分式典型易错题难题

1、分式的概念分式一A一般地，如果 A , B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 一叫做分式.B整式与分式统称为有理式.在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0;分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.与分式有关的条件 分式有意义：分母不为 0( B = 0 ) 分式无意义：分母为 0( B =0 )分式值为0:分子为0且分母不为0分式值为正或大于分式值为负或小于A00A0或丿)00 :分子分母同号(0 :分子分母异号( 分式值为1分子分母值相等(A=B) 分式值为-1 :分子分母值互为相反数(A+B=0)增根的意义：(1)增根是使所给分式

2、方程分母为零的未知数的值。 的根。(2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程、分式的基本概念【例1】1 x,2x-2x 12x 45a-，-(x 2),2m ,t 3x -1x2在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式?x+13_x2 ， 3x 2x1 na3 a3a【例2】代数式2x13x 12xx2 -1，x 15 , xy中分式有(A. 1个B. 1个C. 1个D. 1个练习：下列代数式中: 1 -y,a：b,Jl 3，是分式的有:二 2a b x y x-y1一 a bxx亠32a bm 1二、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件:【例4】x为何值时，分式 一1一 有意义

3、?1x y21一1x9x yx 2x - 8x +321 -1 x要使分式a 4没有意义，求a的值.1 +3a12a【例5】x为何值时，分式 一1 有意义? 122 xx为何值时，分式 1有意义?12 x -2 +x【例6】若分式 x 一250有意义，则x1 +1 250 x若分式_250 无意义，贝y x1 +1250 x【例7】若分式若分式x2 -16(x -3)(x4)x2 -16(x -3)(x 4)练习：当x有何值时，下列分式有意义1、（ 1） X4（ 2）空（3）x +4x2 +2有意义，则无意义，则2x2 -16 -x1(5)11x xA.无意义B.有意义C.值为0D.以上答案都

4、不对2、要使分式 空 有意义，则x须满足的条件为 x 3X _94、x为何值时，分式有意义?1 +3 +x三、分式值为零的条件【例8】当x为何值时，下卜列分式的值为0?x 12X -1xx 1x2 2x -3x2 -4 x1x 2xx _32x 3x -3x 7(7)5|x 1|(8)x2 2x 3x 4(x 1)(x 2)【例9】如果分式x2 - 3x 2的值是零，那么x的取值是x1【例10】x为何值时，分式x29分式值为零?练习：1、若分式的值为0,则x的值为x 12、 当x取何值时，下列分式的值为0.（1）（ 2）乜上2 x +3x2 4(3)x2 -2x -3 x2 -5x -625

5、-x2x2 _6x 5(5)2x -1x 3(6)仪- 6x25x -6(7)2x -16x2 3x -4(8)8xx28(9)25 -x2(x-5)2(10)(x_8)(x 1)x-1四、关于分式方程的增根与无解（二）原方程化去分母后的它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解;整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程无解现举例说明如下:【例11】解方程2x 24x 32x -4 x 2【例12】解方程二2 x +22 + x【例13】例3若方程_ = m 无解，则m=.x2 2x【例14】(1)当a为何值时，关于x的方程上2ax会产生增根x2 x2

6、4x+2(2)若将此题“会产生增根”改为“无解” ,即: a为何值时,关于x的方程2 ax 3+ 2 =x2 x4 x 2无解?练习：x _ 1 k1、当k为何值时，方程会出现增根?x 3 x 33 ax +32、已知分式方程2有增根，求a的值。x x 13、分式方程 m 有增根x=1,则m的值为多少?x T x T x +142 x +a4、a为何值时，关于x的方程有解?X1 x x（x 1）5、关于x的方程X -2=m 有一个正数解，求 m的取值范围。x -3x -36、使分式方程x -2.2m 产生增根的m的值为x-3x32 mx7、当m为何值时，去分母解方程 + = 0会产生增根。X-

7、2 x -4、1k4x8、若方程-k “ - 2会产生增根，则（）x +2 x -2 x-4A、k-2 B 、k=2、k= 2 D、k为任何实数9、若解分式方程2x m 1x 1 x2 xm的值是（A. 1 或一2 B.1 或 2 C. 1 或 2D. 1 或一210、已知关于x的方程=2-芒有负数解，m的取值范围。2 x m111、当m为何值时，关于x的方程21无实根x x -x x T分式分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质：A=A M M（耐不为0）B B M BM2 .分式的变号法则:-a-b-ab-bb【例15】分式基本性质:(1)(3)ab ba2 一2x y x xy(2)

8、3xx2 xyx y “2 Z :2xy x 2xy y【例16】分子、分母的系数化为整数不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数(1)1x 1y34(2)0.2 a 0.03b0.04a b(3)0.03x0.2y0.08x + 0.5y30.4ab532x y4练习：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. 1.03x 0.02 y3.2x 0.5y【例17】分子、分母的首项的符号变为正号不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号练习:(1) y_x -y-a -12a-2(3)a-b32-aa -5233 - a - a1、若x , y的值扩大为原来

9、的3倍,x yxyx yx y【例18】未知数同时扩大或缩小相同的倍数F列分式的值如何变化?x yx2 y22、若x , y的值都缩小为原来的 .，下列分式的值如何变化?(1) 3x -2y2xy4x -5y(3)x _ yx2 y2练习：1如果二=3,则王二=（）y yA _B. xyC. 4D.三y2.如果把一丄的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）x+yA.不变B.扩大50倍C.扩大10倍D缩小到原来的-103若分式二中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）A.是原来的20倍B.是原来的10倍C是原来的一D.不变10）a+bA.扩大3倍B.缩小为原来的：C缩小为原来的D

10、.不变364如果把分式.丁中的x和y的值都缩小为原来的那么分式的值（5如果把分式亠中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（）x+yA.旷大为原来的4倍B.-缩小为原来的丄4C.旷大为原来的16倍D.，不变6若把分式；中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A.扩大3倍B.缩小3倍C.缩小6倍D.不变7.如果把2y 中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（）2x 3yA扩大5倍 B 不变C 缩小5倍 D 扩大4倍8、若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（fl 3xr3xc3x2cA、B 、2C、D2y2y22y3x3【例19】直接通分化简 1、已知：1 1巧，求山凶勺

11、的值.x yx+2xy+y2、已知：丄_丄=3，求2a 3alb -23的值. a bb_ab_a卄13、若一1-二1-J则bab a _ 3的值是多少?aba bab练习：1、已知1 1+ xy-2xy+ =7，求x yxy5xy2、已知求2a 3ab-2b的值 a 2ab - b3、已知 11 =5 ,求 2x -3xy 2y 的值.（8 分）x yx +2xy 十 y4、已知：x -丄=2,求x2 $的值.xx25、如果 1 1=1，则 b a=ab a +b a b11【例20】先化简成x+或x，再求值xx1111、若 x2 -3x 1 = 0，求 x+ ，x+ 亍，x 的值.xxx2

12、、已知:a2 _3a 1 =0，试求(a2 _ 12)(a _1)的值. a a3、已知:x 1 =3，求的值.xx4 亠x2 T练习已知才一 3a+l屯则丄二a己知X +1 = 4.求 一的值xx4 + +1已知:x-1=22求4 X 2的值.x 2x 1【例21】利用非负性求分数的值1、若 |x y 1| (2x -2 =0，的值4x _2y2、若 a2-2ab2 -6b 10 -，求衆b 的值练习：若 |x -y 1| (2x -3)2 =0，求 一1一 的值. 4x -2y若 a2 4a b2 -6b 13 =0，求 3b 的值.3a+5b【例22】求待定字母的值1若1取=型 匕，试求

13、m , N的值. x2 -1 x 1 x -12、已知： 5x 4A ，试求A、B的值.(x1)(2x1)x1 2x1练习:1、已知:2xy-y：，则 Mx - y2、若已知A B+x 1 x -12x 3（其中A、B为常数），贝U A=，B=【例23】较难分式化简求值1(x -1)(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)(x 5)；计算:+ + - +* +a(c + l) a + l)(a + 2) (Q + 2)(p + 3)(口 + 200 匀( + 200计算（工十1）0 4 3）十（x + 3）住+练习：j工I一j亠1x2 + 3x + 2+ 5x + 6 k2 + 12(i-IX

14、x + l) (i + IXx + 3) (j + 3Xx+5)【例24】代数式值为整数1、当a为何整数时，代数式44 的值是整数，并求出这个整数值a 22、当a为何整数时，代数式399a 805的值是整数，并求出这个整数值a 2练习：1、当a为何整数时，代数式18的值是整数，并求出这个整数值 3a-22、当a为何整数时，代数式19a 6565的值是整数，并求出这个整数值分式三一 分式的意义及分式的值2x + aab的值时多少?例题1、当x=3时，分式a的值为0，而当x=2时，分式无意义，则求5x3b例题2、不论X取何值，分式总有意义，求 m的取值范围。x - 2x m有条件的分式的化简求值（

15、一卜着眼全局，整体代入2 2的值.例 3、已知 a 2b =2006，求 3a 12ab 12b 2a +4b例4、已知11 =3，求2x 3xy -2y的值.x yx_2xy_y、巧妙变形，构造代入例5.已知a, b，c不等于0,且a b 0，111111求 a( ) b( ) c( )的值.b ca ca b例 6.若 b+ 1=1,cc+丄=1，a三、参数辅助，多元归例7、已知-=-，234xy yz zxx2 y2 z2的值。四、打破常规，倒数代入1x2例8、已知x 4，求2 的值.xX +x+1例9.已知aba b1 bc 1 ac 1 亠 abc,求3 b c 4 a c 5 ab

16、 ac bc的值.（五）活用（完全平方）公式,进行配方.例10.设实数x,y满足x2 y2 8x 6y 20，求x2 4y2x2 4xy 4y2xx 2y的值。(六)大胆消元，解后代入3m 2b + 5c例 11.已知 a+ b c=0, 2a- b+2c=0(c 丰 0),求的值.5a 3b + 2c三.无条件的分式的求值计算例10.计算:1+a(a 1)1+(a 1)(a 2)1(a 2)(a3)1(a 2005)(a 2006)2 2例题11、计算2-2-(x+1)(x +3)(x +3)(x + 5)2(x 2007)(x 2009)四.分式方程的无解及增根(1) 给出带参数的分式方程

17、求增根例12.关于x的方程上 弊 3有增根则增根是()x-2 x -4 x+2A 2 B.-2 C.2或-2 D. 没有(2) 已知分式方程的增根求参数的值例13.分式方程 m 有增根X = 1，则m的值为多少?x T x T x +1(3) 已知分式的的有增根求参数值3 丄 ax + 3例14.已知分式方程2有增根，求a的值。x X +1(4) 已知分式方程无解求参数的值例15 (2007湖北荆门)若方程 匕2二旦 无解，则m=x2 2x2 ax无解?例16当a为何值时，关于 x的方程2 Tx-2 x -4(5) 已知分式方程解的情况求参数的范围例17-已知关于x的方程土几芒有负数解求m的取

18、值范围五阅读理解型问题例18.阅读下列材料方程丄-丄=L的解为x=1,方程丄一丄=L的解为x=2,x 十1x x2 x3x x1x3 x4方程丄一丄=丄一丄的解为x=3,x 1x 2 x 4 x 5(1) 请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并求出这个方程的解(2) 根据(1)中所求得的结论，写出一个解为一5的分式方程例19.阅读下列材料111关于 x的分式方程 x+ =c+ - 的解是 X1=c, x2=-；xcc11 -1-1 1x = c ，即 x+=c+ 的解是 x1=c, x2=x cx ccx+ =c+ 2 的解是 X1=c, x2=；x cc3x2 =

19、.c33x+ =c+ 的解是 X1=c,xc(1) 请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x+ m =c + m (mM 0)与它的关系，猜想它的解是什么x c并利用方程解的概念进行验证(2) 由上述的观察，比较,猜想,验证可以的出结论；如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边形式与左边的完全相同，只是把其中未知数换1、2、3、4、5、成某个常数2 2那请你利用这个结论解关于x的方程:x + 丄 =a+亠x 1 a 1若方程一丄 =8有增根，则增根是X77 x时，方程会产生增根;x若关于x的方程xbA. a 丰 b , cm d若分式方程 1x当m=B. a时,方程-3cx -3

20、有解，则必须满足条件（）c 丰-d C.ax - 316、右方程一x22x1k7、 关于x的分式方程x2 x+2=4有增根,工-b , c 工 d C.a 工-b , c 工-dx有增根,x则增根是则a的值是会产生增根4=有增根x=-2，贝U k=x-43 _2x丄2 + mx.工舷8 .关于x的方程1无解,x 33 x9.若a使分式=2a没有意义，那么m的值为a的值是（A、01有意义,a6x2 -5x -63x 23十 2或23x -11 x -1x13.已知 ab =0, a210.分式11.分式A、12.已知3或0那么a的取值范围是B、C2 或 0的值为0,则x的值为（B -3 或 223的值是-1，那么x的值是4C、-ab -2b2 =0,那么亘勺的值为