxxdx在在_时收敛； 在时收敛； 在_ 时发散；时发散； 4 4、广广义义积积分分 dxxx21= =_ _ _ _ _；练练 习习 题题第18页/共22页5 5、 广广义义积积分分 1021xxdx_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 广广义义积积分分 xdttf)(的的几几何何意意义义是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 判判别别下下列列各各广广义义积积分分的的收收敛敛性性，如如果果收收敛敛，则则计计算算广广义义积积分分的的值值：

12、1 1、 0coshtdtept )1( p； 2 2、 222xxdx ；3 3、 0dxexxn（为为自自然然数数n） ；4 4、 202)1(xdx；第19页/共22页5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求当求当为何值时为何值时k，广义积分，广义积分)()(abaxdxbak 收敛？又收敛？又为何值时为何值时k，这广义积分发散？，这广义积分发散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，试用分段函数表示，试用分段函数表示 xdttf)(. .第20页/共22页一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、发散；、发散； 5 5、1 1； 6 6、过点、过点轴轴平行于平行于 yx的直的直线左边线左边, ,曲线曲线)(xfy