数学建模论文设计符号

1、实用文档一摘要第二问中，本文将贮料的分布情况分别在整体流动和管状流动（漏斗状流 动）下进行考虑。 对于仓内贮料的分布情况， 可通过贮料容量随时间的变化关系 进行描述，并根据贮料容量与出入料速度之间的等量关系建立颗粒流微分方程模 型。但由于出料速度在两个状态时存在很大差异故需分开求解， 在整流状态下可 结合能量守恒定律， 得出筒仓内物料上表面的高度与出料速度的关系； 在管状流 动（漏斗状流动）状态下，由于贮料上表面曲面不规则且较为复杂，通过简化流 速 Janssen公式求解出料速度。最后将出料速度代入微分方程可求得贮料容量随 时间的表达式，即可表征物料分布情况。二问题分析在探讨筒仓仓内产品的分布

2、与堆积问题时，为了描述分布与堆积状况，考 虑到不同状态时仓筒贮料容量会存在差异可以反映堆积特征， 故可用容量 V 来进 行描述。首先先对煤炭筒仓内物料流动形态进行分析， 查阅文献可知贮料流动形 态大致分为两阶段， 一种为整体流动， 即卸料时贮料整体向下运动； 一种为管状 流动（漏斗状流动），即卸料时贮料从其内部的流动腔中流动。卸料时，筒仓上 部颗粒先进行整体流动， 当贮料到达一定高度后转变为管状流动状态。 接着进一 步描述筒仓贮料的分布情况， 考虑到贮料容量由入放料速度之差决定， 可分别建 立基于能量守恒的颗粒流微分方程模型与基于 Janssen公式的颗粒流微分方程模 型，对贮料流动平衡前后两

3、种状态进行深入描述。三符号说明符号表示符号意义V筒仓中贮料实际容量u入入料速度u出出料口速度t同时入放料开始后时间E物体动能U物体势能M筒仓各部分实际质量L筒仓各部分贮料实际高度S筒仓各部分横截面积k流动系数g重力加速度R水力半径四模型假设1. 物料与仓壁、物料与物料之间的摩擦系数为 02. 煤质可视为流态的颗粒流。3. 不考虑卸料口成拱堵塞等特殊情况。4. 假设产品入料的速度为可人为控制的定值。五模型建立与求解图一：贮料流动形式5.1. 模型分析 卸料开始时，靠近仓壁的贮料与中心线的贮料运动位移大致相同，使得贮 料水平截面保持水平， 此时为整体流动状态； 当颗粒到达一定高度时， 靠近仓壁 贮

4、料位移比中心线附近贮料运动的慢，这时流动状态为管道流动，如图一所示。接着进一步描述流动过程中贮料的分布情况，由容量与入放料速率的关系dV u入 u出, 可引入颗粒流微分方程模型。考虑两种状态下放料速率的影响因 dt 入 出 素不同，故应分开求解。对于整体流动，其运动形式较为规则，可采用能量守恒 定律求解放料口速度。 反之，管状流动运动形式不规则， 运用能量守恒分析非常 复杂且与实际情况相差较大，故这里采用 Janssen公式简化计算放料口速度。 5.2. 颗粒流微分方程建立与求解根据筒仓容量变化的物理规律可知， 贮料容量变化速率等于入料速率与出料速率之差，查阅文献1 可知贮料投放速率为一人为可

5、控定值， 因此只需考虑筒仓出料速率， 而出料速度既与贮料容量和流动方式有关， 因此需分开考虑。 在此建 立以下颗粒流微分方程来总体考虑容量变化情况：设t为时间，V 为仓内贮料总量， u入为筒仓入料速率， u出为筒仓出料速率可建立如下关系式：V V (t)dV u入 u出 dt对于整体流动与管状流动，出料速率 u出 的求解方式不同，故建立两种模型分别 求解。5.2.1 能量守恒定律求解整流状态下出料速率 计算的基本依据是能量守恒定 律 2 ，筒仓贮料流动前后的机械能总量相等， 即Ea U a Eb U b式中： Ea 贮料流动前动能；Ua 贮料流动前势能；Eb 贮料流动后动能；Ub 贮料流动后势

6、能如图 2所示，贮料流动前动能 Ea 0 ，只有势能Ua ；如图 3贮料流动后情况，贮料向下流动了一段距离 L3，此时贮料既有动能 Eb ，又有势能 U b 。故该能量守 恒方程可化为：Ua Eb U b即 Eb U a U b 标准文案图 3：仓斗贮料流动后情况图 2：仓斗贮料流动情况对于贮料流动前势能 U a ，包括仓斗上部圆柱体贮料势能 U a1与仓斗下部椎体贮料势能 U a2 ，取仓斗中流出物料的下表面为零势能面，如图 3 所示o o线； 对于贮料流动后势能 Ub ，包括仓斗上部圆柱体贮料势能 Ub1、仓斗下部椎体贮料势能 U b2与仓斗流出贮料势能 Ub3 ，则有：Ua M 1g(L

7、2 L3 L1) Ua2Ub (M1 M3)g(L2 L3 L1 S2L3 ) Ub2 1 M3gL32 2S12式中： M 1 仓斗上部圆柱体贮料质量；M 3 仓斗中流出贮料的质量；L1仓斗上部圆柱体贮料长度；L2 仓斗下部椎体贮料长度；L3 仓斗中流出物料的长度；S1上部圆柱体横截面积；S2下部椎体出口处面积而由图 2图 3可知下部椎体贮料势能在流动前后无变化， 即Ua2 Ub2，故把式代入式得：L 3 S2 L3Eb U a U b (L1 L2 3 2 3)M 3g2 2S1以下是分步对动能的计算过程：此处 Eb由三部分组成，分别是仓斗上部圆柱体物料的动能Eb1 ，仓斗下部锥体物料的动

8、能 Eb2 和从仓斗中流出物料的动能 Eb3 ，计算图例见图三。再设上 部分圆柱体物料的流速为 u上 ,从仓斗中流出物料的流速为 u出. 可得如下关系式： Eb Eb1 Eb2 Eb 3Eb1 1(M1 M3)u2上 1(M1 M3 )( S2L3 ) 22 2S112Eb 3 M 3u出22 说明 ：此处上仓都中流出的物料是不均匀的， 因此在实际当中上面物料流动 慢而下面流动快，但由于假设 L3 很小导致上下流速相差不大，故可认为上下流 速相等。在实际中仓斗上部和下部流动不均匀，但此处假设流动是均匀的。对于 Eb2计算要相对复杂一些，需用微积分思想求解：部椎体示意图图4为仓斗下部锥体，可在图

9、中距离锥体顶部为y的地方取微圆 柱体 dy，取圆柱体横截面积为 Sy ，另设物料比重为 ，则Sy ( S1 y ( S1S2)则圆柱体质量为：dM Syd y圆柱体速度为：u下u出SyS2因此圆柱体动能为：dE 12u2下dMS2 y3 L22 S1S2同时对 dE 进行积分可得：L2 Eb2dE0将关系式代入公式，可得 u下 表达式：S2S2L2g(2L1 2L2 L3 L2 S2 )u出2S1S222 L2(S1L1 S2L3 ) S22 S2 L2S2L3S1S1S2但是若在实际中使用以上公式则比较繁琐，考虑实际情况一般S1 S2, 故S2 0，同时有 L3 0 ，故可得到以下简化表达式

10、：S13u 出 2（L1 L2）g此即为整流状态下出料速率公式。5.2.2 Janssen 公式求解管状流状态下出料速率根据 Janssen 公式 3 ，在漏斗、管状流型下，卸料孔作中心布置时，其排 料速度 u出 可按下列公式计算u出 k 3.2gR式中： k 流动系数，决定于物料的流动性及其粒度。对于干燥易流的散体物料，可取 k = 0.6。（这里将产品视为干燥易流的散体物料）g重力加速度（ m/s2）；R 水力半径（ m）。卸料孔处的水利半径 R 按如下式中：4D 圆形排料孔的直径 a物料的最大典型物料尺寸 综上，产品的流速 v的计算公式如下：u出k4g(D a )此即为管道流状态下出料速

11、率公式。由于在标准形式下，产品的流速 v 与产品的堆积高度无关，与卸料口的水力 半径 R 有关。根据题意，讨论对象为只有一个进口，一个开口的的理想筒仓，水 力半径 R为一定值，故产品的流速 u出 为一定值。5.2.3. 颗粒流微分方程模型 此时即可得到两种状态下仓底出料速率 u出 ，即为2( L1 L2)g 整体流状态 u出 k 4g(D5 a) 管状流状态u g (c t)2 e uu 入 u 入lambertw (0, ) u2g( u入 - kL2 S1( S1 S2) L224g (D a)5)t整体流状态管状流状态将 u出 代入 dV u 入 u 出 中，输入 matlab 进行求解

12、可得： dt式中：此处 V 表达式中 lambertw 函数是欧米加函数(或乘数对数) ，其满足 x W x exp(W(x) 的关系，常出现在微分方程符号解中，当其中各个符号赋予 具体值时可以求得其为一个常数。则此式可表示贮料总量随时间的变化情况。此即为最终颗粒流微分方程模型。六模型评价与改进6.1 模型优缺点 本文的颗粒流微分方程模型是建立在对贮料流态的定性分析之上， 考虑了整 体流与管状流两种形态， 并分别对其进行了定量分析， 给出两种形态下具体的表 达式，准确描述出容量的分布堆积情况。 定性与定量的结合， 可以较为全面的对 贮料分布堆积情况进行描述。但此微分方程模型仍存在不足， 对于贮料流态的分析上不够深入， 并未在整 体流与管状流之下深入分析贮料分布变化情况； 对于微分方程建立上， 不能够求 得统一的模型对所有流态进行描述，只做到分别描述流态，因此存在缺陷。6.2 模型改进在求解整体流状态下的出料速率 u出 2(L1 L2 )g 中，由于假定了物料与仓 壁，物料与物料的摩擦系数为 0，所以求得速率 u出 比实际值大，故此处应加入 一个修正系数 K ,则可将式子变为 u出 K 2(L1 L2)g 。其中： K为与物料性质有关的参数。七参考文献1 翟振威 原国平 张峰涛，筒仓贮料流态