二项式定理测试题及答案

1、1. 有多少个整数 A.0B.1二项式定理测试题及答案n 能使 （n+i） 4 成为整数（ B ）C.2 D.32. 24展开式中不含x4项的系数的和为（ B ）A.-1B.0C.1 D.23若 S=A112 3 100A22 A33 L L A110000 ，则 S的个位数字是( C )4已知（ x a ）8展开式中常数项为 1120，其中实数 a是常数，则展开式中各项系数的和 x是( C )A.28B.38C.1或 38D.1 或 285在 ( 25）100 的展开式中，有理项的个数是（ 15 个33 个17 个 16 个6. 在 x13x24的展开式中， x 的幂指数是整数的项共有（ C

2、A 3 项7在（1 x） 5（1A、 5B 、 5 C8 （1 x）5 （1 x）3 的展开式中 x3 的系数为（ A A 6B -6C99若 x= 1 ，则 （3+2x） 10的展开式中最大的项为（ B 2A.第一项B 4项x）6 的展开式中，含、 5C 5 项3x3 的项的系数是（ C、 10B.、10）D-9第三项 C. 第六项 D. 第八项1n3 ）n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 3x3A7B 12C14D511. 设函数f(x)(12x）10, 则导函数2f (x) 的展开式 x2项的系数为（）A1440B -1440C -2880D288012在 (x151)5 x的展开式

3、中，常数项为（ B ）（A）51（B） 51（C） 11（D）1113若 (xnn1) xL32 ax bx L1(n N ) ，且 a:b3:1 ，则 n的值为（ ） 910 11 1214若多项式 x210 x=a0 a1(x 1)a9(x 1)9a10(x 1)10 ，则 a9 （ ）（A） 9B)10（ C） 9（D）1010. 二项式n 的最小值为（）A解： 根据左边1, 易知a10(2x410x10 的系数为991，左边 x9的系数为 0,右边 x9的系数为a9 a10C10 a9 10 0, a910故选 D。15若 x(1+x) n的展开式中的每项的系数都用这一项的x 的指数去

4、除，则得到的新系数和等于( A )A.(2 n+1-1) (n+1) B.(2 n-1) (n+1) C.(2 n-1+n-2)/(n+1) D.(n2n+1)/(n+1)16设 a、 b、m为整数( m0), 若 a 和 b 被 m除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m同余. 记为b 的值可以a b(mod m). 已知 a=1+C120 +C220 2+C23022+C2200219，ba(mod 10)，则是( B )A.2015 B.2011 C.2008 D.200617. 若二项式 (sinxx)6展开式的常数项为20，则值为(B )A. 2k(k Z)B.2k(kz) C.D

5、.222218 5310被 8 除的余数是(A)A、1B 、 2C、3D、719 已知x 2 i ，设M1C14x22C4x33C4x44 C4 x ，则 M 的值为( B )A 4 B -4i C 4i D20. 数(1. 05) 6的计算结果精确到 0. 01的近似值是( C )A. 1. 23 B .1.24 C .1.33 D .1.4421. (x+1)(2x+1)(3x+1) (nx+1) 的展开式中， x 的系数是( B )A. Cnn 1B. C 2nC . C2n 1 D. C2n 1二填空题20、已知 3Cxx37 5Ax24,则 x=11421、(x-1 )( x+2)(

6、 x-5 )( x+7)(x-10 )中 x4的系数为 -722.若对任意实数 x,y都有 x 2y 5 a0 x 2y 5 a1 x 2y 4y a2 x 2y 3y2 a3 x 2y2 y3a4 x 2y y4a5 y5，则a0 a1 a2 a3a4a5-24323 设 a为 sinx3cosxR 的最大值， 则二项式(a x16)6 展开式中含x2 项的系数是 -19224知 等 式 (12 3 2 4x ) (1 2x ) a0 a1x a2 xa14 x 成立，则a1 a2 a3a13 a14 的值等于0 .25、(x2) 2006的二项展开式中，含 x 的奇次幂的所有项的和为 S，

7、当 x 2时，S 等 于26 设二项式 (33 x 1)n 的展开式的各项系数之和为P，所有二项式系数之和为S，若xP+S=272，则 n=.三解答题27、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤 2素共 4 种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜， 若要保证每位顾客有 200 种以上不同选择， 则餐厅至少还 需准备不同的素菜品种？(要求写出必要的解答过程)10种，设素菜为 x 种，则解： 在 5 种不同的荤菜中取出 2 种的选择方式应有 C52Cx2 C52200解得 x 7，28、已知 (3 x x2 )2n的展开式的二项式系数和比(3x 1)n的展开式的系数和大992,

8、 求1 2n(2x ) 2n的展开式中 : 二项式系数最大的项 ;系数的 绝对值最大的项 .x解：(1)n=5， 8064(2) 15360x4 解：由题意 22n 2n 992, 解得 n 5。(2x 1 )10的展开式中第 6 项的二项式系数最大 ,x即T6 T5 1 C150 (2x)5 ( 1)5 8064 . x设第 r 1项的系数的绝对值最大 ,则 Tr1C1r0 (2x)10 r(1)r ( 1)r C1r0 210 rx10 2r xC1r0210 rC1r0110 r 1 r r 12C10 2C10, 得 ,11 r 2r 即C1r0210 rC1r0110 r 1 r r

9、 1 22C10C102(r 1) 10 r8r11 r 3,故系数的绝对值最大的是第4项.3329、(12 分)在二项式 (3 x 1 ) n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列 23x1)求展开式的常数项；(2)求展开式中二项式系数最大的项；3)求展开式中各项的系数和。n 2r解: 展开式的通项为 Tr 1 ( 1)rCrnx 3 ，r=0，1，2， n1 0 0 1 1 1 2 2 1 1 1 2 由已知： ( 2)0C0n, (2)C1n, ( 2 ) 2 C n2成等差数列， 2 2C1n 1 4Cn2 n=81) T53582) T5二项式系数最大3)令 x=1，各项系数和为1

10、25630. 已知 ( x14 ) n的展开式前三项中的 x的系数成等差数列(1)求展开式中所有的 x 的有理项；(2)求展开式中系数最大的项 . 解： (1)展开式前三项的系数分别为1 21n 21 21Cn11,Cn222,Cn2(2)28n(n1).n1由题设可知： 2 1 n(n 1)28 解得： 8 或 1(舍去) .4 3r当 8时， Tr 1 C8r( x)8 r (2 4 x) r C8r 2 r x 4 .3据题意， 4 3r 必为整数，从而可知 r 必为 4 的倍数，4而 0 r 8， r 0,4 ， 8.351故 x 的有理项为： T1 x4 ，T5 35x，T91 x2

11、 .8256(2)设第 r 1 项的系数 tr 1 最大，显然 tr 1 0，故有 tr 1 1且 tr 2 1.tr tr 1 tr 1 C8r 2 r 9 r ， tr C8r 1 2 r 1 2r ，9r由 9 r 1，得 r 3.2r tr 2 C8r 1 2 r 1 2(r 1) ，tr 1 C8r 2 r8 r由 2(r 1) 1，得 r 2.8r57 r 2 或 r 3，所求项分别为 T3 7x2 和 T4 7x4 .31、 (12 分)已知 m, n是正整数， f (x) (1 x)m (1 x)n 的展开式中 x 的系数为 7 ，(1) 试求 f (x) 中的 x2 的系数的

12、最小值； 9(2) 对于使 f (x)的 x2的系数为最小的 m, n ，求出此时 x3的系数； 5(3) 对于使 f (x)的 x 2的系数为最小的 m,n，求此时 f(0.003)的近似值(精确到 0.01 )； 2.0231n32、已知 (x3+ 2 ) n展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1) 展开式中不含 x 项；x2(2)C 0n- 1 C1n+ 1 C2n- 1 C3n+(-1) n 1 Cnn的值 .2 4 82n答案 .(1)210 ，(2)102433在二项式（ ax m+bxn ）12 （a 0， b 0， m、n0）中有 2m+n=0，如果它的展开式里最大 系数项

13、恰是常数项 .1）求它是第几项； （ 2）求 a 的最值 . b解：（1）设 Tr 1=C1r2（axm）12r（bxn）r=C1r2a12rbrxm（12r）+nr 为常数项，则有 m（12r） +nr =0，即 m（12r） 2mr=0， r =4，它是第 5项.（2）第 5 项又是系数最大的项，C142 a8b4C132 a9b3有12 11 10 9 8 4 12 11 10 9 3由得a8b4a9b3，329.4C142a8b4C152 a7b5432a0，b0， 9 b a，即 a 9 4b 由得 a 8 ， 8 a 9 .b 5 5 b故a 的最大值、最小值分别为 b35已知 S

14、n 2n Cn12n 1Cn2 2n 2Cnn 12 1（n N ） ，求证：当 n为偶数时， Sn 4n 1 能被 64 整除证明： Sn （21)n 3n ， n 为偶数，设n 2k(k）， Sn 4nk1 9k 8k 1(81)k8k0 k2 1 k 3 k 2 2(Ck 8Ck8LCk )8 ，()当 k 1 时， 9k 8k 10 ，显然 Sn 4n1 能被 64 整除；当k2时，（ ）式能被 64整除n为偶数时， Sn 4n 1能被 64 整除例 4. 已知二项式 （ x 22 ） n ，（ nN* ）的展开式中第 5项的系数与第 3项的系数的 x2比是 10： 1，（1）求展开式中各项的系数和（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项解：（1）第 5 项的系数与第 3项的系数的比是 10：1，44C4n ( 2)4 10C2n10 ，解得 n=8C2n ( 2)21令 x=1 得到展开式中各项